3. FUNCIONES DERIVABLES.

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1 3. FUNCIONES DERIVABLES Derivada de una función. El concepto de derivada aparece en diversos problemas como un mismo tipo de ite. Veamos dos ejemplos: la denición de la recta tangente a una curva en un punto y la denición de la velocidad instantánea. Recta Tangente Consideramos una curva de ecuación y = f(x) y un punto en la curva P = (a, f(a)). Para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P necesitamos calcular la pendiente y, para ello, la aproximamos mediante una recta secante que pasa por P y otro punto de la curva Q = (x, f(x)) cercano a P. Así, cuando x se acerca a a, el punto Q se aproxima a P y la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la tangente. f x x, f x f x f a a, f a x a Fig. 1: Recta tangente como ite de secantes f(x) f(a) La pendiente de la recta secante es y a este cociente se le denomina x a cociente incremental de f(x) en a, Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente será o f(x) f(a) m t =, x a x a siempre que exista el ite. Por lo tanto, la recta tangente viene denida como y f(a) = m t (x a) Departamento de Análisis Matemático 1 Análisis Matemático (Grado en Física)

2 . Velocidad instantánea Supongamos que s(t) es la posición de un móvil en el instante t, es decir, la distancia (con signo) del móvil al origen en el tiempo t. La velocidad media en el intervalo de tiempo [t 0, t] viene dado por v m = s(t) s(t 0) t t 0. Entonces, la velocidad instantánea en el instante t 0 se dene como el ite de la velocidad media en el intervalo [t 0, t], cuando t se aproxima a t 0, es decir, siempre que este ite exista. v(t 0 ) = t t0 v m = t t0 s(t) s(t 0 ) t t 0, Denición 3.1 (Derivada de una función). Sea f : A R R una función con dominio A y a A A. Se dice que f es derivable en x = a si existe y es nito el ite de los cocientes incrementales x a f(x) f(a). x a Al valor de este ite se le llama derivada de f en x = a y se denota por f (a). Es decir, f (a) = x a f(x) f(a) x a Si en la denición de derivada ponemos x = a + h y hacemos variar h, entonces x a si y sólo si h 0 y, por tanto, podemos escribir también f f(a + h) f(a) (a) =. h 0 h Esta forma de denotar a la derivada procede, esencialmente, del trabajo desarrollado por Isaac Newton. Sin embargo, el Cálculo Diferencial fue desarrollado independientemente por él y por Gottfried Leibniz (quienes mantuvieron una agria polémica por su verdadera autoría). Si escribimos y = f(x), la ecuación de la curva que representa la gráca de f, entonces la derivada de f en un punto arbitrario también se denota como dy dx ó df, siendo ésta la notación que usara Leibniz. Esta notación dx tiene la ventaja de dejar clara que la derivada es, en realidad, un cociente incremental de cantidades innitesimales y permite trabajar con ella como si de un verdadero cociente se tratase. Departamento de Análisis Matemático 2 Análisis Matemático (Grado en Física)

3 Observación 3.2. (a) La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a es y = f(a) + f (a)(x a), siempre que la función f(x) sea derivable en a. Por tanto, si f (a) = 0, entonces la recta tangente a la curva y = f(x) en P es horizontal, y si el ite del cociente incremental es (+ ó ), entonces decimos que la derivada es innita (f no es derivable) y la recta tangente es vertical (ya que la posición ite de la secante es vertical). (b) La recta normal, o normal a la gráca de f en el punto P = (a, f(a)) es la recta perpendicular a la tangente en dicho punto. Es decir, aquélla cuya pendiente es inversa y opuesta a la de la tangente y por tanto la ecuación de la recta normal es: y = f(a) 1 f (x a). (a) Denición 3.3. Función derivada Sea A 1 = {x A : f es derivable en x}. Entonces se llama función derivada o derivada primera de f, y la denotaremos por f, a la función Observación 3.4. f : A 1 > > R x > f (x). (a) Si la distancia al origen de un móvil, en función del tiempo, viene dada por s(t), entonces su velocidad instantánea será v(t) = s (t). Si la velocidad es positiva, el móvil avanza; si es negativa el móvil retrocede y si es constantemente 0 entonces está parado. En ocasiones, por velocidad también se entiende el valor absoluto, y entonces sólo se mide la rapidez con que se mueve y no la dirección. La derivada de la función v(t) es la aceleración, es decir, a(t) = v (t). (b) En general, la tasa de variación media de una cantidad f que depende de otra x, se corresponde con el cociente incremental y la tasa de variación instantánea se corresponde con la derivada f (x). La existencia de la derivada de una función se ha reducido a la existencia de un ite. Pero ya sabemos que un ite existe si y sólo si existen ambos ites laterales y, además, coinciden. es por ello que podemos dar la siguiente denición. Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

4 Denición 3.5 (Derivadas laterales). Sea la función f : A R R, y a A tal que (a, a+δ) A, para algún δ > 0. Se llama derivada por la derecha de f en a al ite f +(a) = f (a + f(x) f(a) f(a + h) f(a) ) = =. x a + x a h 0 + h Análogamente si (a δ, a) A, para algún δ > 0, se dene la derivada por la izquierda de f en a como f (a) = f (a f(x) f(a) ) = = x a x a h 0 + f(a + h) f(a). h Observación 3.6. Una función f es derivable en x = a si y sólo si existen ambas derivadas laterales y coinciden. En tal caso, se tendrá que f (a) = f (a) = f +(a). Cuando no coincidan las derivadas laterales pero si exista alguna de ellas podremos hablar de semitangente. Por ejemplo, si existe la derivada por la derecha, f tiene semitangente por la derecha con ecuación y = f(a) f +(a)(x a), para x a y, análogamente, si tiene derivada por la izquierda. En el caso en que f +(a) = + y f (a) = (o viceversa), decimos que x = a es un punto de retroceso. Ejemplos 3.7. (a) La pendiente de la gráca de la función f(x) = 1/x en un punto arbitrario (x, f(x)) es: f (x) = 0 f(x + ) f(x) = 0 1 x+ 1x = 0 x(x + ) = 1 x 2. Por tanto, la ecuación de la tangente a la curva en el punto (2, 1/2) es y = 1/2 + ( 1/4)(x 2) ó x + 4y 4 = 0, y la ecuación de la normal a la curva en el punto (2, 1/2) es y = 1/2 + 4(x 2) ó 8x + 2y 15 = 0. (b) La función valor absoluto f(x) = x no es derivable en x = 0 pero sí existen en ese punto las derivadas laterales con valor 1 y 1, es decir, existen las semitangentes a la gráca en (0, 0). (c) La función f(x) = x 1/3 no es derivable en x = 0 porque f (0) = +, es decir, la tangente a la gráca de la función en el (0, 0) es vertical. (d) La función f(x) = x 1/3 tiene en x = 0 un punto de retroceso donde obviamente no es derivable porque f +(0) = + y f (0) = (ver Figura 2). Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)

5 Fig. 2: La función f(x) = x 1/3 con punto de retroceso en x = 0. Teorema 3.8. Si f es derivable en a R entonces f es continua en a. Observación 3.9. El recíproco de esta proposición no es cierto como prueban los Ejemplos (b) y (d) anteriores El concepto de diferencial f(a + h) f(a) Sea f una función derivable en x = a, es decir, el ite h 0 h lo que hemos llamado f (a)). existe y es nito (es Pero entonces, que dicho ite sea igual a f (a) es equivalente a que h 0 f(a + h) f(a) f (a)h } {{ h } :=α(h) o dicho de otro modo, la función α(h) es un innitésimo cuando h 0 y podemos escribir que = 0, f(a + h) f(a) = f (a) h + α(h) h. En esta última igualdad vemos que el incremento de f al pasar la variable independiente de a a a + h puede escribirse como la suma de un término lineal en h (es decir, f (a) h) y otro término que es el producto de h por un innitésimo cuando h 0. Así pues damos la siguiente denición. Departamento de Análisis Matemático 5 Análisis Matemático (Grado en Física)

6 Denición 3.10 (Diferencial). Sea f una función derivable en x = a. Se llama diferencial de f en a a la aplicación lineal siguiente: df(a) : R R x df(a) := f (a) x Aunque hemos escrito df(a) = f (a)x, en realidad debería escribirse df(a)(x) = f (a) x. Observación (a) Si f(x) = x para todo x R, entonces f (a) = 1 para todo a R y, por tanto, sería df(a) = 1 x = x, es decir, la aplicación df(a) sería la identidad. Por ello, es usual escribir df(x) = f (x)dx para todo x en donde f sea derivable. (b) Con la denición de diferencial, podemos interpretar que ésta representa, de forma aproximada, al incremento de la función. En efecto, sabemos que f(a + h) f(a) = df(a) + α(h) h, pero como α(h) h = 0, podemos usar que h 0 f(a) = f(a + h) f(a) df(a) = f (a) h = f (a) (a), es decir, el incremento de la función para variaciones pequeñas de la variable, es el producto de la derivada por el incremento de la variable Reglas elementales de derivación Teorema 3.12 (Álgebra de derivadas). Sean f, g : A R R, a A A con f y g derivables en x = a y α R. Entonces: (a) f ± g es derivable en x = a y (f ± g) (a) = f (a) + g (a). (b) α f es derivable en x = a y (α f) (a) = α f (a). (c) f g es derivable en x = a y (f g) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Departamento de Análisis Matemático 6 Análisis Matemático (Grado en Física)

7 (d) Si g(a) 0, entonces f g es derivable en x = a y ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g (g(a)) 2. Teorema 3.13 (Regla de la cadena). Sean f : A 1 R R y g : A 2 R R, con f(a 1 ) A 2 y sea a A 1 A 1, de modo que f es derivable en a y g es derivable en f(a). Entonces g f es derivable en a y se verica (g f) (a) = g (f(a))f (a). En notación de Leibniz, si y = y(x) y x = x(t), entonces dy dt = dy dx dx dt. Teorema 3.14 (Función inversa). Sea f : A R R una función inyectiva, continua en A y derivable en a int(a), con f (a) 0. Entonces f 1 es derivable en b = f(a) y se cumple que ( f 1 ) (b) = ( f 1 ) (f(a)) 1 f (a) = 1 f (f 1 (b)). Apoyándonos en el álgebra de derivadas y en estos dos últimos teoremas, podemos obtener la derivada de todas las funciones elementales Tabla de derivadas de funciones elementales (cte) = 0 (x α ) = α x α 1 (f(x) α ) = α f (x) f(x) α 1 (ln x) = 1 x (ln f(x)) = f (x) f(x) (e x ) = e x ( e f(x)) = f (x) e f(x) Departamento de Análisis Matemático 7 Análisis Matemático (Grado en Física)

8 (a x ) = a x ln a, a > 0 ( a f(x)) = a f(x) ln a, a > 0 (sen x) = cos(x) (sen(f(x))) = f (x) cos(f(x)) (cos x) = sen x (cos(f(x))) = f (x) sen(f(x)) (tan x) = 1 + tan 2 x (tan(f(x))) = f (x) ( 1 + tan 2 (f(x)) ) (arc sen x) = 1 1 x 2 (arc sen(f(x))) = f (x) 1 f(x) 2 (arctan x) = x 2 (arctan(f(x))) = f (x) 1 + f(x) 2 (arg senh x) = x 2 (arg senh(f(x))) = f (x) 1 + f(x) Otras técnicas de derivación Derivación implícita. Denición Se dice que una ecuación F (x, y) = 0 en variables x e y, dene a y implícitamente como función de x, si existe una función y = y(x), denida en un conjunto A R, tal que para todo x A se tiene que F (x, y(x)) = 0. La ecuación x = ln y 2 dene a y implícitamente como función de x, como podemos comprobar despejando y en la ecuación: y = e x+2. Sin embargo, no siempre se puede despejar y, como, por ejemplo, en la ecuación ln(x+y)+xy = 1. Incluso, a veces, aun pudiendo despejar y, el resultado es una función cuya derivada es engorrosa de calcular. Por ello es muy útil una herramienta que nos permita calcular la derivada y (x) sin tener que despejar y. Departamento de Análisis Matemático 8 Análisis Matemático (Grado en Física)

9 Derivación implícita Dada una ecuación F (x, y) = 0 que dena a y como función implícita de x. Paso 1 Escribimos y(x) en lugar de y, es decir F (x, y(x)) = 0. Paso 2 Derivamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x. Como y depende de x, hay que usar la regla de la cadena al derivar términos donde aparezca la y. Paso 3 Despejamos y (x) de la ecuación resultante. La derivada en general será una función dependiendo de x y de y. Ejemplo Consideremos la curva de ecuación implícita x 3 y 2 3xy + 2 = 0 que pasa por el punto (1, 2). Calcular y (1) y la recta tangente a dicha curva en el punto (1, 2). Paso 1 Escribimos y = y(x) en la ecuación: x 3 y(x) 2 3xy(x) + 2 = 0. Como la curva pasa por el punto (1, 2), se debe cumplir que y(1) = 2. Paso 2 Derivamos la ecuación respecto de x: 3x 2 y(x) 2 + 2x 3 y(x)y (x) 3y(x) 3xy (x) = 0. Paso 3 Despejamos y (x): y (x) = 3x2 y(x) 2 3y(x) 3x 2x 3 y(x) = 3y(x) x x 2 y(x) 1 3 2x 2 y(x). Paso 4 Aplicamos las condiciones del problema para calcular y (1): y (1) = 3y(1) y(1) 1 3 2y(1) = = 6. Por tanto la ecuación de la recta tangente a y = y(x) en x = 1 es y 2 = 6(x 1) ó, equivalentemente, 6x + y = Derivación logarítmica Dada una función positiva y derivable f(x), sabemos que la función g(x) = ln(f(x)) tiene derivada g (x) = f (x) f(x). A veces puede ser útil calcular la derivada de f(x) a partir de la derivada de su logaritmo por simplicar los cálculos. Así derivamos ln(f(x)) y la expresión explícita del logaritmo de f(x), igualamos y despejamos f (x). Departamento de Análisis Matemático 9 Análisis Matemático (Grado en Física)

10 Ejemplo Calculemos la derivada de f(x) = ambos miembros y luego derivando. Entonces: sen 2x 1 sen 2x tomando logaritmo neperiano en ( ) sen 2x ln(f(x)) = ln = 1 ) ln(1 + sen 2x) ln(1 sen 2x), 1 sen 2x 3( f (x) f(x) = 1 ( ) 2 cos 2x 2 cos 2x = sen 2x 1 sen 2x 3 2 cos 2x 1 sen 2 2x = 4 3 cos 2x. f (x) = sen 2x 3 cos 2x 3 1 sen 2x. Este método permite recuperar algunas de las reglas usuales de derivación ya vistas anteriormente. Derivada de la potencia: F (x) = f(x) α, α R. ln F (x) = α ln f(x) F (x) F (x) = (x) αf f(x) Derivada de la exponencial: F (x) = a f(x), a > 0. F (x) = αf(x) α 1 f (x). ln F (x) = f(x) ln a F (x) F (x) = f (x) ln a F (x) = a f(x) f (x) ln a Algunos teoremas importantes de derivación Funciones con derivada no nula Ya vimos en el Tema 1 el concepto de máximo y mínimo absoluto de una función en un conjunto. Vamos a introducir el concepto de extremo (máximo o mínimo) local o relativo. Denición 3.18 (Extremos locales). Decimos que una función f(x) tiene un máximo local o relativo en x = a si existe δ > 0 tal que f(a) f(x) para cada x (a δ, a + δ). Análogamente, f presenta un mínimo local o relativo en x = a si δ > 0 tal que f(a) f(x), x (a δ, a + δ). En el primer caso, la función pasa de ser creciente a decreciente, y en el segundo, al contrario. En ambos casos decimos que f(x) tiene un extremo local o relativo. Si las desigualdades son estrictas, decimos que los extremos son estrictos. Departamento de Análisis Matemático 10 Análisis Matemático (Grado en Física)

11 Observación Si una función f : [a, b] R R alcanza el máximo (mínimo, respect.) absoluto en un punto c (a, b), entonces éste será también máximo (mínimo, respect.) relativo. Sin embargo, el recíproco no es cierto, como muestra la gura siguiente. Máximo relativo Fig. 3: Extremos absolutos y relativos Teorema Sean f : A R R y a A A de forma que f derivable en a. (a) Si f (a) > 0, entonces existe δ > 0 tal que x (a δ, a) es f(x) < f(a) y x (a, a + δ) es f(x) > f(a). (b) Si f (a) < 0, entonces existe δ > 0 tal que x (a δ, a) es f(x) > f(a) y x (a, a + δ) es f(x) < f(a). Observación f(x) f(a) (a) El resultado es válido también si = + (resp. ). x a x a (b) El Teorema implica que antes de x = a la función está por debajo de f(a) y después de x = a está por encima de f(a). Esto no quiere decir que f sea monótona en un entorno de a, como lo prueba la función x 2 sen(1/x) + x/2 x 0 f(x) = 0 x = 0. Departamento de Análisis Matemático 11 Análisis Matemático (Grado en Física)

12 Fig. 4: Gráca de la función f(x) = x 2 sen(1/x) Corolario 3.22 (Condición necesaria de extremo). Sea f : A R R y a int(a) con f derivable en x = a. Entonces, si f tiene un extremo relativo en x = a debe ser f (a) = 0. Como consecuencia se tiene que los posibles extremos relativos de f : A R R están en A\int(A) (por ejemplo, los extremos del intervalo de denición, si éste es cerrado), en {x A : f no es derivable en x} ó en {x A : f (x) = 0}. Observación El recíproco del Corolario anterior no es cierto en general, pues hay funciones con derivada nula en un punto y sin extremos en dicho punto. Por ejemplo, f(x) = x 3 en x = Teoremas de Rolle y del valor medio Veamos algunos resultados sobre el comportamiento de funciones derivables. Teorema 3.24 (Teorema de Rolle). Si f(x) es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f(a) = f(b), entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Observación La hipótesis de derivabilidad en (a, b) ya implica que la función es continua en ese intervalo. Faltaría añadir que f sea continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Interpretación geométrica: Si la función toma el mismo valor en a y en b siendo continua en el intervalo [a, b], necesariamente la gráca de la función entre los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) tiene tangente en todos los puntos y, en al menos uno de ellos, la tangente tiene que ser horizontal (ver Figura 5) Departamento de Análisis Matemático 12 Análisis Matemático (Grado en Física)

13 f a f b a c b Fig. 5: Interpretación geométrica del Teorema de Rolle Este teorema se aplica para el estudio del número de raíces de una ecuación: Ejemplo Veamos que la ecuación x2 x 1 = 0 tiene una única raíz en el intervalo [0, 1]. Consideramos f(x) = x2 x 1 que es derivable en (0, 1) y continua en [0, 1]. Como f(0) = 1 < 0 y f(1) = 1 > 0 por el Teorema de Bolzano sabemos que existe c (0, 1) tal que f(c) = 0, es decir, existe una raíz de la ecuación. Si suponemos que existe más de una, c 1, c 2 (a, b), tendríamos f(c 1 ) = f(c 2 ) = 0 y aplicando el Teorema de Rolle al intervalo [c 1, c 2 ], tenemos que existe d (c 1, c 2 ) tal que f (d) = 0. Pero f (x) = 2 x (1 + x log 2) > 0, x [0, 1] llegando a una contradicción. Teorema 3.27 (Teorema del valor medio de Lagrange). Sea f(x) una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a). b a Interpretación geométrica: Existe al menos un punto en la gráca de f(x) en el intervalo [a, b] tal que la tangente es paralela a la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir, que ambas pendientes son f(b) f(a) b a (ver Figura 6) Interpretación física: Si la función s(t) representa la distancia recorrida por un móvil en función del tiempo, el Teorema del valor medio de Lagrange asegura que la velocidad media en un intervalo Departamento de Análisis Matemático 13 Análisis Matemático (Grado en Física)

14 f b f a a c b Fig. 6: Interpretación geométrica del Teorema de Lagrange de tiempo [a, b], v m = v(c) = s (c). s(b) s(a), coincide con la velocidad en algún instante de tiempo c (a, b), b a Observación El Teorema de Rolle es un caso particular de este teorema tan sólo haciendo f(a) = f(b). Corolario 3.29 (Crecimiento y signo de la derivada). Sea f : [a, b] R es continua en [a, b] y derivable en (a, b). (a) Si f (x) = 0 para todo x (a, b), entonces f es constante en [a, b]. (b) Si f (x) > 0 para todo x (a, b), entonces f es estrictamente creciente en [a, b]. (c) Si f (x) < 0 para todo x (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]. (d) Si f (x) M para todo x (a, b), entonces f(b) f(a) M(b a). Otro resultado de carácter práctico que se puede obtener a partir del Teorema del Valor Medio de Lagrange, nos permite determinar si un punto es máximo o mínimo relativo basándonos en el signo de la derivada antes y después. Departamento de Análisis Matemático 14 Análisis Matemático (Grado en Física)

15 Teorema 3.30 (Criterio de la primera derivada). Sea f : [a, b] R continua en [a, b]. Supongamos que f es derivable en todo (a, b) salvo, a lo más, en un cierto punto c (a, b). Entonces (a) Si δ > 0 tal que f (x) > 0, x (a δ, a) y f (x) < 0, x (a, a + δ), entonces x = a es un máximo relativo. (b) Si δ > 0 tal que f (x) < 0, x (a δ, a) y f (x) > 0, x (a, a + δ), entonces x = a es un mínimo relativo. Teorema 3.31 (Teorema del valor medio generalizado de Cauchy). Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe c (a, b) tal que (g(b) g(a))f (c) = (f(b) f(a))g (c). Observación Este teorema es una generalización del Teorema del valor medio de Lagrange tan sólo haciendo g(x) = x Regla de L'Hôpital Esta herramienta sencilla sirve para el cálculo de indeterminaciones del tipo [ 0 0] y [ ]. Lo vemos en este tema por ser necesario el cálculo de derivadas. Teorema 3.33 (Primera regla de L'Hôpital). Sean f, g : (a, b) R derivables tales que g(x) = 0 y g(x) 0 x (a, a + δ) para algún δ > 0. Si existe x a + f(x) x a + g(x) = l. Observación (a) El teorema también es válido cuando x b. f (x) x a + g (x) f(x) = x a + = l, entonces, f (x) x a+ g = (± ). Resultados análogos se obtienen para (x) (b) También es válido el resultado si el ite se toma en un punto c (a, b). Teorema 3.35 (Segunda regla de L'Hôpital). Sean f, g : (M, + ) R funciones derivables tales que f(x) = g(x) = 0 y g(x) 0 x > K para algún K a. Si existe f (x) x + x + x + g (x) = l, entonces, x + f(x) g(x) = l. Departamento de Análisis Matemático 15 Análisis Matemático (Grado en Física)

16 Observación El teorema también es válido si se toman ites cuando x tiende a o si l es igual a, + ó. La regla de L'Hôpital es muy útil para el cálculo de ites. No obstante no es difícil encontrar f(x) ejemplos adecuados para vericar que, aunque f y g sean derivables, la existencia de x a g(x) no f (x) implica la existencia de x a g (x). Ejemplos f(x) (a) Sean f(x) = x sen x y g(x) = x. Si tratamos de calcular comprobamos que se trata x + g(x) de una indeterminación del tipo [ ], luego podemos aplicar L'Hôpital y comprobamos que f (x) x + g (x) = y claramente este último ite no existe. (x sen x) x + (x) Sin embargo, el ite original sí se puede calcular: L H == (1 cos x), x + f(x) x g(x) = x sen x ( = 1 sen x ) = 1 1 = 0. x x x x (b) Sean f(x) = x 2 sen(1/x) (si x 0) y f(0) = 0, y g(x) = sen x. Si x 0, entonces f (x) = 2x sen(1/x) cos(1/x), por lo tanto, f (x) x 0 g (x) = x 0 2x sen(1/x) cos(1/x). cos x Pero como 2x sen(1/x) 0 (acot) = 0, cos x = 1 y cos(1/x), se deduce que el ite x 0 x 0 x 0 de las derivadas tampoco existe. Sin embargo, f(x) x 0 g(x) = x 2 sen(1/x) = x 0 sen x x 0 x sen x }{{} 1 x sen(1/x) = 0. }{{} 0 (acot)=0 En otras ocasiones, la Regla de L`Hôpital produce que, tras una cantidad nita de aplicaciones, volvamos al ite original. Departamento de Análisis Matemático 16 Análisis Matemático (Grado en Física)

17 Ejemplo x + x [ ] x = L H == x + 1 2x 2 x 2 +2 = x + x x [ = ] L H ==... = x + x x Como hemos visto, la Regla de L'Hôpital se aplica para la indeterminación del tipo [ 0 0]. Es inmediato que también se le puede aplicar a una indeterminación del tipo [ ] (sin más que ver que f g = 1/g 1/f y teniendo en cuenta que f si y sólo si 1/f 0). Por tanto, la Regla de L'Hôpital es útil para las indeterminaciones del cociente. Pero como el resto de indeterminaciones es fácil reescribirlas para obtener alguna del cociente, en realidad esta regla nos permitirá resolver prácticamente cualquier tipo de indeterminación. (a) : f g = 1/f 1/g 1/fg f, g (1/f 1/g), (1/fg) 0. (b) 0 : f g = f 1/g = 1/f g. f 0 1/f y g 1/g 0. (c) 1, 0 0 y 0 : f g = Exp [ln f g ] = Exp [g ln f] = Exp [ ] ln f. 1/g f 1 ln f 0 y g 1/g 0. f 0 f y g 0 1/g. f (+) ln f + y g 0 1/g Asíntotas. Ya hemos visto anteriormente el concepto de asíntota vertical y horizontal. Veamos el concepto genérico de asíntota e introduzcamos el de asíntota oblicua. A la hora de calcular las asíntotas, el uso de la Regla de L'Hôpital es (casi) indispensable. Departamento de Análisis Matemático 17 Análisis Matemático (Grado en Física)

18 Denición 3.39 (Asíntota). Una asíntota es una recta a la que la función se acerca indenidamente cuando la variable tiende a algún valor. Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación x = a donde x a f(x) = ± (también válido para ites laterales). Es decir, que a medida que nos acercamos a a, el valor de la función se hace in- nitamente grande (en valor absoluto). Se dan en puntos donde la función presenta una discontinuidad de salto innito o asintótica. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación y = b donde f(x) = b. A medida que x se x ± hace grande (en valor absoluto) la función se acerca a la recta. Pueden existir a lo sumo dos asíntotas horizontales, una para + y otra para, que podrían ser la misma recta. ( ) Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación y = mx + n donde f(x) (mx n) = 0. Es x ± decir, la función se acerca a la recta cuando x crece o decrece indenidamente. El valor de la pendiente es m = f(x) x ± x, que debe ser nito y no nulo. Y el valor de la ordenada es n = x± (f(x) mx). Sólo pueden existir a lo sumo dos asíntotas oblicuas, para + o, que podrían ser la misma recta. Y la suma de las asíntotas horizontales y oblicuas es como máximo dos, porque la función en el innito no puede acercarse a una recta horizontal y oblicua a la vez. Esto quiere decir, si la función tiene dos asíntotas horizontales, no puede tener asíntotas oblicuas. Departamento de Análisis Matemático 18 Análisis Matemático (Grado en Física)