Actividades del final de la unidad

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1 Actividades del final de la unidad. Un cuerpo baja por un plano inclinado y sube, a continuación, por otro con igual inclinación, alcanzando en ambos la misma altura al deslizar sin rozamiento. Este movimiento, es periódico? Es oscilatorio? Es armónico? Sobre el cuerpo solo actúan el peso y la normal; por tanto, la fuerza resultante sobre el cuerpo es la componente tangencial del peso: F = P x = m g sen a De acuerdo con la ley fundamental de la dinámica: F = m g sen a = m a Por tanto, la aceleración del cuerpo en la bajada es a = g sen a, pues el movimiento es acelerado, mientras que en la subida, como el movimiento es decelerado, es a = g sen a. A s N A' h α B P El cuerpo parte del reposo desde el punto A, situado a una altura h, baja por el plano y llega al punto B después de recorrer una distancia: s = h sen a En el punto B alcanza su velocidad máxima: v máx = a s = g sen a s = g h Debido a esta velocidad, sube hasta el punto A4, que se encuentra a la misma altura h que A, y tarda en subir el mismo tiempo que tardó en bajar desde A a B, pues tiene una aceleración del mismo valor pero negativa. El movimiento del cuerpo es periódico, pues siempre tarda el mismo tiempo en realizar el recorrido de ida y vuelta hasta A. El movimiento es oscilatorio, pues el cuerpo oscila alrededor del punto B, que es una posición de equilibrio para el cuerpo. Pero el movimiento no es armónico, pues la aceleración, aunque es positiva cuando el cuerpo sube y negativa cuando baja, siempre es constante en módulo, y no depende de la posición que ocupe el cuerpo. Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 85

2 . Un cuerpo que oscila armónicamente tarda 0 s en realizar 5 oscilaciones. Calcula el período y la frecuencia. Cuánto tarda en ir desde la posición de equilibrio a la de máxima elongación? Y en volver a pasar por la posición de equilibrio? Si el cuerpo tarda 0 s en realizar 5 oscilaciones, su frecuencia y período valen: 0 oscilaciones oscilaciones f = = = Hz ; T = = = 0,5 s 5 segundos segundo f s En un período, el cuerpo realiza una oscilación completa; es decir, va desde la posición de equilibrio hasta un extremo, vuelve a la posición de equilibrio para ir hasta el otro extremo y, finalmente, vuelve de nuevo a la posición de equilibrio. En cada una de esas etapas emplea el mismo tiempo, un cuarto de período; por tanto, el tiempo, t, que tarda en ir desde la posición de equilibrio a la de máxima elongación equivale a un cuarto de período, y el tiempo, t4, que tarda en volver a pasar por la posición de equilibrio, desde la posición inicial, es medio período: T T t = = 0,5 s ; t4 = = 0,5 s 4 3. La ecuación del movimiento armónico simple que describe un cuerpo es x = sen ( t) en unidades S.I. Calcula: a) La amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) La expresión de su velocidad en función del tiempo. c) La posición y la velocidad del cuerpo para t = 0 s. Dibuja las gráficas x-t y v-t. a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento: x = A sen (u t + j 0 ) 8 A = m ; u = rad/s La frecuencia es, por tanto: u u = f 8 f = = = 0,5 Hz b) La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo: dx d v = = [ sen ( t)] = cos ( t) m/s dt dt c) La posición del cuerpo para t = 0 s es: x(0) = sen ( 0) = 0 = 0 Por tanto, el cuerpo está en el origen en el instante inicial, y su velocidad en ese momento es: v(0) = cos ( 0) = m/s = 6,8 m/s Para dibujar las gráficas x-t y v-t, construimos, en primer lugar, una tabla con los valores de x y v cada cuarto de período (T/4 = 0,5 s): t (s) j (rad) sen j cos j x (m) ,5 / 0 0 0,5 3 / v (m/s) Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

3 Entonces, las gráficas x-t y v-t de este movimiento son: x (m) + v (m/s) +6,8 0,5,5 0 t (s) 0,5,5 t (s) 6,8 4. La gráfica representa la elongación en función del tiempo de un cuerpo que realiza un m.a.s.: x (m) t (s) Indica si son ciertas las afirmaciones siguientes: a) Cada 4 s está en el mismo estado de vibración. b) El período del movimiento vale 6 s. c) La amplitud de la oscilación vale 4 m. d) La frecuencia vale 0,5 Hz. e) La ecuación del movimiento es x = sen ( t/4). a) Falsa. Si nos fijamos, por ejemplo, en la posición x = m, vemos que el cuerpo pasa por ella en t = s y t = 0 s, es decir, cada 8 segundos, que es el valor del período. Aunque cada 4 segundos pasa por la posición de equilibrio, no lo hace en las mismas condiciones, ya que si una vez va hacia la derecha, a los 4 s va hacia la izquierda. b) Falsa. Ya vimos en la cuestión anterior que el período vale 8 s. c) Falsa. La amplitud o distancia máxima a la posición de equilibrio es m. d) Cierta. La frecuencia es la inversa del período, luego: f = = = 0,5 Hz T 8 s e) Esta afirmación es cierta, ya que la amplitud es m; en el instante inicial, t = 0, la elongación es nula y, por tanto, la fase inicial es j 0 = 0, y la pulsación vale: u = = = rad s T 8 s 4 Al sustituir estos datos en la ecuación general de una partícula que efectúa un m.a.s., se obtiene la ecuación dada por el enunciado: ( 0) ( t) x = A sen (u t + j ) 8 x = sen t + = sen Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 87

4 5. Una partícula describe un m.a.s. según la ecuación: x = 0,4 sen (0,5 t + + /) en unidades S.I. Calcula: a) La amplitud y el período. b) La fase en el instante inicial y para t = s. c) La elongación y la velocidad del cuerpo para t = 0 s y para t = 0 s. d) Dibuja las gráficas x-t y v-t. a) Al comparar la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento, x = A sen (u t + j 0 ), obtenemos la amplitud y la pulsación: La frecuencia es, por tanto: Y el período resulta: b) Para t = 0, la fase vale: A = 0,4 m ; u = 0,5 rad/s u = f 8 f = T = = = 8 s f 0,5 = 0,5 Hz j(0) = 0,5 0 + = rad Y para t = s: 3 j() = 0,5 + = + = rad 4 4 c) La ecuación de la velocidad es: dx d v = = [ ( 0,4 sen t + )] ( = 0,4 cos t + ) ( = 0, cos t + dt dt ) Sustituyendo los valores t = 0 y t = 0 s en las ecuaciones de la elongación y de la velocidad, obtenemos: Para t = 0: Para t = 0 s: x(0) = 0,4 sen ( ) = 0,4 m v(0) = 0, cos ( ) = 0 x(0) = 0,4 sen ( 0,5 0 + ) = 0 v(0) = 0, cos ( ) 0, ,5 = 0, m/s = 0,34 m/s d) A partir de la siguiente tabla de valores, obtenida cada cuarto de período, t=t/4= s: t j sen j cos j x 0 / 0 0, /s 0 0, /s=/ 0 0,4 v 0 0, 0 0, 0 88 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

5 Se obtienen las gráficas x-t y v-t de este movimiento: x (m) +0,4 v (m/s) +0,34 T/4 T/ T 3T/ T t (s) T/4 T/ T 3T/ T t (s) 0,4 0,34 6. La elongación de un cuerpo que efectúa un m.a.s. varía con el tiempo según la ecuación: x = 5 sen (4 t /) donde x se mide en cm cuando t se mide en segundos. Calcula: a) La pulsación y la amplitud de las oscilaciones. b) La posición y la velocidad del cuerpo en el instante inicial. c) La ecuación del movimiento en función del coseno. d) Dibuja la gráfica x-t. a) Al comparar la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento armónico simple: x = A sen (u t + j 0 ) Tenemos que la pulsación y la amplitud del movimiento son: u = 4 rad/s ; A = 5 cm = 0,5 m b) La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo: dx d v = = [ ( )] 5 sen 4 t ( ) = 5 4 cos 4 t dt dt v = 00 cos ( ) 4 t Luego, en el instante inicial, para t = 0: x(0) = 5 sen ( ) 4 0 ( ) = 5 sen c) Teniendo en cuenta la relación trigonométrica: = 5 cm v(0) = 00 cos ( 4 0 ) = 00 cos ( ) = 0 sen (a b) = sen a cos b cos a sen b La ecuación de la elongación escrita en función del coseno resulta: x = 5 sen ( ) 4 t x = 5 [ ( ) sen (4 t) cos ( )] cos (4 t) sen = 5 cos (4 t) Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 89

6 d) La gráfica de la posición en función del tiempo es: x (cm) +5 T/4 T/ T=0,5 3T/ T t (s) 7. Deduce la expresión de la velocidad en función de la elongación de un m.a.s. si la ecuación es x = A sen (u t). Cuánto vale la velocidad cuando la elongación es máxima? Para qué posición es máxima la velocidad y cuál es su valor? En qué posición la velocidad es la mitad de ese valor máximo? La ecuación de la velocidad es: Teniendo en cuenta que: podemos escribir: 5 dx d v = = [A sen (u t)] = A u cos (u t) dt dt cos a = ± sen a v = A u cos (u t) = ± A u sen (u t) Por tanto, la expresión de la velocidad en función de la posición es: v = ±u A A sen (u t) = ±u A x Cuando la elongación es máxima, x = ± A, la velocidad es nula: v = ± u A A = 0 La velocidad es máxima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x = 0, ya que en ese momento la raíz cuadrada de la expresión anterior toma su máximo valor: v máx = ± u A 0 = ± u A donde el doble signo significa que el cuerpo puede ir hacia la derecha (signo positivo) o hacia la izquierda (signo negativo). Calculemos en qué posición la velocidad es la mitad de su valor máximo: u A A v = = u A x 8 = A x 8 = A x 4 Despejando, obtenemos: x = A A 3 3 = A 8 x = ± = ± A 3 A Por tanto, el cuerpo no alcanza la mitad de su velocidad máxima cuando la elongación es la mitad de la amplitud, x = ± A/, sino en los puntos: x = A 3 ; x = A 3 A 90 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

7 8. Un cuerpo describe un m.a.s. de acuerdo con la ecuación: x = 0,5 sen (40 t) en unidades S.I. Calcula: a) La pulsación, la frecuencia y la amplitud del movimiento. b) La ecuación de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La velocidad y la aceleración para x = 0,5 m. a) Al comparar la ecuación general de un movimiento armónico simple: x=a sen(u t) con la del enunciado: x = 0,5 sen (40 t) a) observamos que la amplitud vale A = 0,5 m, y que la pulsación es u = 40 rad/s. Como la pulsación está relacionada con la frecuencia por medio de la expresión u = f, la frecuencia es: u 40 0 f = = = = 6,37 Hz b) La ecuación de la velocidad que corresponde a este movimiento es: y la aceleración vale: dx d v = = [0,5 sen (40 t)] = 0 cos (40 t) m/s dt dt dv d a = = [0 cos (40 t)] = 400 sen (40 t) m/s dt dt c) La velocidad es máxima cuando cos (40 t) = ; luego: v máx = 0 m/s Y la aceleración es máxima cuando sen (40 t) = ; luego: a máx = 400 m/s d) Para calcular la velocidad y la aceleración para x = 0,5 m, lo más cómodo es utilizar las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función de la elongación: v = ±u A x = ±40 0,5 0,5 = ±40 0,04 = ±40 0, = ±8 m/s a = u x = 40 0,5 = 40 m/s También se podía calcular sustituyendo el valor de la posición en la expresión de la elongación: 0,5 x = 0,5 = 0,5 sen (40 t) 8 sen (40 t) = = 0,6 0,5 Por tanto, para x = 0,5 m: sen j = 0,6 8 cos j = ± sen j = ± 0,06 = ±0,8 Entonces, la velocidad es: Y la aceleración: v = 0 cos (40 t) = ±0 0,8 = ±8 m/s a = 400 sen (40 t) = 400 0,6 = 40 m/s Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 9

8 9. Dada la siguiente gráfica x-t de un m.a.s., calcula: a) El período y la amplitud del movimiento. b) La ecuación de la elongación y de la velocidad en función del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La velocidad para t = 0, s y t = 0,3 s. x (m) +0, 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 t (s) 0, a) A la vista de la gráfica, deducimos que la amplitud del movimiento vale A=0, m, y el período, T = 0,4 s; por tanto, la frecuencia vale f = /T = /0,4 =,5 Hz, y la pulsación es u = f =,5 = 5 rad/s. b) Como para el instante inicial el cuerpo se encuentra en la posición de máxima elongación, su ecuación es del tipo x = A cos (u t); luego, sustituyendo los valores conocidos, la ecuación de la elongación, en unidades del S.I., es: x = 0, cos (5 t) La ecuación de la velocidad, también en unidades del S.I., es: dx d v = = [0, cos (5 t)] = sen (5 t) dt dt c) La velocidad y la aceleración máximas son: d) La velocidad para t = 0, s vale: v máx = = 3,4 m/s a máx = u A = (5 ) 0, = 49,35 m/s v(0,3) = sen (5 0,) = sen La velocidad para t = 0,3 s vale: v(0,3) = sen (5 0,3) = sen 3 = m/s = ( ) = m/s 0. Una partícula efectúa un movimiento armónico simple de frecuencia Hz. Si en el instante t = 0 s su elongación es,40 cm y su velocidad 8,78 cm/s, calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La máxima velocidad de la partícula. a) Si partimos de la ecuación general de la elongación en función del seno, x = A sen (u t j 0 ), la ecuación de la velocidad es v = A u cos (u t + j 0 ). Como la frecuencia es f = Hz, la pulsación del movimiento vale: u = f = = rad/s 9 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

9 Como las condiciones iniciales del movimiento son x 0 =,4 cm y v 0 = 8,78 cm/s: x 0 =,4 = x(0) = A sen j 0 [] 8,78 v 0 = 8,78 = A cos j 0 8 A cos j 0 = =,4 [] Dividiendo miembro a miembro [] entre [], obtenemos la fase inicial, j 0 :,4 = 8 tg j 0 = 8 j 0 = 45 = rad,4 4 Y elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, la amplitud resulta: (A sen j 0 ) + (A cos j 0 ) =,4 +,4 8 A = 3,9 8 A =,98 cm Con estos valores de la amplitud y la fase inicial, la ecuación del movimiento queda: x =,98 sen ( ) t + 4 b) La velocidad máxima de una partícula que describe un m.a.s. viene dada por: v máx = A u 8 v máx =,98 =,44 cm/s. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de, m/s, y su máxima aceleración es de 4, m/s. Calcula la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. La velocidad máxima y la aceleración máxima de este m.a.s. son: Dividiendo [] entre [], obtenemos la frecuencia: A u A u v máx = A u =, m/s [] a máx = A u = 4, m/s [] 4, u = 8 u = rad/s 8 f = = = 3,5 Hz, Y sustituyendo en [], la amplitud resulta: A =, 8 A = 0,05 m. Demuestra que un cuerpo que efectúa un m.a.s. tarda la mitad de tiempo en ir del origen a +A/ que en ir de +A/ a +A. Comprueba este resultado si la ecuación del movimiento es x = sen ( t/6). Si expresamos la pulsación en función del período, T, la ecuación de la elongación es: x = A sen (u t) = A sen ( T t) Esta ecuación corresponde al movimiento de un cuerpo que en el instante inicial se encuentra en la posición de equilibrio: Para x = A/, tenemos: A T Para x = A, tenemos: A sen j 0 A cos j 0 x 0 = x(0) = 0 = A sen ( t) 8 sen ( t) = 8 t = 8 t = T T A = A sen ( t) ( 8 sen t) = 8 t = 8 t = T T T T 4 6 T Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 93

10 Es decir, para t = 0, el cuerpo está en el origen; para t = T/, se encuentra en x = = A/, y para t = T/4, está en x = A. x = 0 x = A / x = +A O v = v M v > 0 +X t t v = 0 Por tanto, en ir desde el origen, x = 0, hasta el punto x = A/, el cuerpo tarda un tiempo: T T t = 0 = s Y en ir desde x = A/ hasta el extremo, x = A, tarda un tiempo: T T 3 T T T T t = = = = s = t 4 6 Vemos que t = t. Este resultado, aunque parezca extraño, es lógico, pues el cuerpo va muy rápido cuando está cerca de la posición de equilibrio, y muy lento cuando se acerca o se aleja de un extremo. Podemos particularizar estos resultados para el caso del problema: Para t = 0: x = sen ( 6 t) 8 8 T = = = s T Para t = = = s: T Para t = = = 3 s: x(0) = sen = 0 6 x(3) = sen x() = sen = = m = 0,5 = m Por tanto, el cuerpo tarda segundo en ir desde x = 0 a x = m, y emplea segundos en pasar de x = m a x = m. 3. Un cuerpo de masa 0,4 kg describe un movimiento armónico simple de período 0,5 s. Sus condiciones iniciales (para t = 0) son x 0 = 0,43 m y v 0 = 3,4 m/s. Calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La ecuación del movimiento. c) La energía cinética máxima del cuerpo. a) La ecuación general del movimiento y la de la velocidad son: } A = m u = rad/s 6 x = A sen (u t + j 0 ) ; v = A u cos (u t + j 0 ) Como el período vale 0,5 s, la pulsación del movimiento es: u = = = 4 rad/s T 0,5 u /6 94 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

11 Como las condiciones iniciales del movimiento son x 0 = 0,43 m y v 0 = 3,4 m/s: x 0 = 0,43 = x(0) = A sen j 0 8 A sen j 0 = 0,43 [] 3,4 v 0 = 3,4 = A 4 cos j 0 8 A cos j 0 = = 0,5 [] 4 Dividiendo [] entre [], obtenemos la fase inicial: A sen j 0 A cos j 0 0,43 = =,7 8 tg j 0 =,7 8 j 0 = 60 = rad 0,5 3 Elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, tenemos: (A sen j 0 ) + (A cos j 0 ) = 0,43 + 0,5 8 A = 0,43 + 0,5 A = 0,43 + 0,5 = 0,5 m b) Teniendo en cuenta los valores obtenidos, la ecuación del movimiento es: 3 x = 0,5 sen ( 4 t + ) c) La energía cinética del cuerpo es E c = (/) m v, y alcanza su valor máximo cuando la velocidad es máxima: v = v máx = A u = 0,5 4 = 6,8 m/s ; E c. máx = m v máx = 0,4 6,8 = 7,89 J 4. Un cuerpo de kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 0 oscilaciones cada segundo. Calcula: a) La constante elástica del muelle. b) El valor de la fuerza resultante cuando la elongación valga 5 cm. a) Como el cuerpo realiza 0 oscilaciones cada segundo, f = 0 Hz, y su pulsación es: La constante elástica del muelle vale: u = f = 0 = 40 rad/s k = m u = (40 ) = 3583 N/m b) Cuando la elongación vale 5 cm, la fuerza sobre el cuerpo vale: F = k x = ,05 = 580 N 5. La constante recuperadora de un oscilador armónico vale 50 N/m, y su masa es de kg. Calcula: a) La frecuencia del oscilador. b) La fuerza máxima que actúa sobre el cuerpo si la amplitud de las oscilaciones es de 0 cm. c) Y si la amplitud fuese de 0 cm? a) Sustituyendo y despejando en la expresión que relaciona la masa y la pulsación con la constante recuperadora, obtenemos el valor de la pulsación: k = m u 8 50 = u 8 u = 5 8 u = 5 rad/s La frecuencia vale: u 5 f = = = 0,8 Hz b) Si la amplitud vale A = 0 cm = 0, m, la fuerza máxima es: F máx = k A = 50 0, = 5 N c) Si la amplitud se duplica, la fuerza máxima también se duplica: A4 = A = 0, m 8 F 4 máx = k A4 = 50 0, = 0 N Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 95

12 6. Calcula la masa del cuerpo que hemos de unir a un muelle de constante elástica k = 39,5 N/m para que el sistema oscile con una frecuencia de Hz. Cuál sería el valor de la masa para que la frecuencia fuese de Hz? Si el cuerpo oscila con una frecuencia de Hz, su pulsación vale: u = f = = 4 rad/s Y como k = m u, el valor de la masa que hemos de unir al muelle es: 39,5 39,5 = m (4 ) = m 57,9 8 m = = 0,5 kg 57,9 Para analizar cómo varía la masa al variar la frecuencia, escribimos la expresión de la constante recuperadora de modo que aparezca esta magnitud: k = m u = m ( f ) = m 4 f 8 m = Si deseamos que en el segundo caso oscile con una frecuencia igual a la mitad del primer caso, entonces: f 4 = f /. Por tanto, la relación entre las masas m y m4 que oscilan a frecuencias f y f 4, será: k m4 4 = f 4 f = f = = 4 8 m4 = 4 m 8 m4 = 4 0,5 = kg m k f 4 f ( ) 4 f 7. Al colocar un bloque de kg suspendido de un resorte se produce un alargamiento de 4 cm. Si, a continuación, se le estira otros 5 cm y se suelta dejándolo oscilar libremente, el bloque describe un m.a.s. Calcula: a) La constante elástica del muelle. b) La frecuencia de las oscilaciones. c) La fuerza máxima que actúa sobre el bloque. d) La ecuación del movimiento. a) Al colgar el bloque de kg, el muelle se estira hasta que la fuerza elástica contrarresta el peso, es decir, hasta que los módulos de ambas fuerzas son iguales: 9,6 F e = P 8 k x = m g 8 k 0,04 = 9,8 = 9,6 8 k = = 490 N/m 0,04 b) La frecuencia la obtenemos a partir de la expresión que relaciona la pulsación con la masa y con la constante recuperadora: u 5,65 k = m u = u 8 u = 5,65 rad/s 8 f = = =,5 Hz c) Al estirarlo 5 cm por debajo de la posición de equilibrio, la amplitud del movimiento vale 5 cm y, por tanto, la fuerza máxima sobre el bloque es: F máx = k A = 490 0,05 = 4,5 N Ten en cuenta que hemos medido la elongación del muelle desde la posición de equilibrio, donde el peso queda contrarrestado por la fuerza elástica. Obtenemos el mismo resultado si tenemos en cuenta el peso y medimos la deformación del muelle desde su longitud habitual: F = F e P = k x4 m g = 490 0,09 9,8 = 44, 9,6 = 4,5 N d) Como A = 0,05 m y u = f =,5 = 5 rad/s, y el cuerpo inicia su movimiento en el extremo positivo, la ecuación de su movimiento, en unidades S.I., será: x = A cos (u t) 8 x = 0,05 cos (5 t) k 4 f 96 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

13 8. La ecuación del m.a.s. que describe un cuerpo de 0, kg es x = 0, sen ( t). Calcula: a) La expresión de la fuerza que actúa sobre el cuerpo en función de la elongación y del tiempo. b) El valor máximo de la fuerza. c) Para qué posiciones y en qué instantes alcanza ese valor máximo. a) A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo: dx dv v = = 0,4 cos ( t) ; a = = 0,8 sen ( t) = 4 x dt dt Y como la fuerza es F = m a, la expresión de la fuerza en función del tiempo es: F = m a = 0, [ 0,8 sen ( t)] = 0,08 sen ( t) En función de la elongación, la fuerza se expresa en la forma: F = m a = 0, ( 4 x) = 0,4 x b) El valor máximo de la fuerza se obtiene cuando el seno alcanza su valor máximo, y su valor es: F máx = ±0,08 = ±0,79 N donde el doble signo indica que esta fuerza toma ese valor en ambos sentidos. c) Si hacemos F = F máx en la expresión de la fuerza en función del tiempo, y despejamos t, obtenemos los instantes en que la fuerza es máxima: 0,08 sen ( t) = ±0,08 8 sen ( t) = ± n + t = ( n + ) 8 t = ; n = 0,,,... 4 Luego, para t = 0,5 s, 0,75 s,,5 s,,75 s, etc., la fuerza es máxima. Del mismo modo, si hacemos F = F máx en la expresión en función de la elongación, tenemos: F = 0,4 x = ±0,08 8 x = ±0, m Por tanto, la fuerza es máxima cuando la elongación alcanza los valores x = ±0, m. 9. Dos cuerpos de igual masa realizan un m.a.s. de igual amplitud; si la frecuencia del primero es la mitad de la del segundo, determina la relación entre: a) Sus períodos. b) Sus velocidades máximas. c) La fuerza máxima que actúa sobre cada cuerpo. Si la frecuencia del primero, f, es la mitad de la del segundo, f, entonces f = f. a) La relación entre los períodos del m.a.s. de ambos cuerpos será, por tanto: T = T = f f b) La velocidad máxima de un m.a.s. es: T f 8 = = = = f f T f f f v máx = A u = A f 8 T = T Como ambos tienen la misma amplitud, la relación entre sus velocidades será: v v A f = f = f = = 8 v = v A f f f Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 97

14 c) La fuerza máxima viene dada por la expresión: Por tanto: F F F máx = k A = m u A = m 4 f A m 4 f ( f = = = ) A = 4 8 F = 4 F m 4 f f A 0. Un cuerpo de 00 g de masa realiza un m.a.s. cuya gráfica x-t es la de la figura. Calcula: a) La velocidad inicial del cuerpo. b) Su aceleración para t = s y t = 3 s. c) El valor y el sentido de la fuerza que actúa sobre él para t = 0,5 s y t = 0,75 s. x (cm) +8 f f 0,5 0,5 0,75,5,5,75 t (s) 8 La gráfica muestra que la amplitud del movimiento y su período valen: A = 8 cm ; T = s Luego, su frecuencia y su pulsación valen: f = T = Hz 8 u = f = = rad/s a) Como para t = 0 el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas y va hacia elongaciones positivas, entonces su velocidad inicial es la velocidad máxima y es positiva, es decir: v 0 = A u = 0,08 = 0,5 m/s b) Para obtener la aceleración del cuerpo, utilizaremos la relación a = u x. Para ello, calcularemos, previamente, la elongación del cuerpo en esos instantes: Para t = s, el cuerpo está en el origen, x = 0. Por tanto, a = 0. Para t = 3 s, han transcurrido dos períodos desde el instante anterior; por tanto, el cuerpo se encuentra en el mismo estado de oscilación; es decir, vuelve a estar en el origen, x = 0, y con aceleración nula, a = 0. c) La fuerza que actúa sobre el cuerpo es F = m a = k x. Para obtenerla, procedemos como en el apartado anterior: Para t = 0,5 s, el cuerpo se encuentra en x = +A = 0,08 m, luego: F = m a = m u x = 0, ( ) 0,08 = 0,3 N Para t = 0,75 s, el cuerpo se encuentra en x = A = 0,08 m, luego: F = m a = m u x = 0, ( ) ( 0,08) = 0,3 N 98 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

15 . Un péndulo simple está formado por una cuerda de 6, m y una masa puntual de kg que separamos 5 de la vertical y dejamos oscilar libremente. Calcula: a) El período y la amplitud de las oscilaciones. b) La tensión de la cuerda y la fuerza resultante sobre el cuerpo cuando la elongación es máxima. Dato: g = 9,8 m s. a) El período de un péndulo simple es: T = = = 5 s 6, 9,8 l g La amplitud de las oscilaciones coincide con la distancia que se separa el cuerpo de la vertical: A = l sen a = 6, sen 5 = 0,54 m b) La tensión, T, queda contrarrestada por la componente P y del peso; por tanto: T = P y = m g cos a = 9,8 cos 5 = 9,5 N La fuerza neta sobre el cuerpo es la componente P x del peso: F = P x = m g sen a = 9,8 sen 5 =,7 N NOTA: Consúltese la figura del péndulo simple de la página 9 del libro del alumno si se considera necesario.. Calcula el período de un péndulo en la Luna si su período en la Tierra es de s, sabiendo que el valor de la gravedad en la Tierra es g T = 9,8 m s, y en la Luna, g L =,6 m s. La longitud del péndulo para que su período en la Tierra sea de segundos es: T T = 8 l = g = 9,8 = 0,994 m ( ) ( ) l g Con esta longitud, su período en la Luna será: T = = = 4,9 s l 0,994 g,6 Obtenemos el mismo resultado si comparamos el período de dos péndulos que tienen la misma longitud pero situados en puntos donde la gravedad es distinta: T T l = g T = 8 = 8 T = 4,9 s 9,8 g g,6 l g 3. Un cuerpo de kg de masa realiza un m.a.s. de 0 Hz de frecuencia y 0 cm de amplitud. Calcula: a) Su energía potencial máxima. b) La energía cinética en la posición de equilibrio. c) Las energías cinética y potencial para x = 0 cm. a) La energía potencial máxima coincide con la energía mecánica del cuerpo:. máx = E m = k A = m u A = m 4 f A. máx = 4 0 0, = 63,65 J Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 99

16 b) Cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, su elongación es nula, x = 0, y, por tanto, su energía potencial también lo es: = k x = 0 Por tanto, su energía cinética en esa posición coincide con la energía mecánica: c) Para x = 0, m, la energía potencial es: Y la energía cinética: E c = E m = 63,65 J = k x = m u x = m 4 f x = 4 0 0, = 57,9 J E c = E m = 63,65 57,9 = 473,74 J 4. La ecuación del m.a.s. que describe un cuerpo de 0, kg es x = 0,5 sen ( t). Calcula: a) La amplitud, la frecuencia y el período. b) La fuerza sobre el cuerpo en cada instante. c) Las energías cinética, potencial y total del cuerpo en función del tiempo. d) Dibuja las gráficas E c -t, -t y E m -t. a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento, x = A sen (u t), tenemos que: u A = 0,5 m ; u = rad/s ; u = f 8 f = = = Hz ; T = = s f b) La constante de proporcionalidad entre la fuerza y la elongación es: k = m u = 0, ( ) = 7,9 N/m Entonces, la fuerza resultante sobre el cuerpo es: F = k x = k A sen (u t) = 7,9 0,5 sen ( t) = 3,95 sen ( t) N c) La velocidad del cuerpo en función del tiempo es: v = dx dt = 0,5 cos ( t) = cos ( t) m/s Por tanto, la energía cinética en función del tiempo vale: E c = m v = 0, cos ( t) = 0,99 cos ( t) J La energía potencial en función del tiempo es: = k x = 7,9 0,5 sen ( t) = 0,99 sen ( t) J La energía total del cuerpo es la energía mecánica, suma de la energía cinética más la energía potencial, luego: E = E c + = 0,99 cos ( t) + 0,99 sen ( t) = 0,99 J 00 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

17 d) Las gráficas de E c -t (línea de trazos), -t (línea de puntos) y E-t (línea negra) del cuerpo son las que se representan a continuación: E E = 0,99 J E c = 0,99 cos ( t ) J = 0,99 sen ( t ) J 0,5 0,5 0,75 t (s) 5. Una masa de 0, kg está unida a un muelle horizontal de constante recuperadora k = 40 N/m. El muelle se comprime 0 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Calcula: a) La elongación en función del tiempo. b) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. c) La energía mecánica del sistema y las energías cinética y potencial a cm de uno de los extremos de la trayectoria. Al dejarlo en libertad, el muelle oscila con una frecuencia angular: u = = = 400 = 0 rad/s k 40 m 0, a) El cuerpo inicia su movimiento desde la posición de máxima contracción del muelle, es decir, x 0 = A = 0, m. Por tanto, la ecuación del movimiento es x = A sen (u t /), o, lo que es lo mismo, x = A cos (u t). Teniendo en cuenta los datos de A y u, tenemos: x = 0, sen ( ) 0 t = 0, cos (0 t) b) Cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria, el valor de la fuerza es el que corresponde a la fuerza máxima: c) La energía mecánica del sistema es: F = k A = 40 0, = 4 N E m = k A = 40 0, = 0, J Si el cuerpo está a cm de uno de los extremos, se encuentra a 8 cm de la posición de equilibrio, por lo que su elongación vale x = ±0,08 m. Sus energías potencial y cinética en ese punto valen: = k x = 40 0,08 = 0,8 J ; E c = E m = 0, 0,8 = 0,07 J Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 0

18 6. La fuerza que actúa sobre un cuerpo de 0, kg unido a un muelle en función de la elongación es la representada en la figura. Calcula: a) La energía mecánica de este oscilador. b) La máxima velocidad del cuerpo. c) El período de sus oscilaciones. F (N) 0 0, 0, 0, 0, x (m) 0 A la vista de la gráfica del enunciado, la constante recuperadora del muelle es: F 0 k = = = 50 N/m x 0, Y la amplitud de las oscilaciones: a) La energía mecánica del oscilador es: A = 0, m E m = k A = 50 0, = J b) El cuerpo alcanza su máxima velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio, pues en ese instante su energía potencial es nula y toda su energía es cinética. Despejando en la expresión de la energía cinética, la velocidad máxima resulta: E E c. máx = E m = m v máx 8 v máx = cmáx E = m = = 3,6 m/s m m 0, c) Teniendo en cuenta que k = m u, el período resulta: T = = = = 0,4 s m 0, u k Calcula la relación entre las energías cinética y potencial de un oscilador armónico cuando la elongación es la mitad de la amplitud. La energía potencial para x = A/ vale: A = k = k A ( ) 8 La energía total o mecánica de un oscilador es la suma de la energía cinética más la energía potencial. Por tanto, la energía cinética en el punto indicado vale: 3 E m = k A 8 E c = E m = k A k A = k A 8 8 Entonces, la relación entre las energías cinética y potencial para x = A/ es: E c 3 k A 8 = = 3 8 E c = 3 E p k A 8 0 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

19 8. Tenemos dos osciladores armónicos de constantes k = k y masas m = m. Si la amplitud del oscilador es el doble que la del, calcula la relación entre: a) Los períodos de ambos osciladores. b) La pulsación de cada uno. c) La energía mecánica de cada uno. d) Las velocidades máximas de ambos. e) La fuerza máxima sobre cada uno. De acuerdo con el enunciado, tenemos los siguientes datos: m = m ; k = k ; A = A a) La relación entre los períodos es: T = = = = k = k u u k m m m = T u k m k m u k m Los períodos de ambos osciladores son iguales. b) Para la pulsación, resulta: = = = u T T Las pulsaciones de ambos osciladores son iguales. u c) La relación entre las energías mecánicas de los osciladores es: k E A k = = = ( A ) k A = 8 E k A k A k A Por tanto, la energía mecánica del oscilador es ocho veces la del oscilador : E = 8 E d) La relación entre las velocidades máximas de ambos osciladores es: v A = u A = u = v A u A u Entonces, la velocidad máxima del oscilador es el doble que la del : v = v e) La relación entre las fuerzas máximas de ambos osciladores es: T F k A k A = = = 4 F k A k A Esto es, la fuerza máxima sobre el oscilador es el cuádruple que la fuerza máxima sobre el oscilador : F = 4 F T Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 03

20 9. Una niña de 0 kg se balancea con una amplitud de 30 cm en un columpio, cuyas cuerdas miden 3 m. Calcula: a) El tiempo que tarda en hacer una oscilación. b) La energía cinética de la niña y su velocidad máxima. a) Considerando el columpio como un péndulo simple de 3 m de longitud, el período de las oscilaciones, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación, es: T = = = 3,48 s l 3 g 9,8 b) La energía mecánica de la niña en el columpio es: 4 E = k A = m u A = m A 4 E = 0 0,3 =,93 J 3,48 y coincide con la energía cinética máxima; luego: E c. máx = E =,93 J La velocidad máxima es: E,93 v máx = c. máx = = 0,54 m/s m Calcula para qué valores de la posición de un cuerpo que realiza un movimiento armónico simple: a) Su energía cinética es igual a su energía potencial. b) La energía potencial es la cuarta parte de su energía mecánica. a) En un oscilador armónico, la energía mecánica vale: E m = k A Y como esta es la suma de las energías cinética y potencial, si igualamos la energía cinética a la potencial y sustituimos en el cálculo de la energía total, tenemos: E c = = k x E = k A = E c + = = k x = k x Desarrollando y despejando, las posiciones en las que ambas energías coinciden son: A k A = k x 8 x = A 8 x = ± b) Si la energía potencial es la cuarta parte de la energía mecánica, entonces: A = E m 8 k x = k A 8 x = 8 x = ± A T 04 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

21 3. La gráfica energía potencial-posición para un cuerpo de 60 g que efectúa un m.a.s. cuya energía mecánica vale 4 J es la siguiente: E (J) 4 Energía total 3 0, 0, 0,3 0,4 x (m) Determina: a) La amplitud, la pulsación y el período de las oscilaciones. b) Las energías cinética y potencial en los extremos y en el centro de la trayectoria. c) La velocidad para x = 0, m. a) En la gráfica observamos que la energía potencial es igual a la energía total para x = 0,4 m. Esto sucede cuando la energía potencial es máxima; luego, A = 0,4 m. Sustituyendo en la expresión de la energía total y despejando, obtenemos el valor de la constante k: 8 E = k A 8 4 = k 0,4 8 k = = 50 N/m 0,4 Y como m = 0,06 kg, la pulsación vale: u = = = 8,87 rad/s k 50 m 0,06 El período es: T = = = 0, s u 8,87 b) En los extremos, la energía cinética es nula y la potencial es máxima y coincide con la total; por tanto: E c (A) = 0 ; (A) = 4 J En el centro de la trayectoria, que es la posición de equilibrio, la energía potencial es nula y la cinética, máxima, y coincide con la total: (0) = 0 ; E c (0) = 4 J c) Para x = 0, m, la energía potencial es: (0,) = k x = 50 0, = J Luego, la energía cinética vale: E c = E = 4 = 3 J Y la velocidad en ese punto resulta: E 3 v = c = = 0 m/s m 0,06 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico 05

22 3. La gráfica v-t de una partícula de masa m = 50 kg que oscila armónicamente a lo largo del eje OX es la siguiente: v (m/s) + 0, 0, 0,3 0,4 t (s) Calcula: a) La amplitud y la frecuencia. b) La posición en función del tiempo. c) La energía mecánica de la partícula. d) Las energías cinética y potencial de la partícula para t = 0 y t = 0,05 s. A la vista de la gráfica del enunciado, concluimos que el período y la velocidad máxima del movimiento valen: T = 0, s ; v máx = m/s a) Si el período es 0, s, la frecuencia y la pulsación valen: f = = = 5 Hz ; u = = = 0 = 3,4 rad/s T 0, T 0, Y como la velocidad máxima es v máx = A u, entonces la amplitud es: v A = máx = = 0,35 m u 3,4 b) Si la velocidad es máxima y positiva en el instante inicial, entonces la elongación inicial es nula y la partícula se dirige hacia los valores positivos de la elongación; por tanto, su ecuación es del tipo: x = A sen (u t) Teniendo en cuenta los valores obtenidos en el apartado anterior, la ecuación de la elongación en función del tiempo es: x = 0,35 sen (0 t) c) La energía mecánica de la partícula es: E m = k A = m u A = 50 (0 ) 0,35 = 303 J d) Para t = 0, la elongación es x(0) = 0,35 sen (0 0) = 0; por tanto, la energía potencial es nula y la cinética coincide con la energía mecánica: (0) = k x = 0 8 E c (0) = E m = 303 J Para t = 0,05 s, la elongación es: x(0,05 s) = 0,35 sen (0 0,05) = 0,35 sen (0,5 ) = 0,35 m Como coincide con la amplitud, el cuerpo se encuentra en el extremo positivo; entoncs, la energía potencial coincide con la energía mecánica y, por tanto, la energía cinética es nula: (0,05 s) = E m = 303 J 8 E c (0,05 s) = 0 06 Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico

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