Ejercicio nº 1 Los vectores de posición y velocidad de un móvil en función del tiempo son:

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1 Ejercicio nº 1 Los vectores de posición y velocidad de un móvil en función del tiempo son: R 2 = ( t)i + (100 4t )j y V = 10i 8t j Calcula: a) osición y velocidad en el instante inicial y a los 4 segundos. b) Vector velocidad media de 0 a 4 segundos. c) Vector aceleración media de 0 a 4 segundos. Ejercicio nº 2 Un coche circula a 55 km/h. Al entrar en la autopista acelera y logra una velocidad de 100 km/h en 18 segundos. Calcula el espacio recorrido. Ejercicio nº 3 Una piedra es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Determina: a) Ecuaciones del movimiento. b) Altura máxima alcanzada. c) Velocidad cuando se encuentra a 4 metros del suelo. Ejercicio nº 4 Un objeto se lanza verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Un segundo más tarda se lanza otro con velocidad doble que el primero. Calcula en qué posición se encuentran los dos objetos y la velocidad de cada uno. Ejemplo nº 5 Se deja caer una pelota desde 80 metros de altura. Un segundo más tarde una segunda pelota se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. Determina el punto en el que se encuentran las dos pelotas y el espacio recorrido por cada una. Ejercicio nº 6 Un hombre que se encuentra a 40 metros de un taxi corre con una velocidad constante de 3 5 m/s intentando cogerlo. Cuando pasan 2 5 segundos, otro hombre que se encuentra a 25 metros del taxi se pone en marcha con una aceleración de 0,5 m/s 2. Quién llegará primero al taxi? Ejercicio nº 7 Un objeto describe un MCU de 60 cm de radio tardando 3 s en dar cinco vueltas. Calcula: a) El periodo y la frecuencia del movimiento b) La velocidad angular en rad/s c) La velocidad y la aceleración centrípeta d) El espacio recorrido en 1 minuto Ejercicio nº 8 Un objeto describe un MCU de 35 cm de radio con una frecuencia de 0 25 Hz. Calcula:

2 a) La velocidad angular y la velocidad lineal. b) El ángulo girado en 5 segundos. c) La aceleración centrípeta Ejercicio nº 9 Un bote cruza un río de 38 metros de ancho que posee una corriente de 2 5 m/s. El bote se desplaza a 5 m/s en dirección perpendicular a la orilla del río. Calcula: a) El tiempo que tardará en cruzar el río. b) La distancia que es arrastrado río abajo. c) El espacio recorrido Ejercicio nº 10 Desde una ventana situada a 38 metros sobre el suelo se lanza horizontalmente un objeto con una velocidad de 18 m/s. Determina: a) Las ecuaciones que describen el movimiento del objeto. Tomamos como referencia el suelo b) El punto en que toca el suelo. c) La velocidad con que llega al suelo. Ejercicio nº 11 Desde la azotea de un edificio de 55 metros de altura se lanza una pelota con una velocidad de 8 m/s formando un ángulo de 60 º con la horizontal. Determina: a) Las ecuaciones que describen el movimiento de la pelota. Tomamos como origen el suelo. b) El tiempo que tardará en alcanzar el suelo. c) La velocidad cuando se encuentra a 20 metros del suelo. RESUESTAS Ejercicio nº 1 a) R(4) = 60i + 36j y V(4) = 10i 32j R(0) = 20i j y V(0) = 10i R R(4) R(0) 40i 64j b) Vm = = = = 10i 16j t 4 4 V V(4) V(0) 32j c) Am = = = = 8j t 4 4 Ejercicio nº 2 V 0 = 55 km/h = 15 3 m/s; V f = 100 km/h = 27 8 m/s V = V 0 + a.t; 27 8 = a.18 a = 0 7 m/s 2 X = V 0 t + ½ a.t 2 = 15 3.t + 0,34.t 2 X(18 s) = , = 385,2 m

3 Ejercicio nº 3 a) y = 12t 4 9.t 2 V y = t b) V y = 0; t = 0 t = 1 2 s y(1 2 s) = = 7 3 m c) 4 = 12t 4 9.t 2 t 1 = 0 39 s y t 2 = 2 05 s V y (0 39 s) = = 8,1 m/s V y (2 05 s) = ,05 = - 8,1 m/s Ejercicio nº 4 Y 1 = 20t 4 9t 2 Y 2 = 40(t 1) 4 9(t 1) 2 Y 1 = Y 2 ; 40(t 1) 4 9(t 1) 2 = 20t 4 9t 2 t = 1 5 s V 1 = = 5 3 m/s V 2 = (1 5 1) = 35 1 m/s Ejercicio nº 5 Y 1 = t 2 Y 2 = 40(t 1) 4 9(t 1) 2 Y 1 = Y 2 ; t 2 = 40(t 1) 4 9(t 1) 2 t = 2 5 s Y 1 (2 5 s) = = 49 1 m Espacio recorrido por el primero: e 1 = = 30 9 m Espacio recorrido por el segundo: e 2 = Y 2 (2 5 s) = 49 1 m Ejercicio nº 6 t = m/s 0 5 m/s 2 t = 2 5s 0 40 m 65 m X X 1 = 3 5.t X 2 = 65 ½ 0 5.(t 2 5) 2 Calculamos el tiempo que tarda el primero en llegar a x = 40 m 40 = 3 5t t = 11 4 s Calculamos la posición del segundo a los 11 4 segundos: X 2 (11 4 s) = ( ) 2 = 45,1 m (faltan 5 1 m para llegar al taxi)

4 Ejercicio nº 7 a) T = 3/5 = 0 6 s; f = 1/T = 1 67 Hz b) ω = 2π/T = 2π/0 6 rad/s c) V = ωr = (2π/0 6)0 6 = 6 3 m/s A = V 2 /R = 66 1 m/s 2 d) V = e/t ; e = V.t = = 378 m Ejercicio nº 8 a) ω = 2πf = 2π0 25 = π/2 rad/s; V = ωr = 0 55 m/s b) φ = ωt ; φ(5 s) = (π/2)5 = 5π/2 rad c) a = V 2 /R = /0 35 = 0 86 m/s 2 Ejercicio nº 9 a) x = 5t ; 38 = 5.t t = 7 6 s b) y(7 6 s) = 2 5.t = = 19 m 2 2 c) e = = 42 5 m Ejercicio nº 10 a) x = 18t y = t 2 ; V y = - 9 8t b) 0 = t 2 t = 2 8 s X(2 8 s) = = 50 4 m c) V x = 18 m/s V y = = m/s 2 2 V = = 32 8 m/s Ejercicio nº 11 a) V 0x = V 0 cos60 = 8.cos60 = 4 m/s V 0y = V 0 sen60 = 8. sen60 = 6 9 m/s X = V 0x.t = 4.t Y = Y 0 + V 0y.t 4 9.t 2 = t 4 9.t 2 V y = t b) 0 = t 4 9t 2 t = 4 1 s c) 20 = t 4 9t 2 t = 3 5 s V y (3 5 s) = = m/s V = V + Vy = m/s x =

5 Ejercicio nº 1 Un bloque de 10 kg se suelta sobre un plano inclinado α = 60º a un altura h = 18 m. El coeficiente de rozamiento es µ = 0 5. Calcula: a) La aceleración del bloque; b) La velocidad final. Ejercicio nº 2 Tenemos un sistema formado por tres cuerpos (m 1 = 4 kg, m 2 = 4 kg y m 3 = 6 kg), dos cuerdas y una polea (ver figura). Calcula la aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas. Cuerda A M 1 M 2 Cuerda B Ejercicio nº 3 Una vagoneta se mueve a velocidad constante de 18 m/s por una montaña rusa. En el interior de la vagoneta está sentado un hombre de 70 kg. Determina la fuerza normal sobre el hombre cuando la vagoneta pasa por: a) El punto más bajo de una hondonada de 60 metros de radio b) El punto más alto de una colina de 65 metros de radio. M 3 Ejercicio nº 4 Dos cuerpos de 10 y 30 kg descansan sobre un plano horizontal y uno inclinado 30º, respectivamente, unidos por una cuerda que pasa por una polea. Los coeficientes de rozamientos son µ 1 = 0 15 y µ 2 = 0 3. Hallar: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda. 1 2 Ejercicio nº 5 Una piedra de masa 80 gramos vuela en círculos horizontales de 2 metros de radio atada a una cuerda. La piedra da una vuelta cada 1 8 segundos. Calcula la tensión de la cuerda. Ejercicio nº 6 Un cuerpo de 40 kg de masa descansa sobre una mesa. Mediante una cuerda que pasa por la garganta de una polea, se une a otro de 30 kg que cuelga libremente. Calcula la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda suponiendo que el coeficiente de rozamiento para el primer cuerpo vale 0,2.

6 Ejercicio nº 7 Se arrastra un cuerpo de 40 kg por una mesa tirando de él con una fuerza de 200 que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Determina la aceleración del cuerpo suponiendo que el coeficiente de rozamiento vale 0,3. Ejercicio nº 8 Un bloque de 18 kg está situado sobre un plano inclinado 45º. El coeficiente de rozamiento estático vale a) Qué fuerza paralela al plano hay que aplicar para que el bloque comience a moverse hacia arriba? b) Si el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0,3, con que aceleración se moverá el bloque después? Ejercicio nº 9 Un cuerpo de 16 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado 30º iniciando el ascenso con una velocidad de 40 m/s. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,16. Determina: a) La aceleración del cuerpo. b) Espacio recorrido sobre el plano en la subida. c) Altura máxima alcanzada. Ejercicio n º10 Se quiere subir una carretilla cargada de ladrillos con una masa total de 78 kg tirando hacia arriba con una cuerda. La cuerda es capaz de aguantar una tensión máxima de Determina si se romperá la cuerda: a) Si la carretilla sube con velocidad constante de 2 m/s b) Si sube con una aceleración constante de 3 m/s 2 RESUESTAS Ejercicio nº 1 F R x y α a) x = p.sen60 = 84,87 ; y = p.cos60 = 49 F r = µ = µ y = 24,5 = y x Fr = m.a a = ( x Fr)/m = 6,04 m/s 2

7 b) sen60 = h/e e = h/sen60 = 20 8 m v 2 = v ae v = 2 ae = 15 8 m/s Ejercicio nº 2 T A T A a) Cuerpo 1: T A 1 = m 1.a Cuerpo 2: 2 + T B T A = m 2.a Cuerpo 3: 3 T B = m 3.a = (m 1 + m 2 + m 3 ).a a = 4 2 m/s 2 M 1 M 2 T B b) T A = 1 + m 1 a = 56 T B = 3 m 3 a = 33 6 M 3 Ejercicio nº 3 2 V 1 V a) 1 = m.v 2 /R; 1 = mg + m.v 2 /R = 1064 b) 2 = m.v 2 /R; 2 = mg mv 2 /R = 337,1 Ejercicio nº a) F R1 = µ 1 1 = µ 1 1 = 14 7 F R2 = µ 2 2 = µ 2 2y = x = p 2 sen30 = 147 Cuerpo 1: T Fr 1 = m 1 a Cuerpo 2: 2x T Fr 2 = m 2 a 2 x - Fr 1 - Fr 2 = (m1+m2)a a = 1 4 m/s 2 b) T = F R1 + m 1 a = 28,7

8 Ejercicio nº 5 T (período)= 1 8 segundos f = 1/T = 1/1 8 = 0 55 Hz ω = 2πf = 3 49 rad/s V = ω.r = 6 9 m/s F C = T (fuerza tension) = mv 2 /R = 1 9 Ejercicio nº 6 Fr 1 T T 1 = 392 ; 2 = 294 Fr = µ = µ 1 = 78 4 Cuerpo 1: T Fr = m 1 a Cuerpo 2: 2 T = m 2 a 2 Fr = (m 1 +m 2 )a a = 3 1 m/s 2 T = 2 m 2 a = Ejercicio nº 7 = 392 F 0x = F 0 cos30 = F 0y = F 0 sen30 = F 0y = = F 0y = 292 Fr = µ = 87 6 F 0x Fr = ma a = 2 1 m/s 2 Ejercicio nº 8 a) x = psen45 = ; y = pcos45 = 124,7 Fr = µ = µ y = 72,3 F 0 = Fr + x = 197,04 b) Fr = µ = µ y = 37,41 F 0 Fr x = ma a = 1 94 m/s 2 Ejercicio nº 9 V F R x y α

9 a) x = sen30 = 78 4 ; y = pcos30 = Fr = µ = µ y = Fr + x = ma a = 6 2 m/s 2 b) V 2 = V 0 2-2ae ; 0 = e e = 129 m c) sen30 = h/e h = e.sen30 = 64 5 m Ejercicio nº 10 a) si la velocidad es constante aceleración = 0 T = = 764,4 ; o se romperá la cuerda. b) T = m.a T = 998,4 ; no se romperá la cuerda.

10 Ejercicio nº 1 Se desea trasladar 40 m por una superficie horizontal un cuerpo de 12 kg tirando con una fuerza de 40 que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento vale 0 15, calcula el trabajo realizado por cada fuerza y la velocidad final. Ejercicio nº 2 Desde lo alto de un plano inclinado, de longitud 20 metros, y que forma un ángulo de 30º con la horizontal, se deja deslizar un cuerpo de 20 kg. Si el coeficiente de rozamiento vale 0 12, calcula: a) El trabajo realizado por cada fuerza. b) La velocidad con que el cuerpo llega a la base del plano. Ejercicio nº 3 Un cuerpo de 8 kg cae verticalmente desde una altura de 45 metros. a) Calcula la velocidad del cuerpo cuando llega al suelo. b) Calcula la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a 15 metros del suelo. Ejercicio nº 4 Se lanza un cuerpo de 3 kg con una velocidad de 4 m/s sobre un plano horizontal. Se observa que el cuerpo se detiene después de recorrer 6 metros. Calcula: a) El trabajo de la fuerza de rozamiento. b) El coeficiente de rozamiento. Ejercicio nº 5 Un cuerpo de 6 kg llega a la base de un plano inclinado, que forma un ángulo de 30 º con la horizontal, con una velocidad de 8 m/s. Calcula la altura máxima alcanzada por el objeto suponiendo que el coeficiente de rozamiento vale 0,2. Ejercicio nº 6 Un péndulo está formado por un cuerpo de 2 kg unido a una cuerda de 1 4 metros de longitud. Se deja caer el objeto cuando la cuerda se encuentra en posición horizontal. Determina la velocidad del cuerpo y la tensión de la cuerda en el punto más bajo. Ejercicio nº 7 Un péndulo está formado por un cuerpo de 1 8 kg unido a una cuerda de 2 metros de longitud. Se deja caer el objeto cuando la cuerda forma un ángulo de 30º con la horizontal. Determina la velocidad del cuerpo y la tensión de la cuerda en el punto más bajo. Ejercicio nº 8 Una pelota de 250 gramos se deja caer desde una altura de 90 cm. Al chocar con el suelo pierde el 15 % de su energía. Calcula la altura máxima alcanzada por la pelota después de rebotar en el suelo.

11 Ejercicio nº 9 Un proyectil de 80 gramos de masa impacta con un bloque de 4 kg, sujeto del techo por una cuerda, incrustándose en él (ver figura). Como consecuencia del impacto el bloque se eleva un altura de 30 cm. Calcular la velocidad del proyectil. 30 cm Antes del choque Después del choque Ejercicio nº 10 Un coche que circula a 65 km/h frena y disminuye su energía cinética en un 20 %. Calcula la velocidad final. Ejercicio nº 11 Una bola de 50 gramos se deja caer desde el punto A (ver figura). Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0 12 en la parte horizontal, determina la distancia L que recorre antes de detenerse. A 4 m L Ejercicio nº 12 Un cuerpo de 4 kg, sometido a una fuerza F 0 paralela a la superficie, asciende con velocidad constante por un plano inclinado 30º una distancia de 20 m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano vale a) Explica las transformaciones energéticas. b) Determina la fuerza F 0 necesaria para subir el cuerpo. Ejercicio nº 13 Un coche de 3000 kg que circula a 90 km/h frena y se detiene tras recorrer 120 metros. Determina la fuerza realizada por los frenos del coche.

12 Ejercicio nº 14 Una bola de 40 gramos se deja caer en el punto A (ver figura) Después de deslizar por el plano inclinado y recorrer un tramo horizontal asciende hasta el punto D. a) Explica las transformaciones de energía de A a B, de B a C y de C a D b) Determina el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento de A a D. A D 1 m B C 90 cm Ejercicio nº 15 Un cuerpo de 4 kg asciende 18 metros por un plano inclinado 60º al aplicarle una fuerza de 75 paralela al plano. Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0 14 a) Determina ale trabajo realizado por cada fuerza. b) Determina la velocidad final del cuerpo. c) Determina el incremento de energía potencial. Ejercicio nº 16 Una bola de 100 gramos se deja deslizar desde el punto A (ver figura) Calcula la fuerza normal en el punto más bajo de la trayectoria. A 2 m

13 RESUESTAS Ejercicio nº 1 F R F 0 W = 0; W = 0; W F0y = 0 = F 0x = F 0 cos 60º = 40.1/2 = 20 F 0y = F 0 sen 60º = W Fox = F ox.d = = 800 J + F 0y = = F 0y = = F R = µ. = = W FR = - F R.d = J W T = EC = 1/2 12v 2 v = 7 1 m/s Ejercicio nº 2 F R X W Y = 0; W = 0; x = p.sen 30 = 98 y = p.cos 30 = 169,74 F R = µ. = µ. y = = W px = x d = 1960 J W Fr = - F r d = J Y W T = EC = 1/2 20v 2 v = m/s Ejercicio nº 3 1 a) EM 1 = EM 3 EC 1 + E 1 = EC 3 + E mgh 1 = ½ 8.v V 3 = 29 7 m/s b) EM 1 = EM 2 mgh 1 = mgh 2 + ½ 8v 2 V 2 = m/s 2 3 Ejercicio nº 4 a) W Fr = EM = EC + E = EC + 0 = 0 - ½ = - 24 J b) W Fr = - F r L = - 24 F r = 24/6 = 4 F r = µ µ = F r / = F r / = 4/29 4 = 0 14

14 Ejercicio nº 5 L Fr V h F r = µ = µy = µpcos30 = µmgcos30 W Fr = - Fr. L = - µmgcos30l Sen 30 = h/l L = h/sen30 W Fr = - µmgcos30. h/sen30 2 W Fr = EM - µmgcos30. h/sen30 = mgh ½ mv o ½ mv 2 0 = mgh (1 + µcos30/sen30) h = 2 4 m Ejercicio nº 6 T EM 0 = EM f EC 0 + E 0 = EC f + E f 0 + mgh = ½ m V V = 5 24 m/s T = mv 2 /R T = + mv 2 /R = 58 8 V Ejercicio nº 7 x 30 º R R Sen 30 = x/r x = R sen30 = 1 m h = R x = 2-1 = 1 m EM 0 = EM f h T EC 0 + E 0 = EC f + E f 0 + mgh = ½ m V V = 4 43 m/s V T = mv 2 /R T = + mv 2 /R = 35 3

15 Ejercicio nº 8 A B C EM A = mgh A = = 2 2 J Después de rebotar la energía se reduce al 85 % (pierde el 15%) EM B = EM A = = 1 87 J La altura máxima: EM B = EM C EM B = mgh h = EM/mg = 0 76 m Ejercicio nº 9 El choque es inelástico, por lo que se pierde energía al incrustarse el proyectil en el bloque. Una vez que el choque se ha producido, la energía mecánica se conserva, la energía cinética del conjunto proyectil-bloque se transforma en energía potencial. Aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento para calcular la velocidad del conjunto bloque-proyectil justo después del impacto (V 1 ) en función de la velocidad inicial del proyectil (V 0 ): m.v 0 = (m + M)V 1 ; 0 08.V 0 = 4 08.V 1 V 0 = 51.V 1 Después del choque se conserva al energía mecánica: EM 1 = EM 2 ; ½ (m+m) V 1 2 = (m+ M)gh 2 ; 2 04.V 1 2 = V 1 = 2 42 m/s V 0 = 51.V 1 = = m/s Ejercicio nº 10 V 0 = 65 km/h = m/s Después de frenar queda el 80% de la energía cinética. EC f = 0 80.EC 0 ; ½ mv f 2 = 0 80 ½ mv 0 2 V f 2 = 0 80 V 0 2 V f = 16 1 m/s Ejercicio nº 11 En el plano inclinado se conserva la energía mecánica y en la parte horizontal se pierde por las fuerzas de rozamiento. F r = µ = µ = µmg = = W Fr = EM - F r L = 0 mgh L = mgh/fr = 33 2 m Ejercicio nº 12 L F 0 F r a) El cuerpo asciende por el plano inclinado. or lo tanto aumenta la energía potencial: E = mgh > 0 Asciende con velocidad constante. or la tanto la energía cinética no varía: EC = 0 Se produce un aumento de energía mecánica: EM = E + EC = mgh + 0 = mgh >0

16 La fuerza F 0 aporta energía (W F0 = F 0 L >0) y la fuerza de rozamiento quita energía (W Fr = - Fr L <0) b) F 0 = F r + x F r = µ = µ y = µmgcos30 = 5 1 x = mgsen30 = 19 6 F 0 = = 24 7 Ejercicio nº 13 V 0 = 90 km/h = 25 m/s W T = EC - F.L = 0 ½ m V 0 2 F = mv 0 2 /2L = Ejercicio nº 14 a) Si la altura en D es menor que la altura inicial en A significa que actúan fuerzas de rozamiento y, por tanto, la energía mecánica disminuye. A a B: E = - mgh A < 0; EC > 0; EM < 0 B a C: E = 0; EC < 0; EM < 0 C a D: E = mgh D > 0; EC < 0; EM < 0 b) W Fr = EM = EM D EM A = mgh D mgh A = mg (h D h A ) = (0 9 1) = - 0,04 J Ejercicio nº 15 F r L F 0 a) = mg = 39 2 x = psen60 = y = pcos60 = 19 6 F r = µ = µ y = = 2 74 W = 0; W y = 0 W F0 = F 0 L = = 1350 J W x = - x.l = J W Fr = - Fr.L = J b) W T = EC = ½ 4 V F 2 V F = m/s c) E = - W x = J Ejercicio nº 16 A EM A = EM B Mgh = ½ mv 2 V B = 6 26 m/s 2 m B V = mv 2 /R = + mv 2 /R = /2 = 2 9

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