Cálculo I Aplicaciones de las Derivadas: Linealización y Diferenciales. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción 1. 2.

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1 4.7. Aplicaciones de las Derivadas: Linealización y Diferenciales Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. Errores 2 3. Linealización 4 4. Diferenciales 10 A. Teorema de Taylor (Opcional) 17 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

2 1. Introducción Si una función f(x) es derivable en un número a, entonces y = L(x) =f(a)+f 0 (a)(x a) representa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)). Se espera que la gráfica del recta tangente está muy próxima a la gráfica de f en cercanías del punto de tangencia. Por esta razón, se puede esperar que si x está cerca del número a entonces el valor f(x) esté muy cercan del valor L(x) de la recta tangente. De esta manera, los valores L(x) de la recta tangente en (a, f(a)) se pueden usar para aproximar los valores f(x) de la función. El error en esta aproximación, denotado R(x), será R(x) =f(x) L(x). Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 1/28

3 2. Errores Definición 1 (Errores en aproximaciones). Sea x un valor aproximado del valor real x. Se define el error en este cálculo como x x, y el error relativo en el mismo cálculo como x x x. El error relativo es un error sin dimensiones, o en tanto por uno. Si se multiplica por 100, el error relativo se convierte en tanto por ciento o error porcentual. En la práctica es más importante el error relativo. Definición 2 (Cifras significativas o dígitos exactos). La cantidad de cifras significativas de un número aproximado es la cantidad de dígitos significativos exactos de dicho número. Definición 3 (Cifras decimales exactas o dígitos decimales correctos). La cantidad de cifras decimales exactas de un número aproximado es la cantidad de cifras exactas que están después de la coma decimal. Por ejemplo, 5,078 tiene 4 cifras significativas, 3 cifras decimales exactas 0, tiene 3 cifras significativas, 6 cifras decimales exactas 4235 tiene 4 cifras significativas, 0 cifras decimales exactas 525,48 tiene 5 cifras significativas, 2 cifras decimales exactas Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/28

4 Definición 4 (Cifras decimales exactas y cifras significativas). Se dice que el número x aproxima a x con d cifras decimales exactas si d es el mayor entero no negativo para el cual x x < 0,5 10 d. Igualmente, se dice que el número x aproxima a x con k cifras significativas si k es el mayor entero no negativo para el cual x x x < 0, k =5 10 k. Ejemplo 1. Si x =25,3654 es una aproximación de x =25,36536 calcular el número de decimales correctos y el numero de cifras significativas de la aproximación. Solución. Para que la aproximación de x mediante x tenga d cifras decimales exactas, el error relativo x x =0,00004 = debe cumplir con la condición que apple 0,5 10 d =) 10 d 5 apple 1 8 =) d apple 5 log 8 = 4, Es decir la aproximación tiene 4 decimales correctos. Así que x =25,3654. Por otro lado, para que la aproximación de x mediante x tenga d cifras significativas el error relativo x x x =1, Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/28

5 debe cumplir con la condición que 1, apple 5 10 k =) 10 k 6 apple 5 1, =) k apple 6+log 1,5769 =6, 5 Entonces la aproximación x tiene k =6cifras significativas. Es decir, x =25,3654. Observación 1. Observe que se pueden obtener a d y k de una manera más sencilla, pues apple 0, y dado que 1,5759 < 5 entonces 1, < Linealización Definición 5 (Linealización). Si una función f(x) es derivable en un número a, entonces se dice que la función L(x) =f(a)+f 0 (a)(x a) es una linealización de f en a. Para un número x próximo a a, la aproximación se denomina aproximación lineal local de f en a. f(x) L(x) Según lo expuesto previamente, es posible encontrar el número de cifras decimales exactas y el número de cifras significativas en esta aproximación de f(x) mediante los valores de la recta tangente. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/28

6 Ejemplo 2. Encuentre una linealización de f(x) =senx en a =0. Solución. Dado que f(x) =senx y f 0 (x) =cosx entonces f(0) = 0 y f 0 (0) = 1. Entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) =senx en (0, 0) es y = f(0) + f 0 (0)(x 0) = x. En tal caso, la linealización de f(x) =senx en a =0es L(x) =x. Además la aproximación local de f en a =0es sen x x, lo cual explica porque la gráfica de f(x) =senx y su linealización L(x) son casi la misma cerca del origen. Ejemplo 3. Calcule un valor aproximado de ln1,1 mediante su linealización y determine una cota superior para el valor absoluto del error cometido en la aproximación. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/28

7 Solución. Consideremos la linealización de la función f(x) =lnx en a =1. La función y sus derivadas en a =1son: Entonces la linealización de f(x) =lnx en a =1es f(x) =ln1, f(1) = 0, f 0 (x) = 1 x, f0 (1) = 1. L(x) =f(0) + f 0 (0)(x 1) = x 1. Por lo tanto, la aproximación local de f(x) =lnx en a =0es ln x x 1. Al hacer x =1,1 se tiene que el valor aproximado de ln 1,1 mediante su linealización en a =1es ln 1,1 0,1. Una forma de conocer una cota del error en la estimación de f(x) mediante la linealización de f en a cercano a x, se establece mediante el siguiente teorema. Teorema 1 (Teorema de Taylor de primer orden). Sea f(x) una función tal que f 00 (x) existe en un intervalo I. Sia y x con dos números distintos de I entonces existe un c entre a y x tal que f(x) =f(a)+f 0 (a)(x a)+ f 00 (c) (x a) 2. 2! Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/28

8 Demostración. Se define el error en la aproximación de f(x) mediante su linealización L(x) como R 1 (x). En tal caso, f(x) =f(a)+f 0 (a)(x a)+r 1 (x) (1) En este caso, se busca un número real a 2 de manera que este error sea de la forma Así que, Observe que R 1 (x) =a 2 (x a) 2. f(x) =f(a)+f 0 (a)(x a)+a 2 (x a) 2. f(x) f(a) f 0 (a)(x a) a 2 (x a) 2 =0 (2) Al cambiar en esta ecuación a a por t, no se va a cumplir la ecuación, pero se va poder definir la función donde Según la definición de G(t) y (2) se tiene que G(t) =F (t) a 2 (x t) 2, F (t) =f(x) f(t) f 0 (t)(x t). G(a) =0 F (a) a 2 (x a) 2 =0. Como x 6= a entonces se sigue de este resultado que se pude considerar a 2 = F (a) (x a) 2. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/28

9 De esta manera se tiene que la función G(t), que está bien definida en el intervalo cerrado J con extremos a y x, se puede escribir como (x t) 2 G(t) =F (t) (x a) 2F (a). Adicionalmente, G(t) es continua en J, derivable en el interior de J y G(x) =G(a) =0.Porelteorema de Rolle existe un c entre a y x tal que G 0 (c) =0.Como G 0 (c) =G 0 (t) = F 0 2(x t) (t)+ x=c (x a) 2F (a) = f 00 (t)(x t)+ x=c apple = f 00 2(x c) (c)(x c)+ (x a) 2F (a) =(x c) f 00 (c)+ donde x 6= c, pues c está entre a y x, entonces se sigue de G 0 (c) =0que donde a su vez De (1), (3) y (4) se sigue el resultado. 2F (a) (x a) 2 2(x t) (x a) 2F (a) x=c F (a) = f 00 (c) 2 (x a)2, (3) F (a) =f(x) f(a) f 0 (a)(x a) =R 1 (a). (4) Ejemplo 4. Utilice la fórmula de Taylor de primer orden para calcular cos 60,5 y determine el número de cifras decimales exactas en esta aproximación. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/28

10 Solución. Como 60,5 está próximo a 60 = rad, y la función coseno y su primera derivada son 3 fáciles de evaluar en este número, se elige a = 3.Paraf(x) =cosx se tiene que f =cos 3 3 = 1 2 y f 0 = sen p =. Entonces la linealización de f es 2 L(x) =f(a)+f 0 (a)(x a) = 1 p 3 x Para poder utilizar esta fórmula se debe convertir el ángulo de 60,5 a radianes: 60,5 =60 +0,5 = 3 +0,5 180 = Por lo tanto, cos 60,5 L 3 + = 1 p =0, Se tiene que f 00 (x) = cos x. Por el teorema de Taylor de primer orden tenemos que el error en esta aproximación es R 1 (x) = f 00 (c) 2 cos c 2 x = x, 2! para algún c entre x y.como cos c < 1, se tiene que 3 R = cos c apple =3, < 0, Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/28

11 Por lo tanto, con sus cuatro cifras decimales exactas. cos 60,5 0, Diferenciales El error R 1 (x) en la aproximación de f(x) mediante su linealización L(x) =f(a) +f 0 (a)(x a) esta determinado por la cercanía de x a a. Como se vio en la sección anterior, entre más cercano esté x de a más pequeño será el error R 1 (x) en esta estimación. Por tal razón tiene sentido considerar el error relativo R 1 (x) x a = f(x) f(a) f 0 (a)(x a). x a Por ejemplo, en el caso del ejemplo 4 se tiene que este error nos dice que 1 R 1 (x) x a apple = 360 =0,8726 %. Originalmente la idea de linealización de una función fue expresada mediante diferenciales. Si f(x) es una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número a. Si x es un número diferente sobre el eje x se definen los incrementos (incertidumbres) x y y mediante las diferencias x = x a, y = f(x) f(a) =f(a + x) f(a). Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 10/28

12 Para valores de x que estén próximos a 0, se tiene que el error relativo R 1 (x) x a = f(a + x) f(a) f 0 (a) x x Esto quiere decir que el cociente diferencial = y f 0 (a) x x = y x f 0 (x) 0. y x = f(x) x f(a) a = f(a + x) f(x) x es una aproximación del valor de la derivada de f en a: y x f 0 (a) o bien y f 0 (a) x. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 11/28

13 Las cantidades x y f 0 (a) x se denominan diferenciales y se denotan como dx y dy respectivamente. Es decir, x = dx, dy = f 0 (a)dx. Según la figura, para un cambio dx en x la cantidad dy = f 0 (a)dx representa un cambio en la linealización. Y cuando dx 0, el cambio en el incremento y es aproximadamente el mismo el mismo que el cambio en la linealización dy: y dy. Definición 6 (Diferenciales). La diferencial de la variable independiente x es el número diferente de cero x, y se denota por dx; es decir, dx = x. Si f es una función derivable en x, entonces la diferencial de la variable dependiente y se denota por dy; es decir, dy = f 0 (x) x = f 0 (x)dx. Dado que y dy, el valor y es la cantidad exacta mientras que la cantidad diferencial dy representa su aproximación. El error en esta aproximación es y dy. Ejemplo Encuentre y y dy para f(x) =5x 2 +4x Compare los valores de y y dy para x =6y x = dx =0,002. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 12/28

14 Solución. 1. y = f(x + x) f(x) = 5(x + x) 2 +4(x + x)+1 5x 2 +4x +1 =5 (x + x) 2 x 2 +4((x + x) x) =5 x(2x + x)+4 x = (10x +4) x +5( x) 2. Dado que f 0 (x) =10x +4y dy = f 0 (x)dx entonces dy =(10x +4)dx =(10x +4) x. Por lo tanto, y y dy difieren en 5( x) Cuando x =6y x =0,02: y =(10(6)+4)(0,02) + 5(0,02) 2 =1,282 mientras que dy =(10(6)+4)(0,02) = 1,28. La diferencia en las respuestas es y dy =5( x) 2 =5(0,002) 2 =0,002. En resumen, el valor exacto y =1,28 es aproximado por el valor diferencial dy =1,28 yelerroren esta aproximación es 0,002. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 13/28

15 Otra aplicación de los diferenciales se obtiene al considerar que y = f(x + x) f(x), y f 0 (a) x de lo cual se sigue que f(x + x) f(x)+f 0 (x)dx. (5) Ejemplo 6. Use diferenciales para aproximar (2,01) 3. Solución. Sean f(x) =x 3 y x =2, el cual es el número real más cercano a 2,1. Enestecaso x =0,01. En tal caso, dy = f 0 (x)dx =3x 2 x. Por lo tanto, de (5): (x + x) 3 x 3 +3x 2 x. Al considerar x =2y x =0,01 se tiene que (2,01) (2)(0,01) = 8,12. Ejemplo 7. La arista de un cubo mide 30 cm con un error posible de ±0,02 cm. Cuál es el máximo error posible aproximado en el volumen del cubo? Solución. El volumen del cubo es V = x 3 donde x es la longitud de su arista. Si x es el error en la medida de la longitud de su arista, entonces el error correspondiente en el cálculo del volumen del cubo es V =(x + x) 3 x 3. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 14/28

16 Esta cantidad se puede aproximar por su diferencial: dv = V 0 (x)dx =3x 2 x. Así que para x =30y x = ±0,02 el máximo error aproximado es V dv =3(30) 2 (±0,02) = ±54 cm 2. Para estimar el efecto que un error de medida de alrededor de 0,02 cm produce un error en el cálculo del volumen de alrededor de 54 cm 3, que parece a simple vista considerable, se considera el error relativo. Si V V es el error relativo real, los errores relativo aproximado y relativo aproximado porcentual son: dv V = ±54 (30) 3 = ± =) dv V 100 % = ±1 5 %=0,2%. Es decir, el error relativo porcentual es aproximadamente alrededor del 0,2%, lo cual es muy bajo. Teorema 2 (Reglas de diferenciales). Si u = f(x) y v = g(x), dondef y g son diferenciables en su mismo dominio, entonces d(u + v) =du + dv, d(uv) =udv + vdu u vdu udv d =. v v 2 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 15/28

17 Ejemplo 8. Encuentre dy para y = x 2 cos 3x. Solución. Por las reglas de los diferenciales, dy = x 2 d(cos 3x)+cos3xd(x 2 )= 3x 2 cos 3xdx+2xcos 3xdx=( 3x 2 cos 3x +2xcos 3x)dx. De modo alternativo, como y = x 2 cos 3x es derivable, entonces dy = f 0 (x)dx =( 3x 2 cos 3x +2x cos 3x)dx. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 16/28

18 A. Teorema de Taylor (Opcional) Un primer problema de la teoría de ajuste de funciones f(x) mediante interpolación consiste en encontrar un polinomio p(x), de un cierto grado, el cual coincida con f(x) y sus derivadas hasta un cierto orden en un punto x 0 del dominio de f(x), y que además sea una buena aproximación de f(x) cuando x que esté cerca de x 0. En primer lugar, supongamos que se conoce f(x 0 ). Esta sola condición determina un polinomio p(x) de grado cero que coincide con f en x 0 : p(x) =f(x 0 ). Como p(x) es una función constante, ella no da buenas estimaciones de f(x) cuando la misma función f(x) no sea constante. Consideremos que f tiene derivada de primer orden en x 0. Entonces se busca en polinomio p(x) tal que p(x 0 )=f(x 0 ),p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ). Ahora estas dos condiciones determinan un polinomio de primer grado Por lo tanto, como p(x) =a + bx. p(x 0 )=f(x 0 ) =) a + bx 0 = f(x 0 ) p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) =) b = f 0 (x 0 ) Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 17/28

19 el cual es un sistema de dos ecuaciones en las variables a, b que tiene una única solución: De esto se sigue que a = f(x 0 ) f 0 (x 0 )x 0, b = f 0 (x 0 ). p(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ). Igualmente, vamos a tener que p(x) no es una buena aproximación de f(x) para valores de x cercanos a x 0 si f(x) no es una función lineal. Nuevamente, si tenemos que f(x) tiene derivada de segundo orden en x 0 entonces se busca un polinomio p(x) tal que p(x 0 )=f(x 0 ), p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ), p 00 (x 0 )=f 00 (x 0 ). (6) Mediante esta tres condiciones se puede construir un polinomio de segundo grado, p(x) =a + bx + cx 2. En efecto, de las condiciones establecidas tenemos el sistema de ecuaciones lineales p(x 0 )=f(x 0 ) =) a + bx 0 + cx 2 0 = f(x 0 ) p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) =) b +2cx 0 = f 0 (x 0 ) p 00 (x 0 )=f 00 (x 0 ) =) 2c = f 00 (x 0 ) el cual se puede representar en forma matricial como 2 1 x 0 x a x 0 5 4b5 = c 2 3 f(x 0 ) 4f 0 (x 0 ) 5. f 00 (x 0 ) Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 18/28

20 Dado que el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema es diferente de cero, de hecho es 2, tenemos que tal sistema tiene una única solución a, b, c; esto a su vez garantiza la existencia y unicidad el polinomio p(x). Por otro lado, resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos que a = f(x 0 ) f 0 (x 0 )x 0 + f 00 (x 0 ) 2 x 2 0, b = f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 )x 0, c = f 00 (x 0 ). 2 De acuerdo con esto, encontramos finalmente que el polinomio p(x) lo podemos representar de la forma p(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 ) (x x 0 ) 2. 2 Recíprocamente, es fácil de comprobar que este polinomio satisface las condiciones dadas en (6). Ejemplo 9. Sea f(x) =e x.entoncesf 0 (x) =e x y f 00 (x) =e x. Entonces la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (0, 1) es p 1 (x) =f(0) + f 0 (0)(x 0) = 1 + x. Intuitivamente se espera que la recta tangente sea, generalmente, la que mejor aproxima los valores que toma la función en los puntos vecinos al punto de tangencia ya que, además de pasar por el punto, tiene la misma pendiente de la curva. Ahora también se puede encontrar un polinomio de segundo grado que pase también por el punto (0, 1) y tal que sus dos primeras derivadas en x =0coincidan con las de f(x) =e x, que son todas iguales a 1. Lo que se busca con tal polinomio de segundo grado es obtener una curva que tiene en el punto (0,1) la misma ordenada, la misma pendiente y concavidad con el mismo signo de la función que se desea aproximar. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 19/28

21 Por este motivo es de esperar que se haya mejorado la aproximación obtenida con el polinomio de primer grado. En este caso el polinomio es p 2 (x) =f(0) + f 0 (0)(x 0) + f 00 (0) (x 0) 2 =1+x + x2 2! 2. Si se calculan algunas ordenadas para valores de x cercamos a x =0, se encuentra que el polinomio de segundo grado proporciona una aproximación mejor que el de primer grado, tal como se puede apreciar en la siguiente tabla. Se agrega la información del polinomio de Taylor p 3 (x) =1+x + x2 2 + x3 6. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 20/28

22 x e x p 1 (x) p 2 (x) p 3 (x) 0,1 0,9048 0,9000 0,9050 0, ,2 0,8187 0,8000 0,8200 0, ,1 1,1052 1,1000 1,1050 1, ,2 1,2214 1,2000 1,2200 1,22213 Las anteriores aproximaciones se pueden mejorar utilizando los llamados polinomios de Taylor, de tal modo que se puede mejorar la aproximación al aumentar el grado del polinomio. En general, tenemos el siguiente teorema. Teorema 3 (Polinomios de Taylor). Sea f(x) una función tal que f (n) (x 0 ) existe. Entonces existe un único polinomio p n (x) de grado a lo más n que satisface las n +1condiciones: Tal polinomio es obien, p n (x 0 )=f(x 0 ),p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ),...,p (n) (x 0 )=f (n) (x 0 ). p n (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 ) 2! p n (x) = nx k=0 (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! el cual se llama polinomio de Taylor de grado n de f(x) en x 0. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 21/28

23 Demostración. Las n +1condiciones dadas sobre f(x) determinan un polinomio de grado n, p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n. De las condiciones establecidas tenemos el sistema de ecuaciones lineales p(x 0 )=f(x 0 ) =) a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = f(x 0 ) p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) =) a 1 +2a 2 x na n x n 1 0 = f 0 (x 0 ) p 00 (x 0 )=f 00 (x 0 ) =) 2a 2 + +(n 1)na n x n 0 = f 00 (x 0 ) p (n) (x 0 )=f (n) (x 0 ) =) 2 3 (n 1)na n x n 0 = f (n) (x 0 ) el cual se puede representar en forma matricial como x 0 x 2 0 x n 0 0 1! 2x 0 nx n ! (n 1)nx n n!x n 0 a 0 a 1 a 2. a n = 2 3 f(x 0 ) f 0 (x 0 ) f 00 (x 0 ) f (n) (x 0 ) Dado que el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema es diferente de cero, de hecho es ny k!, k=1 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 22/28

24 tenemos que tal sistema tiene una única solución a 0,a 1,...a n ; esto a su vez garantiza la existencia y unicidad el polinomio p(x). Ahora bien, para facilitar la obtención del polinomio, éste se considera de la forma Como se tiene que p(x) =a 0 + a 1 (x x 0 )+ + a n (x x 0 ) n. p(x) =a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n, p 0 (x) =a 1 +2a 2 (x x 0 )+3a 3 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n, p 00 (x) =2a (x x 0 )+ + na n (x x 0 ) n,. p (n) (x) =2 3 (n 1)na n p(x 0 )=f(x 0 )=) a 0 = f(x 0 ) p 0 (x 0 )=f 0 (x 0 )=) a 1 = f 0 (x 0 ) p 000 (x 0 )=f 000 (x 0 )=) 2a 1 = f 00 (x 0 ) De esto se obtiene que p (n) (x 0 )=f (n) (x 0 )=)n!a n = f (n) (x 0 ) a k = f (k) (x 0 ), k =0, 1,...,n. k! Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 23/28

25 Ejemplo 10. Si f(x) =cosx entonces f 0 (x) = sen x, f 00 (x) = cos x, f 000 (x) =senx, f 0000 (x) =cosx, y así sucesivamente. Como f(0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 1, f 000 (0) = 0, f 0000 (0) = 1, etcétera, entonces el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) en x 0 =0es p 2n (x) =1 x 2 2! + x4 4! + +( 1)n x2n (2n)! = nx ( 1) k x 2k. (2k)! En este caso no aparecen potencias impares. La Figura 1 nos muestra algunas de las gráficas de este polinomio para algunos valores pares de n. k=0 p 0 (x) p 2 (x) p 4 (x) Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 24/28

26 p 6 (x) p 8 (x) p 10 (x) Figura 1: Gráficas del polinomio de Taylor p 2n (x) de cos(x) en el intervalo [ 5, 5], para n =0, 1, 2, 3, 4, 5. Si bien la función f(x) en general es desconocida, podemos plantear el problema establecer que tan buena es la aproximación de f(x) mediante los valores del polinomio de Taylor p n (x). Si f(x) tiene derivada de orden n en x 0 yelerror en la aproximación de f(x) mediante el polinomio de Taylor p n (x) se define como R n (x) =f(x) p n (x), que también se llama resto, entonces se tiene que f(x) =p n (x)+r n (x) = nx k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x), k! la cual se llama la fórmula de Taylor con resto R n (x). Esta fórmula es útil para estimar el orden de magnitud de R n (x), o lo que es lo mismo, para determinar que tan buena es la aproximación de f(x) mediante p n (x) para un x dado. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 25/28

27 El término del resto explica entonces en que casos los polinomios de Taylor son una buena aproximación de una función dada. Aunque algunos autores llaman también a R n (x) el residuo, generando la noción de residuo de la división, en general se prefiere utilizar la palabra resto para significar que es la parte que se le agrega al polinomio de Taylor para obtener la función. En general, el polinomio de Taylor p n (x) de grado n de una función f(x) en x 0 da mejores aproximación cuando n es suficientemente grande y cuando x esta cerca de x 0. Por lo tanto, si se puede demostrar que el término del resto tiende a 0, entonces se debe tener que el polinomio de Taylor p n (x) es una buena aproximación de la función f(x); ojalá, no solamente en x sino también para los valores de x en un cierto intervalo. La siguiente gráfica nos muestra que p 5 (x) es una mejor aproximación a f(x) que p 3 (x) puesto que R 5 (x) está más cercano a 0 para más valores de x. Figura 2: Gráficas del resto R n (x), n =1, 3, 5, de la función f(x) =senx cuando x 0 =0. El Teorema de Taylor, en su versión implícita, establece que el error R n (x) en la aproximación de f(x) mediante el polinomio de Taylor p n (x) tiende a cero más rápido que cualquier polinomio no nulo de grado n cuando x! x 0. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 26/28

28 Teorema 4 (Teorema de Taylor). Sea f(x) una función tal que f (n+1) (x 0 ) existe para toda x en un intervalo I que contiene a x 0.Entoncesparatodox en I se tiene que existe existen funciones p n (x) y R n (x) tales que f(x) =p n (x)+r n (x), donde p n (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! recibe el nombre de polinomio de Taylor de ƒ en x 0,degradon, y R n (x) = f (n) (c) (x x 0 ) n, n! para algún c entre x 0 y x. AR n (x) se le llama la forma del residuo de Lagrange. Demostración. La demostración de este resultado es similar al caso demostrado para el caso del polinomio y del resto de segundo grado. Ejemplo 11. Sea f(x) =e x y x 0 =0. Como la derivada f (k) (x) =e x para todo entero positivo k yen particular f (k) (0) = 1, entonces tenemos que nx e x x k = k! + R n(x). k=0 Como f (n+1) (x) =e x > 0 para todo x entonces f (n+1) (x) es creciente en cualquier intervalo. En particular, si 0 <xapple b entonces 1 apple e x apple e b. Así que x n+1 (n +1)! apple R n(x) apple e b x n+1 (n +1)! si 0 <xapple b. Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 27/28

29 Si se desea calcular el número de Euler e, se puede considerar x = b =1ytener en cuenta que e b = e<3. En tal caso, nx 1 e = k! + R n(1), k=0 donde 1 (n +1)! apple R 3 n(1) < (n +1)!, lo cual permite calcular e con el grado de aproximación que se desee. Si por ejemplo, se desea calcular e con 7 cifras decimales exactas, basta considerar 3 (n +1)! apple () (n +1)! = Mediante cálculo directo se puede obtener que 12! = y 13! = Porlotanto, n 12. Así que para n =12, e = En este caso, X12 k=0 1 k! + R 12(1) donde 1, apple R 12 (1) < 4, (7) e p 12 (1) = X12 K=0 1 k! = =2, Así que el valor de e con siete cifras decimales es e 2, o con ocho cifras decimales es e 2, Esto es consistente con el hecho que de (7) se tiene que 2, <e<2, Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 28/28