1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales. 3. La representación vectorial de una onda.

Transcripción

1 DESARROLLO DEL AMA: 1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales.. Características de una onda. 3. La representación vectorial de una onda. 4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: su suma y producto. 5. Generación de una 1

2 1. Las funciones periódicas. Ondas sinusoidales. Las funciones algebraicas relacionan una serie de variables, mediante una expresión matemática y = f(x). Desde el punto de vista físico, una ecuación cinemática relaciona una función lineal con otra temporal y = f(t). Esta relación también es matemática, como por ejemplo y =. t Una función es periódica, cuando el valor de la misma es idéntica siempre que el tiempo transcurrido sea de una misma cantidad que recibe el nombre de periodo. Se representa por, y se mide en segundos (s). La inversa del periodo es la frecuencia f, y se mide en Hertzios (Hz) Y = f (t) = f ( t + ) = f (t + )...= f (t + k ), siendo k N Si Y, es una función periódica temporal, el movimiento es de tipo vibratorio. Si Y es una función periódica en el espacio y en el tiempo, el movimiento es ondulatorio. Cuando la magnitud Y posee siempre un valor positivo o negativo (tiene siempre el mismo sentido) diremos que las ondas son pulsantes. Si por el contrario, la magnitud Y toma sentidos alternativos, diremos que la onda es alterna. Cuando el valor máximo de la magnitud es siempre el mismo en los dos sentidos, diremos que la onda alterna es pura. Ondas pulsantes Ondas periódicas alternas No puras Cuando la función periódica es de tipo seno o coseno, se dirá que las ondas alternas puras son sinusoidales. La función periódica será : el periodo; ω, es la pulsación. a = a m sen k t ;;; k = ω = = π f, siendo f la frecuencia y

3 . Características de una onda. Una onda se caracteriza por: a. El periodo,. Es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa la onda. Se mide en segundos(s). b. La frecuencia, f. Representa el número de oscilaciones que describe una onda en un segundo; se mide en hertzios (Hz) o en s -1. La frecuencia, f = 1/. c. La fase, φ. Se define como la parte del periodo que describe la onda desde la referencia. Hay puntos que se encuentran en fase o en oposición. d. Valores de cresta, A C, son los valores máximos, en valor absoluto, que puede adquirir la magnitud periódica a. e. Valor medio A m representa el valor medio de la función en un periodo o semiperiodo. 1 A m =. f (t).dt f. Valor eficaz de la magnitud. Se representa como A e y es igual a : A e = ( 1 ) f (t) dt g. El factor de forma de la curva que será igual : FF = Ae Am 1 A m =( / ) [( cos. π En el caso de que la onda sea senoidal : A C = Amplitud, A y la función será y = A sen ω t El valor medio, A M será : / f (t)dt =( 1 / / ) A sin (ω.t)dt=(. A. ) ( cos. π / ) sin(ω.t)dt=( A ω.t )[ cosωt ] ( /) = A ω A A.)]=.[ cos π+cos ]= ω ω. = A π =,6366 A = A 1 c El valor eficaz para una función senoidal será : f (t) dt A c = 1. f (t ) dt= 1 A. sin ωt dt Para resolver la integral se recurre a las siguientes 3

4 expresiones : sin ωt+cos ωt=1 ; ;cos ωt sin ω t=cos ωt Operando convenientemente se obtiene: sin 1 cos ωt ωt= Por lo tanto : A C = A 1 cos ωt dt= A.( + sin ω ω t sin ω A )= A C = A =,7871 A El factor de forma FF será igual : Ae FF = Am =,771,6366 = 1,11 Problema 1.- Una función sinusoidal es de la siguiente forma : y = 3 sen t. Con estos datos, determinar las características de la onda. Resolución.- a. Pulsación, ω = (rad/s) y = A sen ω t b Periodo, ;; ω = ;; =,31 s c, Frecuencia, f = 1 / = 31,83 Hz. d. A C = A = 3 unidades e. A M = f A e = g. FF = A = 19,9 A = 1,1 Ae Am = 1,1 19,9 = 1,111 4

5 3. La representación vectorial de una onda. Una onda se puede considerar como una función periódica en el espacio y en el tiempo simultáneamente. Para representarla desde el punto de vista vectorial, se puede considerar que la onda es un vector con el origen constante y que va girando con una velocidad angular ω; esta magnitud recibe el nombre de pulsación de la onda y la traza es en sentido contrario a las agujas del reloj. La trayectoria que describe el extremo del vector es una circunferencia, cuyo radio será la amplitud de la onda. Los espacios recorridos por la onda se representan,mediante las proyecciones del vector giratorio sobre el eje de ordenadas Y. Y ω φ φ x Y = A sen ω t y Existen tres aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de representar una onda sinusoidal : 1, Caso. La onda a t =, el vector se encuentra en el eje de abscisas y en sentido positivo. No hay desfase: Y = a m sen ω t, Caso. La onda a tiempo t =, ha descrito un cierto ángulo, desfase, φ, positivo. 5

6 Y = a m sen (ω t + φ) 3º Caso La onda a tiempo t = ha descrito una desfase negativa Y = a m sen (ω t - φ) Según estas características, se puede generalizar la ecuación de la onda como : y = a m sen ( ω t - φ ) eniendo en cuenta que si el sentido para llevar al vector sobre el sentido positivo del eje abscisas es el mismo que las agujas del reloj, entonces el desfase φ < ; si al llevar el vector sobre el sentido positivo del eje de abscisas es contrario a las agujas del reloj, el desfase φ > 6

7 Problema.- El valor eficaz de una onda senoidal es A e = 5 y su frecuencia es de 1 Hz. Si la onda comienza 1 ms. después de comenzar el tiempo, hallar su fase inicial. Datos.- A e = 5 ;; A = A e /,771 = 353,55 ;; f = 1 Hz ;; ω =. π f = 68,31 rad/s Resolución.- y = A sen ( ω t - φ ) = 353,55 sen (68, φ ),683 - φ = ;; φ =,683 = 36º Estará retrasada 36º 4. Ondas sinusoidales simultáneas con la misma frecuencia: su suma y producto. Dos ondas sinusoidales, de la misma frecuencia y diferente amplitud, se pueden asociar entre si, de tal forma que pueden ocurrir dos situaciones: a. Que las dos ondas estén en fase, por lo tanto : y 1 = A 1 sen ω t y = A sen ω t b Que las dos ondas se encuentren desfasadas: y 1 = A 1 sen ω t En el caso a y = A sen (ω t + φ ) En el caso b y = A sen (ω t -φ ) Al sumar dos ondas sinusoidales sin desfase se 7

8 obtendrá : y 1 = A 1 sen ω t y = A sen ω t y = y 1 + y = ( A 1 + A ). sen ω t En este caso se observa que la onda resultante es también senoidal, está en fase con las otras dos su amplitud es la suma de las amplitudes. Cuando se suman dos ondas con diferentes amplitudes y desfasadas, con la misma pulsación se obtiene : y 1 = A 1 sen ω t y = A sen( ω t φ ) y = y 1 + y = A 1 sen ω t + A sen( ω t φ ) La onda resultante es también senoidal y el desfase resultante es menor que el primitivo 8

9 como se aprecia en la siguiente representación : Según esta representación fasorial, el valor de la amplitud resultante y del desfase φ S será : a m =A 1 + A A 1 A cosϕ ; ;tan ϕ s = AB OB = AB OC+CB = A sin ϕ A 1 +A cos ϕ Problema 3.- Los valores eficaces de dos ondas senoidales son respectivamente A 1 = 1 y A =. Si la segunda onda está retrasada respecto la primera 6º, determinar el valor eficaz de la resultante y su desfase. Resolución.- Aplicando la fórmula anterior: A 1 = A e1 /,771 = 141,4 ;; A = A e /,771 = 8,84 A S = A 1 + A + A 1 A cosφ = 383,43 tg φ = A sen6 A 1 + A cos6 = 8,6 37,66 =,853 ; φ = 44,96 º Cuando se multiplican dos ondas con diferente amplitud, igual pulsación y desfase, se obtiene lo siguiente : y 1 = A 1 sen ω t y = A sen ω t y = y 1. y = A 1 sen ω t. A sen ω t = = A 1. A sen ω t = A 1 A 1 cos.t La onda se convierte en una pulsación de amplitud el producto de las amplitudes siendo su frecuencia el doble de las dos ondas 9

10 Si las dos ondas se encuentran desfasadas: y 1 = A 1 sen ω t Fórmulas trigonométricas: y = A sen( ω t φ ) y = y 1. y = A 1 sen ω t. A sen( ω t φ ) y= y 1. y =A 1. A sin ωt(sin ωt cos ϕ cos ωt sin ϕ)= A 1 A (sin ωt cos ϕ sin ωt cos ωt sin ϕ) y=a 1 A cosϕ cos ωt cosϕ sin ϕ sinωt sin ωt=sin ωt cosωt ;;sin 1 cos ωt ωt= =A 1 A cosϕ cos( ωt ϕ) = A 1 A (cosϕ cos(ωt ϕ)) Problema 4.- Dos ondas de 5 Hz y con amplitudes de 4 y 6 unidades, actúan simultáneamente y en la misma dirección y sentido. Calcular el valor de la onda resultante al cabo de 1 ms, si : a. Están en fase. b. Se encuentran desfasadas 3º. Resolución.- Se aplica las ecuaciones respectivas: a. En fase y = A 1 A 1 cos.t = cos.. f.t = 89,17 unidades 1

11 cos cos. t b con desfase y = A 1 A. cos,5 cos 5,1,5 = 4. 6 = 15,5 unidades 5. Generación de una El giro de una espira, a velocidad angular constante, en el seno de una campo magnético, de tal forma que el eje de giro sea axial a la dirección del campo, induce una corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica será alterna si los terminales de la espira se conectan cada uno a un colector con una única delga: Colector y delga Se originará corriente alterna (AC) entendiendo por ésta, aquella que cambia de sentido periódicamente. Va a transmitir por los conductores una onda de energía cuya frecuencia, en el uso doméstico, es de f = 5 Hz. Para determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida, se recurre a la ley de Fareday de inducción electromagnética : 11

12 ξ = - d d t = - d B. S. cos d t = - d B. S. cos.t d t = B. S ω sen ω t La fuerza electromotriz máxima se conseguirá cuando φ = 9 ;; ξ M = B. S. ω ξ = ξ M. sen ω t Es una señal sinusoidal, de función seno. Por lo tanto, en AC, la fuerza electromotriz no permanece constante en el tiempo y las otras magnitudes relacionadas, como son la tensión o la intensidad, siguen también funciones sinusoidales. Cuando el inducido de la espira, está formado por una bobina con N espiras, la fórmula será ξ = ξ M. N. sen ω t El generador de corriente alterna posee el siguiente símbolo: Problema 5.- Una tensión alterna cuyo valor eficaz es de V, posee una frecuencia de 5 Hz. Determinar los valores máximo y medio de dicha tensión así como su valor a los 4 ms de haber comenzado a propagarse la onda. Resolución.- V e = Vmax ;; V M = V V m = Vmax = 198,6 V V = Vmax sen ω t = v M. sen. π. f. t = 95,89 V Problema 6.- Dos ondas sinusoidales simultáneas se intensidad, poseen la misma frecuencia de 5 Hz y el mismo valor eficaz de 8 A. Si una de ellas está adelantada respecto a la otra ms. de ciclo, calcular las expresiones de las ondas de ambas: Resolución.- φ =. π. (,. 5 ) =,68 radianes. I 1 = 11,31 sen 1 π t ;;; I = 11,31. sen (1 π. t +,618 ) Problema 7.- Dos ondas sinusoidales instantáneas, una de V de tensión y la otra de 1

13 8 A de intensidad ( en valores eficaces) tienen una frecuencia de 5 Hz y están en fase. Hallar el valor de la onda producto cuando ha transcurrido 8 ms del comienzo del ciclo. Resolución.- Aplicamos la fórmula : P=V. I= cosω.t =.8.(1 (,81))=3185 W 13