Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: b a

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1 DERIVADAS. Derivadas.. Derivadas. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Funciones. Límites. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. Tasa de variación media. Definición: Se denomina tasa de variación media de variación media de una función f(x) definida en el intervalo [a, b] al número: f(b) f(a) b a La tasa de variación media se interpreta como la velocidad media de cambio de una función en un intervalo. Por ejemplo, se f(t) = 2t + 3 representase la distancia de un motorista desde la ciudad desde la que salió, en función del tiempo. La tasa de variación media representaría la velocidad media a la que se mueve el motorista entre intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, entre los intervalos de tiempo t = 2 y t = 4, la tasa de variación f(2) f() (2 + 3) media es = = 2 2 También se puede interpretar como la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Esto se puede apreciar en la figura (a,f(a)) (b,f(b)) Figura : Representación de la derivada.

2 3 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Derivada de una función en un punto. Definición: Se llama derivada de una función en un punto a, f (a), al límite: f (a) = lím x a f(x) f(a) Es decir, la derivada representa la pendiente de la función f(x) en el punto a. La derivada de un función se puede indicar poniendo el símbolo en la función, f (x). También se puede indicar con D[f(x)], o también, df dx (x). Otras propiedades interesantes de la derivada son: Propiedades: Si f(x) es derivable en x = a f(x) es continua en x = a. Si f(x) no es continua en x = a f(x) no es derivable en x = a. Si f(x) es continua en x = a f(x) puede ser derivable o no serlo, en x = a. 4. Derivadas laterales. Igual que se definían los límites laterales de una función también se pueden definir las derivadas larerales: Definición: Se define la derivada por la izquierda de una función como: f (a ) = lím x a f(x) f(a) Se define la derivada por la derecha de una función como: f (a + ) = lím x a + f(x) f(a) Para que exista la derivada de una función deberá cumplirse la siguiente propiedad: Propiedad: f(x) es derivable en x = a f (a ) = f (a + ) Suele suceder en el caso de tener picos en la función. Esto se puede apreciar en la figura 2, donde se hace la representación gráfica de la función f(x) = x. Esta función no es derivable en x = 0. Como se aprecia en la figura, en x = 0 la función tiene un pico.

3 5 DERIVADAS SEGUNDA, TERCERA, Figura 2: Representación de la función f(x) = x. 5. Derivadas segunda, tercera,... Sea la función f(x). Si se deriva una vez dicha función, se obtiene la función f (x), la primera derivada. Si se deriva una segunda vez la función, es decir, se hace la derivada de la función f (x), se obtiene la segunda derivada, f (x). Si se vuelve a derivar la función f (x), se obtiene la tercera derivada, f (x). De forma idéntica se pueden obtener la cuarta derivada, f IV (x), la quinta derivada, f V (x), la sexta derivada, f V I (x), Ejemplos de cálculo de derivadas. Se van a calcular algunas derivadas, por ejemplo: La derivada de la función constante f(x) = k vale 0. Demostración: f f(x) f(a) k k (a) = lím = lím x a x a = 0 La derivada de la función f(x) = kx vale k. Demostración: f f(x) f(a) kx ka (a) = lím = lím x a x a = lím k() x a () = k La derivada de la función f(x) = kx n vale knx n. Demostración: Se puede dividir (xn a n ) (x a) f f(x) f(a) kx n ka n k(x n a n ) (a) = lím = lím = lím = x a x a x a () por Ruffini y se obtiene: = lím x a k(x n + ax n + a 2 x n a n 2 x) = kna n

4 7 REGLAS DE DERIVACIÓN. 4 Se ha obtenido que f(a) = kna n, por lo tanto, f(x) = knx n. La derivada de la función f(x) = x vale 2 x. Demostración: Se sabe que f(x) = x = x 2. Aplicando la regla anterior se obtiene f (x) = 2 x 2 = 2 x. La derivada de la función f(x) = x vale x 2. Demostración: Se sabe que f(x) = x = x. Aplicando la regla anterior se obtiene f (x) = x 2 = x Reglas de derivación. Procediendo de forma análoga al caso anterior se pueden obtener las siguientes reglas de derivación: Sean f(x) y g(x) funciones y n un número: D[n x] = n D[nf(x)] = n f (x) D[x n ] = nx n D[(f(x)) n ] = (n )(f(x)) n f (x) D[ln(f(x))] = f (x) f(x) D[log n (f(x))] = f (x) lnn f(x) D[e f(x) ] = e f(x) f (x) D[n f(x) ] = n f(x) f (x)lnn D[sen(f(x))] = cos(f(x))f (x) D[cos(f(x))] = sen(f(x))f (x) D[tan(f(x))] = ( + tan 2 (f(x)))f (x) D[arc senf(x)] = D[arc cosf(x)] = D[arctanf(x)] = (f(x)) 2 f (x) (f(x)) 2 f (x) + (f(x)) 2f (x) D[f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) D[f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) [ ] f(x) D = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) 2

5 7 REGLAS DE DERIVACIÓN. 5 Se desea realizar la derivada de la función f(x) = x 3, por las reglas de derivación vistas anteriormente: f(x) = x 3 f (x) = 3x 3 = 3x 2 f(x) = cos(x 3 ) f (x) = sen(x 3 ) 3x 2 f(x) = ln(cos(x 3 )) f (x) = sen(x3 ) 3x 2 cos(x 3 ) f(x) = x cos(x) f (x) = cos(x) + x( sen(x)) f(x) = x 2 + 2x + f (x) = 2x + 2