Cálculo I. Índice Derivada. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción La derivada Derivadas de orden superior

Transcripción

1 3.1. Derivada Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. La derivada 3 3. Derivadas de orden superior Conclusiones 19 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

2 1. Introducción El término derivabilidad concierne al estudio del límite lím f(a + ) f(a), el cual surge de manera natural en las siguientes situaciones. 1. Rapidez instantánea: 2. Pendiente de la recta tangente: s(t 0 + t) s(t) v(t 0 )= lím. t!0 t f(x 0 + x) f(x) m tan (x 0 )= lím. x!0 x 3. Tasa de variación instantánea: dy dx (x f(x 0 + x) f(x) 0)= lím. x!0 x Calcular cualquiera de estas tres cantidades escalares depende de poder calcular el límite lím f(a + ) f(a). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 1/20

3 Hacer lo anterior, conlleva dos dificultades: 1. El cálculo de límite en la practica requiere de una gran cantidad de trabajo algebraico, situación que la puede complicar aún más la forma que tenga la función f. La forma práctica de resolver este problema es pasar del enfoque algebraico al analítico. En este caso consiste en introducir el concepto de derivada: lím f(a + ) f(a) = f 0 (a), el cual transforma el problema del cálculo de estas cantidades escalares mediante las reglas del límite a calcular f 0 (a) mediante las reglas de la derivada. De acuerdo con esta definición, v(t 0 )=s 0 (t 0 ), m tan (x 0 )=f 0 (x 0 ), dy dx (x 0)=f 0 (x 0 ), y calcular estas cantidades escalares se limita a calcular las cantidades de lado dereco. Se llama a f 0 (a) la derivada de f en a. De acuerdo con esto, la rapidez instantánea de un objeto en un tiempo t = t 0 se obtiene como la derivada de la distancia recorrida por el objeto en el tiempo t 0. Algo parecido se puede acer en los otros casos. Además esto se ará mediante el uso de las reglas de la derivada y no de las reglas del límite: f(a + ) f(a) lím {z } reglas del límite (algebraico) = f 0 (a) {z} reglas de la derivada (analítico) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/20

4 2. Si se cambia el valor de a en el cálculo del límite anterior, se deben repetir nuevamente los cálculos. Para mucas funciones es posible obtener una fórmula general que proporcione cualquiera de estos valores, al reemplazar a a por x en límite anterior, con lo cual lím f(x + ) f(x) = f 0 (x). Por ejemplo, si se ace v(t) s(t + ) s(t) = s 0 (t), entonces se puede calcular la rapidez instantánea del objeto para todo tiempo t para el cual este límite exista. 2. La derivada Definición de derivada Definición 1 (de derivada como una función). Se define la derivada de la función y = f(x) en x como la función f 0 f(x + ) f(x) (x), siempre que el límite exista. Si x = a es un número en el dominio de f donde el límite anterior existe, entonces f 0 (a) es un número real. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/20

5 Ejemplo 1. Sea f(x) =x Encuentre la derivada de f en x. 2. Encuentre f 0 ( 2) y f 0 (1). Solución. El dominio de f es todo R. Si x es un número en el dominio de f, entonces f 0 f(x + ) f(x) (x) (x + ) 2 +2 x 2 +2 (x + ) 2 x 2, a 2 b 2 =(a b)(a + b) ((x + ) x)((x + )+x) (2x + ), 6= 0 (2x + ) =2x Por lo tanto, para la derivada de la función f(x) =x 2 es f 0 (x) =2x, y además existe para todo número real x. Para la segunda parte, de la derivada de f en x se sigue que f 0 ( 2) = 4 y f 0 (1) = 2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/20

6 Ejercicio 1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición de derivada. 1. f(t) = t t g(z) = p 5z V (r) = 4 3 r3. Notación de la derivada Las más comunes son: f 0 (x), dy dx, y0, Dy, D x y. Así, si se escribe f(x) =x 2 se utiliza la notación f 0 (x) =x 2. O bien, si se escribe y = x 2 entonces se utiliza la notación dy dx =2x. El valor de derivada en número real a es otro número real el cual se denota por los símbolos: f 0 (a) =f 0 (x) x=a, dy dx x=a, y0 (a) =y 0 (x) x=a, D x y x=a. Por ejemplo, si f(x) =x 2 y x =3entonces f 0 (3) = f 0 (x) x=3 =2x x=3 =2 3=6. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/20

7 Ejemplo 2. Determine f 0 (0) para f(x) = x. Solución. Se tiene que f(x) = x = ( x, x 0, x, x < 0. Como no se tiene una única punción definida para x cercanos a 0, se utiliza la definición de derivada. f 0 (0) = lím f(0 + ) f(0) f() f(0) 0, la cual es una forma indeterminada 0/0. En este caso no se pueden simplemente cancelar los s. Se tiene que aplicar en este casos los límites laterales: lím = lím <0, = lím + = lím + = lím ( 1) = lím 1 + = 1 = 1. >0, = c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/20

8 Como los dos límites laterales son distintos, lím no existe. no existe. Como este límite no existe entonces f 0 (0) Ejemplo 3 (de recta tangente). Encuentre la ecuación recta tangente a la gráfica de f(x) =x 3 en x =1. Solución. Por definición f 0 f(x + ) f(x) (x) (x + ) 3 x 3, a 3 b 3 =(a b)(a 2 + ab + a 2 ) ((x + ) x)) (x + ) 2 +(x + )x + x 2 (x + ) 2 +(x + )x + x 2 (x + ) 2 +(x + )x + x 2 =3x 2., 6= 0 Entonces la derivada de f(x) =x 3 es f 0 (x) =3x 2. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (1,f(1)) = (1, 1) es Por lo tanto, m tan = f 0 (1) = 3. y 1=3(x 1) y =3x 2 es la ecuación de esta recta a la gráfica de f en el punto (1, 1). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/20

9 Funciones derivables Definición 2 (Derivabilidad). Sea f una función dada. 1. Se dice que la función f es derivable en un número x de su dominio si el límite existe. lím f(x + ) f(x) 2. El dominio de la derivada f 0 de f está dado por el conjunto de todos los puntos del dominio de f en los cuales f es derivable; es decir, D f 0 = {x 2 D f : f es derivable en x}. De acuerdo con esta definición en general el dominio de f y de su derivada f 0 son diferentes, pero de eco D f 0 D f. 3. Se dice que f es derivable en todo su dominio si el dominio de f y de f 0 son iguales: D f 0 = D f. Ejemplo 4. El dominio de la función f(x) =x 2 son todos los números reales. Como f 0 (x) f(x + ) f(x) =2x, entonces f es derivable para todo número real. Por lo tanto, el dominio de f, y de su derivada f 0 son iguales. Por lo tanto f es derivable en todo su dominio. También se sabe que f es continua en todos los reales. Por lo tanto, f es continua y derivable en todo su dominio. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/20

10 Además de las definiciones anteriores se tienen las siguientes. Definición 3 (Derivada en un intervalo). Sea f una función dada. 1. Se dice que f es derivable en un intervalo abierto si f es derivable en todo número x en algunos de los intervalos (a, b), ( 1,b), (a, 1). 2. Se dice que f es derivable en todas partes si f es diferenciable en todo R, oen(1, 1). 3. Se dice que f es derivable en el intervalo cerrado [a, b] si f es derivable en el intervalo abierto (a, b), y las dos siguientes derivadas laterales existen: f 0 +(a) = lím + f(a + ) f(a) f 0 (b) = lím f(b + ) f(b) (derivada por la dereca de a), (derivada por la izquierda de b). 4. Definiciones semejantes se tiene para la derivabilidad de f en los intervalos [a, 1) y (1,b]. Según el Ejemplo, 4 la función f(x) =x 2 es continua en todas partes. La relación que se puede establecer entre derivada y derivadas laterales es la siguiente. Teorema 1 (derivada y derivadas laterales). La función f es derivable en un número c en el intervalo abierto (a, b) si y sólo si las derivadas laterales de f en c existen y son iguales: f 0 +(c) =f 0 (c). Corolario 1 (no derivabilidad). La función f no es derivable en un número c en el intervalo abierto (a, b) si y sólo si f 0 +(c) 6= f 0 (c), o alguna de estas derivadas laterales no existe. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/20

11 Ejemplo 5. Determine si la función f(x) = p x es continua y derivable en todo su dominio. Solución. El domino de la función f es el intervalo [0, 1). También se sabe que f es continua en todo su dominio. Para determinar si f es derivable en todo su dominio, primero se determina si f es derivable en el intervalo abierto (0, 1) y luego si f es derivable por la dereca de 0. Supongamos que x esta en el intervalo (0, 1). Entonces x>0 y además, f 0 f(x + ) f(x) (x) p p x + x = x + >0, x>0 p p p p x + x x + + x p p, (a b)(a + b) =a 2 b 2 x + + x p ( x + ) 2 ( p x) 2 p x + + p x, (p a) 2 = a si a 0 x + x p x + + p x p x + + p x, 6= 0 1 p x + + p x = 1 2 p. (regla del cociente de límite) x c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 10/20

12 Así que, la función f(x) = p x es derivable para todo x>0 y ademásf 0 (x) = 1 2 p x. Veamos si f es derivable a la dereca de x =0: f+(0) 0 f(0 + ) f(0) = lím + f() f(0) = lím, >0 + p = lím + 1/2 = lím + = lím 1/2, 6= 0 1 = lím p Como este último límite no existe (?) entonces f 0 +(0) no existe; más aún, f 0 +(0) = 1. En consecuencia, f no es derivable en x =0. Por lo tanto, el dominio de f 0 es el intervalo (0, 1). Es decir, f no es derivable en todo su dominio. Así que la función f(x) = p x está definida y es continua en [0, 1) y derivable en (0, 1). En el ejemplo anterior, como f es continua en x =0se tiene que f+(0) = lím p = lím p = lím f 0 (x). + x!0 + x x!0 + c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 11/20

13 Si f no es continua en x = a, en general, este resultado no se puede aplicar. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6. Determine si la siguiente función es derivable en todo su dominio. Encuentre la derivada de f. ( x 2, x apple 2, f(x) = x 3, x > 2. Solución. El domino de f es todo R. Se debe analizar la derivada de f en los intervalos ( (2, 1) yenx =2. 1, 2) y 1. Si x está en intervalo abierto ( 1, 2), o bien x<2, entonces f(x) =x 2 y entonces f 0 (x) =2x. Por lo tanto, f es derivable en el intervalo ( 1, 2). 2. Si x está en intervalo (2, 1) entonces f(x) =x 3 y su derivada es f 0 (x) =3x 2. Por lo tanto, f es derivable en el intervalo (2, 1). 3. Sólo falta analizar la derivada en x =2.Comof es una función a trozos, se determina si f es derivable o no en x =2mediante la definición de derivadas laterales. En este caso, f 0 (2) = lím = lím =4 f(2 + ) f(2), <0, 2+<2 (2 + ) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 12/20

14 Además, Dado que entonces f+(2) 0 f(2 + ) f(2) = lím, >0, 2+>2 + (2 + ) = lím. + lím (2 + )3 2 2 =46= 0 y lím =0 + + (2 + ) 3 4 lím + no existe. Por lo tanto f 0 +(2) no existe. En consecuencia, f 0 (2) no existe. Por lo tanto, f es derivable para todo número real x en su dominio excepto en x =2. Es decir, f es derivable en todo número real x excepto en x =2.Porlotanto,f no es derivable en todo su dominio. La derivada de f es la función ( f 0 2x, x < 2. (x) = 3x 2, x > 2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 13/20

15 Observación 1( cuidado!). En el ejemplo anterior, como f es continua por la izquierda de x =2: f(2) = lím x!2 f(x) =4, entonces se puede calcular la derivada de f por la izquierda de x =2, sin utilizar la definición, como f 0 (2) = lím x!2 f 0 (x) = lím x!2 2x =4. Como la función f no es continua por la dereca de x =2: f(2) 6= lím f(x), f(2) = 4, lím f(x) =8, x!2 + x!2 + no se cumple que En efecto, f 0 +(2) no existe, f 0 +(2) = lím x!2 + f(x). lím f 0 (x) = lím 3x2 =12. x!2 + x!2 + Ejercicio 2. Determine si la siguiente función es derivable en x =2. ( x 2, x < 2, f(x) = x 3, x > 2. Es f continua en todo su dominio? Es derivable en todo su dominio? c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 14/20

16 Continuidad y derivada En algunos casos es posible establecer si una función es no derivable en número real de su dominio, como una consecuencia del siguiente resultado. Teorema 2 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si f es derivable en un número a entonces f es continua en a. Este resultado permite concluir que si x está en el dominio de f 0 entonces x está en el conjunto en donde la función f es continua; es decir, D f 0 D f cont D f. Ejemplo 7. Se demostró que la función f(x) = p x es continua en su dominio, D f =[0, 1), y que es derivable en (0, 1). Es decir, D f 0 D f cont = D f. Es decir, f(x) = p x es continua pero no derivable en todo su dominio. Mediante el siguiente resultado se puede determinar de una manera más fácil si una función no es derivable en un número. Corolario 2 (Discontinuidad implica no derivabilidad). Si f es discontinua en a entonces f no es derivable en a. Ejemplo 8. Determine si la siguiente función es derivable en x =2. ( x 2, x apple 2, f(x) = x 3, x > 2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 15/20

17 Solución. En el Ejemplo 6 se demostró que f 0 (2) no existe mediante las derivadas laterales. Aora se va a demostrar este mismo resultado pero aplicando el Corolario 2. Veamos si f es continua o no en x =2. Se tiene que los límites laterales de f en x =2existen y son distintos: lím x!2 f(x) = lím x!2 x 2 =4, y lím f(x) = lím x3 =8. x!2 + x!2 + Es decir, lím x!2 f(x) no existe, por lo cual f es discontinua en x =2. Del corolario anterior se sigue que f no es derivable en x =2. Si una función no es derivable en x = a, no se puede concluir que allí la función es discontinua. Ejemplo 9. La función f(x) = 3p x que es continua pero no es derivable en x =0: f(0) = lím x!0 3 p x =0, f 0 (0) no existe. También se puede considerar a modo de ejemplo la función f(x) = x en x =0, la cual es continua pero no derivable en x =0: f(0) = lím x!0 x = lím x!0 + x =0, f0 (0) = 1 6= f 0 +(0) = 1. Observación 2. Cuando una función f es continua pero no derivable en un x = a de su dominio, geométricamente puede suceder que: ( f 0 f 0 (a) =±1 of 0 (a) no existe +(a) =±1, G f tiene una tangente vertical en (a, f(a)), f 0 (a) 6= f+(a), 0 G f tiene un pico en (a, f(a)). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 16/20

18 f 0 +(0) = 1 f 0 (0) = 1, f 0 +(0) = 1. Observación 3. Según esto, la gráfica de una función continua no tiene ni uecos ni saltos; yla gráfica de una función derivable no tiene aristas ni tangentes verticales. Entonces, en puntos en donde la función no sea continua su gráfica tiene un ueco o un salto (finito o infinito), y donde no es derivable su gráfica tiene una arista o una tangente vertical. D f = R \{8} =( 1, 8) [ (8, 1), D f cont = R \{8, 11} D f = R \{3, 8, 11} D f 0 D f cont D f f no es continua y no es derivable en todo su dominio. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 17/20

19 3. Derivadas de orden superior Segunda derivada: Por ejemplo, Tercera derivada: En general, Por ejemplo, si f(x) =x 3 entonces y 00 =(f 0 (x)) 0 = f 00 (x) v(t) =s 0 (t) = ds dt (t), y 000 =(f 00 (x)) 0 = f 000 (x) y (n) =(f (n 1) (x)) 0 = f (n) (x) o o d df dx dx (x) = d2 f dx 2(x). a(t) =v0 (t) =s 00 (t) = d2 s dt 2 (t). o d d 2 f dx dx 2(x) d d n dx dx n 1 f 1(x) = d3 f dx 3(x). = dn f dx n(x). f 0 (x) =3x 2, f 00 (x) =6x, f 000 (x) =6, f 0000 (4) = 0. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 18/20

20 4. Conclusiones La definición de derivada de una función f en x, significa que: 1. lím f(x + ) f(x) 2. f 0 (x) es la derivada de f en x. lím Respecto a la existencia de la derivada, y f(x + ) f(x) existe, es decir, f es derivable en x; = f 0 (x), f 0 (a) existe () f 0 (a) =f 0 +(a) f 0 (a) no existe () f 0 (a) 6= f 0 +(a), o alguna derivada f 0 (a), f 0 +(a) no existe Los resultados de derivabilidad y continuidad se resumen así: Las derivadas laterales de f en a existen y son iguales Definición de derivada + () f es derivable en a =) f es continua a c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 19/20

21 También, f no es continua en a =) f no es derivable en a () Alguna de las derivadas laterales de f en a no existe, o ellas existen y no son iguales Finalmente, y D f 0 D f cont D f, f puede ser continua pero no derivable en a c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 20/20