Funciones Reales de Varias Variables

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1 Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 162

2 CONTENIDO Funciones de Varias Variables Introducción Función real de varias variables Dominio y Rango Grafica de funciones de varias variables Algebra de Funciones Conjuntos Abiertos y Cerrados Límites de una función de varias variables Continuidad de funciones de varias variables Derivadas Parciales Derivadas Parciales de Orden Superior Diferenciabilidad y Diferencial Total Derivación Parcial Implícita Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 162

3 NOTA HISTÓRICA Sonya Kovalevsky ( ). Gran parte de la terminología usada para definir limites y continuidad de una función de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass ( ). El enfoque riguroso de Weierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de padre del análisis moderno. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática y se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 162

4 FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES La temperatura T en un punto en la superficie terrestre en cualquier tiempo depende de la latitud x y la longitud y del punto. Podemos considerar T = f (x, y) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 162

5 Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D, un número real único denotado por f (x, y) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 162

6 FUNCIÓN REAL DE n VARIABLES Definición Sea U R n un conjunto de n-uplas. Si a cada n-upla de U diferente le corresponde un número real w, entonces se dice que f es función de x f : U R n R x w w = f (x) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 162

7 DOMINIO Definición (Dominio) Ejemplo Dom(f ) = {x U R n / w R w = f (x)} Hallar el dominio de la siguiente función f (x, y) = x ln(y 2 x) Solución: Dom(f ) = {(x, y) R 2 / x < y 2 } Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 162

8 RANGO Definición (Rango) Ranf (f ) = {z = f (x, y) R / (x, y) Dom(f )} Ejemplo Hallar el rango de la siguiente función f (x, y) = Solución: 0 x 2 + y 2 x 2 y x 2 y x 2 y x 2 y 2 3 }{{} f (x,y) Rang(f ) = [0, 3] 9 x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 162

9 EJERCICIOS Hallar el dominio de las funciones 1. f (x, y) = 1 xy 1 2. g(x, y) = 4x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 162

10 Definición Si f : D R 2 R, el gráfico de f es un conjunto de puntos de R 3 : Gr(f ) = {(x, y, z) R 3 \ (x, y) D z = f (x, y)} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 162

11 Ejemplo Graficar f (x, y) = 18 x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 162

12 CURVAS DE NIVEL Suponga que la superficie z = f (x, y) se intersecta con el plano z = c, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano XY. Esta curva proyectada tiene a f (x, y) = c como su ecuación, y la curva se denomina curva de nivel de la función f en c. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a c unidades de ella. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 162

13 CURVAS DE NIVEL Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 162

14 Ejemplo Graficar las curvas de nivel de la función z = f (x, y) = sin( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 162

15 EJERCICIOS Hallar las curvas de nivel de las superficies 1. z = 2x + y 1 2. z = x2 4 + y2 9 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 162

16 SUPERFICIE DE NIVEL El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 162

17 Ejemplo Encontrar las superficies de nivel de la función f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Solución: Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 162

18 ALGEBRA DE FUNCIONES Sean f : U R n R g : V R n R Con dominios U y V respectivamente, definimos 1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) Dom(f ± g) = U V 2. (f.g)(x) = f (x).g(x) Dom(f.g) = U V 3. (f /g)(x) = f (x)/g(x) Dom(f /g) = U V {x / g(x) = 0} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 162

19 CONCEPTOS PREVIOS Si x 0 = (x 1, x 2,..., x n ) R n y δ > 0, el conjunto B(x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 < δ} se llama bola abierta de centro x 0 y radio δ. El conjunto B (x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 < δ} {x 0 } Se llama bola abierta reducida. El conjunto Se llama bola cerrada. B(x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 δ} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 162

20 CONCEPTOS PREVIOS Definición Un conjunto D R n es abierto x D, δ > 0 / B(x, δ) D Definición Un conjunto S R n es cerrado el complemento de S es abierto. Definición Sea D R n ; el punto x 0 R n es un punto de acumulación de D si ɛ > 0, B (x 0, δ) D Φ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 162

21 BOLA ABIERTA - PUNTO INTERIOR - PUNTO FRONTERA Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 162

22 PUNTO DE ACUMULACIÓN Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 162

23 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Sea f : D R n R una función, x 0 R n punto de acumulación de D y L un número real. Se dice que el límite en x 0 es L. lím x x 0 f (x) = L ɛ > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ f (x) L < ɛ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 162

24 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 162

25 Ejemplo Demostrar (a) lím (x,y) (1,1) (x2 + y 2 ) = 2 (b) lím (c) lím (x,y) (1,2) y2 = 8 (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 2 = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 162

26 Teorema Sea S 1 y S 2 conjuntos en R 2 que tienen al punto (x 0, y 0 ) como un punto de acumulación y si lím (x, y) (x 0, y 0 ) (P S 1 ) f (x, y) lím (x, y) (x 0, y 0 ) (P S 2 ) f (x, y) entonces lím f (x, y) no existe. (x,y) (x 0,y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 162

27 Ejemplo Determinar si existe Ejemplo Determinar si existe lím (x,y) (0,0) lím (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + y 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 162

28 PROPIEDADES DE LÍMITES Sean f : U R n R g : V R n R Con dominios U y V respectivamente, tal que lím f (x) y x x0 lím g(x) existen y si x0 es un punto de acumulación de U V, x x0 entonces 1. lím (f ± g)(x) = lím f (x) ± lím g(x) x x0 x x0 x x0 2. lím (f.g)(x) = lím f (x). lím g(x) x x0 x x0 x x0 3. lím (f /g)(x) = lím f (x)/ lím g(x) Si lím (g)(x) 0 x x0 x x0 x x0 x x0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 162

29 Teorema Sean g, f y h funciones de n variables definidas en una bola abierta B(x0; r), excepto tal vez en x0 mismo, tal que g(x) f (x) h(x) x B(x0; r) y si lím g(x) = L = lím h(x) entonces, lím f (x) existe y x x0 x x0 x x0 lím f (x) = L x x0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 162

30 Ejemplo Sea Hallar Ejemplo Sea Hallar f (x, y) = lím f (x, y) si existe. (x,y) (0,0) lím f (x, y) si existe. (x,y) (0,0) xy2 x 2 + y 2 f (x, y) = x4 y + 4x 2 y 3 y 5 (x 2 + y 2 ) 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 162

31 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición Sea f : U R n R una función definida en U, se dice f es continua en x 0 U si cumple las siguientes condiciones 1. f (x 0 ) existe 2. lím x x0 f (x) existe 3. lím x x0 f (x) = f (x 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 31 de 162

32 TIPOS DE DISCONTINUIDAD Discontinuidad removible lím f (x, y) = L existe (x,y) (0,0) Se redefine f en (x 0, y 0 ) como L Discontinuidad esencial lím f (x, y) no existe. (x,y) (0,0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 32 de 162

33 EJEMPLOS Ejemplo Analizar la continuidad de xy f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 33 de 162

34 EJEMPLOS Ejemplo Analizar la continuidad de 3x 2 y f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 34 de 162

35 EJERCICIO Analizar la continuidad de x 4 f (x, y) = x(x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 35 de 162

36 EJEMPLO Ejemplo Analizar la continuidad de la siguiente función: f (x, y) = { x 2 + 4y 2 si x 2 + 4y si x 2 + 4y 2 > 5 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 36 de 162

37 SOLUCIÓN Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 37 de 162

38 SOLUCIÓN { x f (x, y) = 2 + 4y 2 si x 2 + 4y si x 2 + 4y 2 > 5 x 2 + 4y 2 si x 2 + 4y 2 < 5 Continua f (x, y) = 5 si x 2 + 4y 2 = 5 3 si x 2 + 4y 2 > 5 Continua Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 38 de 162

39 SOLUCIÓN Analizaremos la continuidad de f (x, y) sobre la elipse x 2 + 4y 2 = 5 x 2 + 4y 2 si S 1 : x 2 + 4y 2 < 5 Continua f (x, y) = 5 si x 2 + 4y 2 = 5 3 si S 2 : x 2 + 4y 2 > 5 Continua f (x 0, y 0 ) = 5, x y 2 0 = 5 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 39 de 162

40 SOLUCIÓN x 2 + 4y 2 si S 1 : x 2 + 4y 2 < 5 Continua f (x, y) = 5 si x 2 + 4y 2 = 5 3 si S 2 : x 2 + 4y 2 > 5 Continua lím f (x, y) (x,y) (x 0,y 0 ) S 1 : {(x, y) / x 2 + 4y 2 < 5} lím (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) S 1 f (x, y) = 5 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 40 de 162

41 SOLUCIÓN x 2 + 4y 2 si S 1 : x 2 + 4y 2 < 5 Continua f (x, y) = 5 si x 2 + 4y 2 = 5 3 si S 2 : x 2 + 4y 2 > 5 Continua lím f (x, y) (x,y) (x 0,y 0 ) S 2 : {(x, y) / x 2 + 4y 2 > 5} lím (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) S 2 f (x, y) = 3 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 41 de 162

42 SOLUCIÓN lím (x, y) (x 0, y 0 ) (x, y) S 1 f (x, y) = 5 3 = lím (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) S 2 f (x, y) El Límite no existe Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 42 de 162

43 SOLUCIÓN lím f (x, y) (x,y) (x 0,y 0 ) No existe Para todo (x 0, y 0 ) tal que x y2 0 = 5 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 43 de 162

44 CONCLUSIÓN f (x, y) = { x 2 + 4y 2 si x 2 + 4y si x 2 + 4y 2 > 5 f (x, y) es continua para R 2 excepto sobre la elipse x 2 + 4y 2 = 5 f (x, y) no es continua sobre la elipse x 2 + 4y 2 = 5 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 44 de 162

45 Definición (Continuidad en un Intervalo) Sea f : U R n R. Se dice que f es continua en todo U si solo si es continua en cada punto de U. Teorema Si f y g son continuas en x 0, entonces también son continuas; f ± g, f.g y f g (g(x 0) 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 45 de 162

46 DERIVADAS PARCIALES f (x + x, y) f (x, y) D 1 f (x, y) = lím x 0 x D 2 f (x, y) = lím y 0 f (x, y + y) f (x, y) y Las derivadas parciales existen siempre que sus límites existan. Notación: D 1 f = f x = f 1 = f x, D 2 f = f y = f 2 = f y Nota: La existencia de las derivadas parciales en un punto no garantiza la continuidad en dicho punto. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 46 de 162

47 Ejemplo Si f (x, y) = x 2 y 3, obtener f x y f y Ejemplo xy Sea f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) Hallar f x (0, 0) y f y (0, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 47 de 162

48 EJEMPLO Ejemplo xy(x 2 y 2 ) Sea f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Hallar D 1 f (0, 0) y D 2 f (0, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 48 de 162

49 SOLUCIÓN: xy(x 2 y 2 ) f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) f (0 + x, 0) f (0, 0) D 1 f (0, 0) = lím x 0 x 0 0 D 1 f (0, 0) = lím x 0 x D 1 f (0, 0) = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 49 de 162

50 SOLUCIÓN: xy(x 2 y 2 ) f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) f (0, 0 + y) f (0, 0) D 2 f (0, 0) = lím y 0 y 0 0 D 2 f (0, 0) = lím y 0 y D 2 f (0, 0) = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 50 de 162

51 EJEMPLO Ejemplo 2x 3 3x 2 y y 3 f (x, y) = (x y) 2 ; x y 0 x = y Calcular: D 1 f (0, 0) y D 2 f (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 51 de 162

52 SOLUCIÓN Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 52 de 162

53 SOLUCIÓN 2x 3 3x 2 y y 3 f (x, y) = (x y) 2 ; x y 0 x = y f (0 + x, 0) f (0, 0) D 1 f (0, 0) = lím x 0 x D 1 f (0, 0) = lím x 0 2 x 3 x 2 0 = 2 x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 53 de 162

54 SOLUCIÓN 2x 3 3x 2 y y 3 f (x, y) = (x y) 2 ; x y 0 x = y f (0, 0 + y) f (0, 0) D 2 f (0, 0) = lím y 0 y y3 y D 2 f (0, 0) = lím 2 0 = 1 y 0 y Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 54 de 162

55 SOLUCIÓN 2x 3 3x 2 y y 3 f (x, y) = (x y) 2 ; x y 0 x = y D 1 f (0, 0) = 2 D 2 f (0, 0) = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 55 de 162

56 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 56 de 162

57 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 57 de 162

58 Ejemplo Hallar las pendientes de la superficie dada por f (x, y) = 1 (x 1) 2 (y 2) 2 en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 58 de 162

59 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES O MÁS VARIABLES f (x + x, y, z) f (x, y, z) f x (x, y, z) = lím x 0 x f (x, y + y, z) f (x, y, z) f y (x, y, z) = lím y 0 f z (x, y, z) = lím z 0 y f (x, y, z + z) f (x, y, z) z En general, si w = f (x 1, x 2,..., x n ), hay n derivadas parciales denotadas por w x k = f xk (x 1, x 2,..., x n ), k = 1, 2,..., n Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 59 de 162

60 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Derivar dos veces con respecto a x ( ) f = 2 f x x x 2 = f xx = f 11 Derivar dos veces con respecto a y ( ) f = 2 f y y y 2 = f yy = f 22 Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y ( ) f = 2 f y x y x = f xy = f 12 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 60 de 162

61 Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x ( ) f = 2 f x y x y = f yx = f 21 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 61 de 162

62 Definición (Definición de derivada de orden superior) z = f (x, y) D 1 f (x, y + y) D 1 f (x, y) D 12 f (x, y) = lím y 0 y Definición (Definición de derivada de orden superior) z = f (x, y) D 2 f (x + x, y) D 2 f (x, y) D 21 f (x, y) = lím x 0 x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 62 de 162

63 Ejemplo Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = 3xy 2 2y + 5x 2 y 2 Ejemplo 2xy Sea f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 63 de 162

64 Ejercicio x 2 y 2 Sea f (x, y) = x 4 ; (x, y) (0, 0) + y4 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 64 de 162

65 Teorema Suponga que f es una función en las variables x e y, que está definida en el disco abierto B((x 0, y 0 ), r) y que f x, f y, f xy y f yx están definidas en B. Además, suponga que f xy y f yx son continuas en B. Entonces f xy (x, y) = f yx (x, y) Ejemplo xy(x 2 y 2 ) Sea f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) si existen. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 65 de 162

66 SOLUCIÓN Para (x, y) (0, 0) x Para (x, y) = (0, 0) [ xy(x 2 y 2 ] ) x 2 + y 2 = y(x4 + 4x 2 y 2 y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 f (0 + x, 0) f (0, 0) D 1 f (0, 0) = lím = 0 x 0 x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 66 de 162

67 SOLUCIÓN y(x 4 + 4x 2 y 2 y 4 ) D 1 f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 ; (x, y) (0, 0) 0; (x, y) = (0, 0) D 1 f (0, + y) D 1 f (0, 0) D 12 f (0, 0) = lím y 0 y D 12 f (0, 0) = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 67 de 162

68 SOLUCIÓN x(x 4 + 4x 2 y 2 y 4 ) D 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 ; (x, y) (0, 0) 0; (x, y) = (0, 0) D 2 f (0 + x, 0) D 2 f (0, 0) D 21 f (0, 0) = lím x 0 x D 21 f (0, 0) = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 68 de 162

69 SOLUCIÓN xy(x 2 y 2 ) f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) D 12 f (0, 0) = 1 D 21 f (0, 0) = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 69 de 162

70 DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL Definición Si f es una función de las variables x e y, entonces el incremento de f en el punto (x 0, y 0 ), denotado por f (x 0, y 0 ), está dado por f (x 0, y 0 ) = f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) Definición Si el incremento de una función se puede expresar como f (x 0, y 0 ) = D 1 f (x 0, y 0 ) x + D 2 f (x 0, y 0 ) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y donde ɛ 1 = ɛ 1 ( x, y) y ɛ 2 = ɛ 2 ( x, y) lím ɛ 1 = 0 = lím ɛ 2 ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) entonces f es diferenciable en (x 0, y 0 ). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 70 de 162

71 Ejemplo Hallar una aproximación del valor 4,04 8,97 Solución: x = 0,04, y = 0,03, f (x, y) = xy f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y f x (x, y) = y 2 xy, f y(x, y) = x 2 xy f x (4, 9) = 3 4, f y(4, 9) = 1 3 f (4 + 0,04, 9 0,03) (0,04) + 1 ( 0,03) = 6,02 3 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 71 de 162

72 Ejemplo Demuestre que la función f (x, y) = x 2 + 3y es diferenciable para cualquier punto (x, y) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 72 de 162

73 Teorema Sea f : U R 2 R, f es diferenciable en (x 0, y 0 ) U, si sus derivadas parciales en (x 0, y 0 ) existen y si f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) x f y (x 0, y 0 ) y lím = 0 ( x, y) (0,0) ( x) 2 + ( y) 2 donde f (x 0, y 0 ) = f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 73 de 162

74 Ejemplo Demuestre que f (x, y) = x 2 + y 2 es diferenciable en todo (x 0, y 0 ). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 74 de 162

75 Ejemplo Demuestre que la función f (x, y) = no es diferenciable en (0, 0). Ejemplo Averigue la diferenciabilidad en (0, 0) de la función x 2 y (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) 2xy x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 75 de 162

76 Teorema Si f : U R 2 R, es diferenciable en (x 0, y 0 ) U, entonces es continua en (x 0, y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 76 de 162

77 EJEMPLO x 2 y 2 f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) La función f (x, y) es diferenciable en (0, 0) La función f (x, y) es continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 77 de 162

78 OBSERVACIÓN 1 Observación: Si f no es continua en el punto P 0 entonces f no es diferenciable en P 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 78 de 162

79 Ejemplo f (x, y) = { x + y 2 Si x = 1 ó y = 1 2 Si x 1 y y 1 Demuestre que f (x, y) no es diferenciable en (1, 1) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 79 de 162

80 SOLUCION f (x, y) = { x + y 2 Si x = 1 ó y = 1 2 Si x 1 y y 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 80 de 162

81 SOLUCIÓN f (x, y) = { x + y 2 Si x = 1 ó y = 1 2 Si x 1 y y 1 Veamos que pasa con la continuidad de f (x, y) 1. f (1, 1) = 0 2. lím f (x, y) = lím 2 = 2 (x,y) (1,1) (x,y) (1,1) 3. lím f (x, y) = 2 0 = f (1, 1) (x,y) (1,1) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 81 de 162

82 SOLUCIÓN f (x, y) = { x + y 2 Si x = 1 ó y = 1 2 Si x 1 y y 1 f no es continua en (1, 1) entonces f no es diferenciable en (1, 1). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 82 de 162

83 OBSERVACIÓN 2 La existencia de las derivadas parciales D 1 f (x 0, y 0 ) y D 2 f (x 0, y 0 ) de una función de dos variables no garantiza que la función sea diferenciable en (x 0, y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 83 de 162

84 Ejemplo xy Sea f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2. 0 (x, y) = (0, 0) 1. Calcule D 1 f (0, 0) y D 2 f (0, 0) 2. La función f (x, y) es diferenciable en (0, 0)? Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 84 de 162

85 SOLUCIÓN 1. Derivadas parciales de f (x, y) en (0, 0) D 1 f (0, 0) = 0; D 2 f (0, 0) = 0 2. La función f no es diferenciable en (0, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 85 de 162

86 CONCLUSIONES xy f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) La función f no es diferenciable en (0, 0)... pero sus derivadas parciales D 1 f (0, 0) = 0 y D 2 f (0, 0) = 0 existen. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 86 de 162

87 Teorema (Condición suficiente para la diferenciabilidad) Si f es una función x e y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 87 de 162

88 EJEMPLO x 2 y 2 f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) Demuestre que la función f es diferenciable en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 88 de 162

89 SOLUCIÓN x 2 y 2 f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) 2xy 4 D 1 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) 2x 4 y D 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 89 de 162

90 SOLUCIÓN 2xy 4 D 1 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) Demostraremos que D 1 f (x, y) es continua en (0, 0) es decir lím D 1f (x, y) = D 1 f (0, 0) = 0 (x,y) (0,0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 90 de 162

91 SOLUCIÓN ɛ > 0 existe δ > 0 tal que lím D 1f (x, y) = 0 (x,y) (0,0) D 1 (x, y) 0 < ɛ siempre que 0 < x 2 + y 2 < δ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 91 de 162

92 2xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y4 (x 2 + y 2 ) 2 2 x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 2xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 2 x 2 + y 2 < 2δ = ɛ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 92 de 162

93 SOLUCIÓN δ = ɛ 2 lím D 1f (x, y) = 0 (x,y) (0,0) Por lo tanto D 1 f (x, y) es continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 93 de 162

94 SOLUCIÓN 2x 4 y D 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) Usando el procedimiento anterior se puede demostrar que D 2 f (x, y) es continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 94 de 162

95 CONCLUSIONES 2xy 4 D 1 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) 2x 4 y D 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 2 0 (x, y) = (0, 0) D 1 f (x, y) y D 2 f (x, y) son continuas en (0, 0) Por lo tanto: La función f es diferenciable en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 95 de 162

96 OBSERVACIÓN 3 Observación: Es posible que una función f sea diferenciable en P 0 aunque sus derivadas parciales D 1 f y D 2 f no sean continuas en P 0. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 96 de 162

97 Ejemplo ( ) (x 2 + y 2 1 ) sin Sea f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Demuestre que f (x, y) es diferenciable y continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 97 de 162

98 SOLUCIÓN D 1 f (x, y) = 1 x 1 2x sin cos (x, y) (0, 0) x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) D 2 f (x, y) = 1 y 1 2y sin cos (x, y) (0, 0) x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 98 de 162

99 SOLUCIÓN lím (x,y) (0,0) lím D 1f (x, y) (x,y) (0,0) 1 x 1 2x sin cos x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 S : {(x, y) / y = x, x 0} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 99 de 162

100 SOLUCIÓN S : {(x, y) / y = x, x 0} 1 x 1 lím 2x sin cos (x,y) (0,0) x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 lím x 0 + { 2x sin ( ) 1 x ( )} 1 cos 2 x 2 x 2 x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 100 de 162

101 SOLUCIÓN S : {(x, y) / y = x, x 0} lím x 0 + { 2x sin ( ) 1 x ( )} 1 cos 2 x 2 x 2 x { ( )} { ( )} lím 2x sin lím 2 cos x 0 + 2x x 0 + 2x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 101 de 162

102 SOLUCIÓN S : {(x, y) / y = x, x 0} { ( )} 1 lím 2x sin lím x 0 + 2x x 0 + { 1 0 lím 2 cos x 0 + { ( )} cos 2x ( 1 2x )} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 102 de 162

103 SOLUCIÓN Este límite no existe { ( )} 1 1 lím 2 cos x 0 + 2x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 103 de 162

104 SOLUCIÓN S : {(x, y) / y = x, x 0} { ( )} { ( )} lím 2x sin lím 2 cos x 0 + 2x x 0 + 2x 0 No existe Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 104 de 162

105 SOLUCIÓN lím (x,y) (0,0) Este límite no existe lím D 1f (x, y) (x,y) (0,0) 1 x 1 2x sin cos x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 105 de 162

106 SOLUCIÓN D 1 f (x, y) = 1 x 1 2x sin cos (x, y) (0, 0) x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) D 1 f (x, y) No es continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 106 de 162

107 SOLUCIÓN Siguiendo el procedimiento anterior se puede demostrar que D 2 f (x, y) = 1 y 1 2y sin cos (x, y) (0, 0) x 2 + y x y 2 x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) D 2 f (x, y) No es continua en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 107 de 162

108 SOLUCIÓN ( ) (x 2 + y 2 1 ) sin f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) D 1 f (x, y) y D 2 f (x, y) No son continuas en (0, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 108 de 162

109 CONCLUSIONES ( ) (x 2 + y 2 1 ) sin f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) f (x, y) es diferenciable en (0, 0) f (x, y) es continua en (0, 0) D 1 f (x, y) y D 2 f (x, y) No son continuas en (0, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 109 de 162

110 REGLA DE LA CADENA Teorema Sea w = f (x, y), donde f es una función derivable de x e y. Si x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y w dt = w x dx dt + w dy y dt Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 110 de 162

111 Ejemplo Sea w = x 2 y y 2, donde x = sin t ; y = e t. Hallar w t. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 111 de 162

112 Ejemplo Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio r y altura h aumentan; por lo tanto, también lo hace el área S de su superficie. Suponga que en el instante en que r = 10 centimetros y h = 100 centimetros, r está creciendo a razón de 0,2 centímetros por hora y h aumenta a 0,5 centímetros por hora. Qué tan rápido crece S en ese instante? Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 112 de 162

113 Teorema Sea w = f (x, y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x = g(s, t) e y = h(s, t) son tales que las derivadas parciales de x/ s, x/ t, y/ s y y/ t, existen, entonces w/ s y w/ t existen y están dadas por w s = w x x s + w y y s y w t = w x x t + w y y t Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 113 de 162

114 Ejemplo Sea w = f ( y x xy, z y ). Demostrar que: yz x 2 w x + y2 w y + z2 w z = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 114 de 162

115 DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA Teorema Si la ecuación F(x, y) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces dy dx = F x(x, y) F y (x, y), F y(x, y) 0 Si la ecuación F(x, y, z) = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x e y, entonces z x = F x(x, y, z) F z (x, y, z) F z (x, y, z) 0 y z y = F y(x, y, z) F z (x, y, z) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 115 de 162

116 DEMOSTRACIÓN F(x, y, z = 0, z = f (x, y) Si hacemos w = F(x, y, z), y aplicamos la regla de la cadena w x = F x x x + F y y x + F z z x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 116 de 162

117 DEMOSTRACIÓN w = F(x, y, z = 0, z = f (x, y) w x = F x x x + F y y x + F z z x w x = 0, x x = 1, y x = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 117 de 162

118 DEMOSTRACIÓN w x = F x x x + F y y x + F z z x w x = 0, x x = 1, y x = 0 0 = F x + F z z x Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 118 de 162

119 DEMOSTRACIÓN w = F(x, y, z = 0, z = f (x, y) z 0 = F x + F z x z x = F x F z Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 119 de 162

120 Ejemplo Encuentre y si x 3 + y 3 = 6xy Ejemplo Hallar z/ x, y z/ y, si x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 120 de 162

121 Ejercicio Hallar z/ x, y z/ y, si 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 + 3yz 5 = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 121 de 162

122 DERIVADA DIRECCIONAL Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 122 de 162

123 DERIVADA DIRECCIONAL Definición La derivada direccional de f (x, y) en el punto (x 0, y 0 ) en la dirección del vector unitario u=(a, b) se define como D u f (x 0, y 0 ) = lím h 0 f (x 0 + ha, y 0 + hb) f (x 0, y 0 ) h siempre que este límite exista. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 123 de 162

124 Ejemplo Dada f (x, y) = x 2 y 4y 3, calcular D u f (2, 1) en las direcciones de: ( 3 1. u = 2, 1 ) 2 2. u en la dirección de (2, 1) a (4, 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 124 de 162

125 Teorema Si f es una función diferenciable de x e y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector u = (a, b) y Ejemplo D u f (x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b Encuentre la derivada direccional D u f (x, y) si f (x, y) = x 3 3xy + 4y 2 y u es el vector unitario dado por el ángulo θ = π/6. Cuál es D u f (1, 2) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 125 de 162

126 DERIVADA DIRECCIONAL Y PARCIAL u = i = (1, 0); θ = 0 f (x + h, y) f (x, y) D u f (x, y) = lím = D 1 f (x, y) h 0 h Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 126 de 162

127 DERIVADA DIRECCIONAL Y PARCIAL u = j = (0, 1); θ = π/2 f (x, y + h) f (x, y) D u f (x, y) = lím = D 2 f (x, y) h 0 h Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 127 de 162

128 Definición El gradiente de f (x, y) es la función vectorial f (x, y) = ( f x, f ) = f y x i + f y j f (x, y) = grad f (x, y) supuestos que las dos derivadas parciales existen Ejemplo Hallar el gradiente de f (x, y) = y ln x + xy 2 en el punto (1, 2) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 128 de 162

129 Definición Sea f (x, y) una función diferenciable y u un vector unitario, Entonces D u f (x, y) = f (x, y).u Ejemplo Hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x 2 2y 2 en ( 3 4, 0), en la dirección de P( 3 4, 0) a Q(0, 1) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 129 de 162

130 Ejemplo Sea f (x, y) = x 2 y y 2 + x 4 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Demostrar que f tiene derivada direccional en (0, 0) pero no es diferenciable en ese punto. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 130 de 162

131 Teorema El Gradiente es normal a las curvas de nivel de z = f (x, y). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 131 de 162

132 APLICACIONES DE LA GRADIENTE Teorema Sea f diferenciable en el punto (x, y) 1. Si f (x, y) = 0, entonces D u f (x, y) = 0 para todo u. 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por f (x, y).el valor máximo de D u f (x, y) es f (x, y). 3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por f (x, y).el valor mínimo de D u f (x, y) es f (x, y). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 132 de 162

133 EJEMPLO Ejemplo Una partícula está situada en el punto P( 2, 1) de una placa metálica cuya temperatura viene dada por T(x, y) = 20 4x 2 y 2 donde x e y se miden en centimetros. En qué dirección a partir de (2, 3) aumenta más rápido la temperatura?, Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 133 de 162

134 Ejemplo Un rastreador térmico se encuentra en el punto (2, 3) sobre una plca metálica cuya temperatura en (x, y) es T(x, y) = 20 4x 2 y 2 Hallar la trayectoria del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 134 de 162

135 PLANOS TANGENTES Definición Supongamos que F(x, y, z) = k determina una superficie S y que F es diferenciable en el punto P(x 0, y 0, z 0 ) de esta superficie, con F(x 0, y 0, z 0 ) 0. Entonces el plano que pasa por P y es perpendicular a F(x 0, y 0.z 0 ) es el plano tangente a la superficie S en P. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 135 de 162

136 Teorema Para la superficie F(x, y, z) = k, la ecuación del pano tangente en (x 0, y 0, z 0 ) es es decir F(x 0, y 0, z 0 ).(x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 En particular, para la superficie z = f (x, y), la ecuación del plano tangente en (x 0, y 0, z 0 ) es z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 136 de 162

137 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 137 de 162

138 Ejemplo Determine la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 + y 2 + 2z 2 = 23 en (1, 2, 3). Ejemplo Determinar la ecuación del plano tangente a z = x 2 + y 2 en el punto (1, 1, 2) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 138 de 162

139 Definición Supongamos que F(x, y, z) = k determina una superficie S y que F es diferenciable en el punto P(x 0, y 0, z 0 ) de esta superficie, con F(x 0, y 0, z 0 ) 0. Entonces la recta que pasa por P y tiene la dirección de F(x 0, y 0, z 0 ) se le llama recta normal a S en P. Definición (Ecuaciones Simétricas de la recta Normal a S en P) x x 0 F x (x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y (x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z (x 0, y 0, z 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 139 de 162

140 Ejemplo Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = 12 en el punto (2, 2, 3). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 140 de 162

141 Teorema Si F es diferenciable en (x 0, y 0, z 0 ) y F(x 0, y 0, z 0 ) 0, entonces F(x 0, y 0, z 0 ) es normal a la superficie de nivel que pasa por (x 0, y 0, z 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 141 de 162

142 EXTREMO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Teorema Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada D en el plano XY 1. Existe por lo menos un punto en D, en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en D, en el que f toma un valor máximo. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 142 de 162

143 Definición Sea f una función definida en una región D que contiene (x 0, y 0 ) 1. La función f tiene un mínimo relativo en (x 0, y 0 ) si existe una bola abierta B de centro (x 0, y 0 ) tal que f (x, y) f (x 0, y 0 ) (x, y) B((x 0, y 0 ), δ)) 2. La función f tiene un máximo relativo en (x 0, y 0 ) si existe una bola abierta B de centro (x 0, y 0 ) tal que f (x, y) f (x 0, y 0 ) (x, y) B((x 0, y 0 ), δ)) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 143 de 162

144 Definición (Puntos críticos) Sea f definida en una región abierta D que contiene a (x 0, y 0 ). El punto (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f si en él se da alguna de estas circunstancias: 1. f x (x 0, y 0 ) = 0 y f y (x 0, y 0 ) = 0 2. f x (x 0, y 0 ) o f y (x 0, y 0 ) no existen. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 144 de 162

145 LOS EXTREMOS RELATIVOS SÓLO PUEDEN OCURRIR EN PUNTOS CRÍTICOS Si f está definida en una región D y tiene en (x 0, y 0 ) un extremo relativo, entonces (x 0, y 0 ) es un punto crítico de f. Si f está definida en una región abierta D y tiene en (x 0, y 0 ) un punto crítico de f, entonces (x 0, y 0 ) puede ser o no un extremo relativo de f. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 145 de 162

146 Ejemplo Hallar los extremos relativos de f (x, y) = 2x 2 + y 2 + 8x 6y + 20 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 146 de 162

147 Teorema (EL criterio de las segundas derivadas parciales) Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto (x 0, y 0 ) en el cual f x (x 0, y 0 ) = 0 y f y (x 0, y 0 ) = 0 Para buscar los extremos relativos de f, sea Entonces D = D(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) [ f xy (x 0, y 0 ) ] 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 147 de 162

148 1. Si D > 0 y f xx (x 0, y 0 ) < 0, entonces f (x 0, y 0 ) es un valor máximo local. 2. Si D > 0 y f xx (x 0, y 0 ) > 0, entonces f (x 0, y 0 ) es un valor mínimo local. 3. Si D < 0, entonces f (x 0, y 0 ) no es un valor máximo extremo(punto de silla). 4. Si D = 0, el criterio no es concluyente. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 148 de 162

149 Ejemplo Determinar los extremos, si existen, de la función F definida como F(x, y) = 3x 3 + y 2 9x + 4y Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 149 de 162

150 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Deseamos hallar el rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse x y2 4 2 = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 150 de 162

151 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE El rectángulo tiene lados 2x y 2y Función objetivo f (x, y) = 4xy Vinculo o ligadura x y2 4 2 = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 151 de 162

152 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Interpretamos la ecuación de ligadura como una curva de nivel fija de x y2 4 2 = 1 g(x, y) = x y2 4 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 152 de 162

153 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Las curvas de nivel de f f (x, y) = 4xy = k es una familia de hipérbolas. Las curvas de nivel de f en las que hay puntos que satisfacen la ligadura o el vínculo corresponden a las hiperbólas que cortan a la elipse. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 153 de 162

154 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 154 de 162

155 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 155 de 162

156 Teorema (Lagrange) Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, tales que f tiene un extremo en el punto (x 0, y 0 ) sobre la curva suave de ligadura g(x, y) = c. Si g(x 0, y 0 ) 0 existe un número λ tal que f (x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 156 de 162

157 MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sean f y g que satisfacen el teorema de Lagrange, tales que f tiene un extremo sujeto a la condición g(x, y) = c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, basta proceder como sigue: Resolver simultáneamente las ecuaciones f (x, y) = λ g(x, y) g(x, y) = c Evaluar f en cada uno de los puntos solución obtenidos en el paso anterior. El mayor de esos valores da el máximo de f sujeta a la ligadura y el menor da el mínimo de f sujeta a la ligadura. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 157 de 162

158 CÁLCULO DE LOS EXTREMOS ABSOLUTOS Sea z = f (x, y) una función de dos variables definida y continua en una región cerrada y acotada D del plano XY entonces f alcanza su máximo y mínimo absoluto En los puntos fronteras de D. En los puntos críticos de f en el interior de D. Comparando los valores se determinan el valor máximo absoluto y el mínimo absoluto de f en D. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 158 de 162

159 Ejemplo Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2? Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 159 de 162

160 Ejemplo Hallar el mínimo valor de f (x, y, z) = 2x 2 + y 2 + 3z 2 sujeta a: 2x 3y 4z 49 = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 160 de 162

161 OPTIMIZACIÓN CON UNA DESIGUALDAD COMO RESTRICCIÓN Para hallar los valores extremos de la función f (x, y) sujeta a la restricción g(x, y) 0. Seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallar los puntos críticos que satisface la restricción. 2. Hallar los valores extremos de la función frontera g(x, y) = 0. Finalmente comparamos los resultados. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 161 de 162

162 Ejemplo La temperatura en los puntos (x, y) de una lámina metálica de forma elíptica limitada por x 2 + 4y 2 24, viene dada por T(x, y) = x 2 + 2x + y 2. Hallar la temperatura máxima y mínima. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 162 de 162

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