(x x 0 ) y 0. O bien z z 0 = x 0. y notamos a este límite ᾱ (t 0 ) = dᾱ dt (t 0).

Transcripción

1 O bien z z 0 = x 0 z 0 (x x 0 ) y 0 z 0 (y y 0 ). Para obtener la ecuación cartesiana de este plano hacemos x 0 (x x 0 )+y 0 (y y 0 )+z 0 (z z 0 ) = 0, como x 0 + y0 + z0 = x 0 + y0 + r (x 0 + y0) = r se tiene x 0 x + y 0 y + z 0 z = r. Regla de la Cadena. Definición: Llamamos función vectorial a una función ᾱ : I = [a,b] R n, para cada t [a,b] será ᾱ (t) = (α 1 (t),...,α n (t)). Si cada función α k, que se llaman funciones componentes de ᾱ, son continuas, llamamos curva al conjunto Γ = {ᾱ (t) : t [a, b]}, en este caso decimos que ᾱ(t) es una parametrización continua de la curva Γ, y un punto P Γ sii existe un t 0 I tal que ᾱ(t 0 ) = P. Si además α k tienen derivadas continuas (o seccionalmente continuas) en I, la curva Γ se dice regular (o regular a trozos). Si t 0 I y h 0 es tal que t 0 + h I, decimos que ᾱ es derivable en t 0 si existe ᾱ (t 0 + h) α (t 0 ) lím h 0 h y notamos a este límite ᾱ (t 0 ) = dᾱ dt (t 0). Teorema: ᾱ derivable en I entonces ᾱ es continua en I. Teorema: Sea ᾱ (t) = n α i (t)e i, si t 0 I entonces ᾱ es derivable en t 0 si y sólo si α i es derivable en t 0 y ᾱ (t 0 ) = n α i (t 0 ) e i = (α 1 (t 0 ),...,α n (t 0 )) y se llama vector tangente a la curva Γ en t 0. Dem: ejercicio. Una composición muy particular. Definicón: Sean I R, ᾱ : I R n una función vectorial y f : D R n R un campo escalar tal que Im (ᾱ) D entonces definimos la función compuesta g : I R por g (t) = (f ᾱ) (t) = f (ᾱ (t)). Teorema: (Regla de la Cadena): Sea t I R tal que ᾱ (t) D R n y existe ᾱ (t), sea f : D R un campo escalar diferenciable en ᾱ (t) para cada t I, entonces g = f ᾱ es derivable en t y vale g (t) = (f ᾱ) (t) = f (ᾱ (t)) ᾱ (t) g (t + h) g (t) Dem: Veamos que existe lím. Sea t h 0 h I y h 0 tal que t + h I Llamamos a = ᾱ (t) y v = ᾱ (t + h) ᾱ (t) entonces a + v = ᾱ (t + h). Calculamos g (t + h) g (t) = f (a + v) f (a) = f (a) v + v E (a,v) f dif donde E (a,v) 0. v 0 Observemos que v 0 cuando h 0 pues ᾱ continua, luego E (a,v) 0. Luego h 0 g (t + h) g (t) lím h 0 h = f (a) ᾱ (t + h) ᾱ (t) }{{ h } ց ᾱ (t) g (t) = f (ᾱ(t)) ᾱ (t) + ᾱ (t + h) ᾱ (t) h E (a,v) ց 0 }{{} acotado 57

2 Observación: Para n = 3, si ᾱ (t) = (x (t),y (t),z (t)) y f (x,y,z) entonces g (t) = f(ᾱ(t)) = f (x (t),y (t),z (t)). Entonces, la regla de cadena escrita en componentes será g (t) = f (ᾱ (t)) ᾱ (t) = (f x (ᾱ (t)),f y (ᾱ (t)),f z (ᾱ (t))) (x (t),y (t),z (t)) = f x x + f y y + f z z Teorema (Interpretación geométrica): Sea f : D R 3 R un campo escalar con derivadas parciales continuas y sea S una superficie de nivel de ecuación f (x,y,z) = k. Si P (x 0,y 0,z 0 ) S, entonces f (P) es perpendicular a S, en el siguiente sentido: sea Γ una curva regular en S de parametrización ᾱ (t) (ᾱ : I R 3 ) tal que ᾱ (t 0 ) = P para t 0 I. Entonces f (P) ᾱ (t 0 ) = 0 Demostración: Sea g (t) = f (ᾱ (t)), como ᾱ(t) S para cada t I será g(t) = f (ᾱ(t)) = k luego g (t) = 0 pero g (t) = f (ᾱ (t)) ᾱ (t) = 0 en particular para t = t 0. Observación: Si f : D R R entonces f (P) es perpendicular a Γ curva de nivel de f que contiene a P (análogo al teorema anterior para la curva de nivel f(x,y) = k), es decir f (P) tan Γ en P. Definición: (Plano tangente): Sea S superficie de nivel de ecuación f(x,y,z) = k, si f tiene derivadas parciales continuas y P 0 (x 0,y 0,z 0 ) S, definimos el plano tangente a S en P 0 como La ecuación cartesiana de este plano es {P (x,y,z) : f (P 0 ) (P P 0 ) = 0} f x (x 0,y 0,z 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0,y 0,z 0 ) (y y 0 ) + f z (x 0,y 0,z 0 ) (z z 0 ) = 0 (7) Comentario: Esta definición comprende a la primera. En efecto, si z = f (x,y) es la ecuación de una superficie S definimos plano tangente por z z 0 = f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) (8) Ahora a la superficie S de ecuación z = f (x,y) la podemos considerar como la superficie de nivel cero de Φ (x,y,z) = z f (x,y) = 0, será entonces Φ = ( f x, f y, 1). Luego el plano tangente en P 0 (x 0,y 0,z 0 ) = (x 0,y 0,f (x 0,y 0 )), según (7), está dado por que es la ecuación dada en (6). Φ (x 0,y 0,z 0 ) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0 f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) + 1 (z z 0 ) = 0 f x (x 0,y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) = z z 0 Ejemplo: Sea S una superficie de ecuación x + y z = 0, y P 0 (3, 4, 5) S, la ecuación del plano tangente a S en P 0 es x 0 (x x 0 ) + y 0 (y y 0 ) z 0 (z z 0 ) = 0 6 (x 3) + 8 (y 4) 10 (z 5) = x + 4y 5z = 0

3 Definición: Sea f un campo escalar que admite derivadas parciales segundas, llamamos Laplaciano de f a f = f xx + f yy + f zz. Decimos que f es armónica si f = 0. Ejemplo: Dada f (x,y,z) = 1 r = r 1 donde r = x + y + z calcular f y probar que f es armónica fuera del origen. x Observemos que r x = x = x = +y +z r xr 1, análogamente se obtienen r y = yr 1 y r z = zr 1. f x = r r x = r xr 1 = r 3 x f xx = 3r 4 r x x r 3 = r 3 (3x r 1) f y = r r y = r 3 y f yy = 3r 4 r y y r 3 = r 3 (3y r 1) sumando f z = r ( r z = r 3 z f zz = 3r 4 r z z r 3 = r 3 (3z r 1) x f = r, y 3 r, z ) f = r 3 r (3r (x + y + z ) 3) = 0 3 Extremos de campos escalares. Definición: (Máximo y mínimo de f) : Sea f : A R n R un campo escalar. Si existe a A tal que f (x) f (a) x A decimos que f (a) es un máximo absoluto de f en A. Si existe a A tal que f (x) f (a) x N (a) A decimos que f (a) es un máximo local o relativo de f. Si existe a A tal que f (x) f (a) x A decimos que f (a) es un mínimo absoluto de f en A. Si existe a A tal que f (x) f (a) x N (a) A decimos que f (a) es un mínimo local o relativo de f. Definición: (Extremos de f) : Llamamos extremos de f a los máximos y mínimos de f. Notaciones: Decimos f(a) es un extremo absoluto de f si f(a) es un mínimo o un máximo absoluto de f en A y notamos f(a) = mín x A f(x) = m = m a f(a) = máx x A f(x) = M = M a Decimos f(a) es un extremo local de f si f(a) es un mínimo local o un máximo local de f en A y notamos f(a) = mín x N(a) A f(x) = m L f(a) = máx x N(a) A f(x) = M L En cualquiera de estos casos decimos que f(a) es un extremo de f o que f alcanza un extremo en a. Ejemplos: 1) f (x,y) = 6 tiene máximo y mínimo en todos los puntos y vale 6. ) g (x,y) = y 0 (x,y) luego f alcanza su mínimo en todos los puntos de la forma (x, 0) siendo mínf = f (x, 0) = 0 y no tiene máximo. 3) h (x,y) = 4 x y 4 (x,y) entonces el máximo de h es 4 y lo alcanza en (0, 0), es decir máxh = h (0, 0) = 4 y no tiene mínimo. Observación: Observemos que f puede alcanzar su máximo o su mínimo en varios puntos de su dominio (ejemplo 1) y que no siempre tiene máximo y mínimo (ejemplo y 3). Es decir, puede no existir máximo o mínimo de f y de existir pueden alcanzarse en más de un punto. Definición: Un conjunto cerrado y acotado de R n es llamado compacto. Teorema (Weierstrass): Si f es continua en A compacto entonces f tiene máximo y mínimo en A, es decir existen a,b A tales que máx A f = f (a) y mín f = f (b) A 59

4 Teorema (Condición necesaria de extremos): Sea A R n. Si f tiene un extremo local en a Å y f es diferenciable en Å entonces f (a) = 0, esto es D 1 f (a) = 0 D f (a) = 0 D n f (a) = 0 Demostración: Como a Å existe δ > 0 tal que B (a,δ) A. Luego si h Rn, h 0 es tal que h < δ el segmento a h,a + h está en B (a,δ) A. Definimos g : [ 1, 1] R por g (t) = f (a + th) Así, g(0) = f(a). Como f es diferenciable y tiene una extremo local en a resulta g derivable en 0 y tiene un extremo local en 0. Luego será g (0) = f (a) h = 0 h tal que h < δ. Por lo tanto f (a) = 0. Observación: Sean a Å, f diferenciable en A. Si f(a) es un extremo local f (a) = 0. Sin embargo, en los puntos de A donde se anula el gradiente de f no necesariamente hay un extremo como puede verse en el siguiente ejemplo: Ejemplo Sea f (x,y) = xy, f (0, 0) = 0, f (x,y) = (y,x), f (0, 0) = (0, 0), sin embargo f no tiene extremo local en (0, 0), pues f toma valores positivos en 1 y 3 cuadrante y negativos en y 4. Más aún, como la gráfica de f cerca del (0, 0) se asemeja a una montura, el punto ( 0, 0 ) = ( 0,f(0) ) es llamado punto de ensilladura. Definición (Puntos estacionarios y puntos de ensilladura): Los puntos a tales que f (a) = 0 son llamados puntos estacionarios o críticos. Puede ocurrir que en un punto estacionario a: f tenga un extremo (máximo o mínimo) o no sabemos qué pasa con f. Si f (a) = 0 y f no tiene un extremo en a, entonces (a,f(a)) es llamado punto silla o punto de ensilladura. Observación: Si f es diferenciable en todo su dominio A abierto de R n, entonces {a A : f tiene un extremo local en a} {a A : a es estacionario} Trataremos de establecer condiciones suficientes para determinar cuándo un punto estacionario es un extremo. Definición: (Matriz Hessiana): Si f : A R n R es un campo escalar C (A) y a A, llamamos matriz Hessiana de f en a, a la matriz dada por las derivadas parciales segundas de f en a D 11 f (a) D 1 f (a) D 1n f (a) D 1 f (a) D n f (a) H f (a) = H (a) =..... D n1 f (a) D nn f (a) Llamamos Hessiano al det H(A). 60.

5 Criterio del Hessiano para la determinación de extremos para n =. Para un campo escalar f : A R R la matriz Hessiana de f en a A está dada por ( ) ( ) fxx (a) f H (a) = xy (a) a b = f xy (a) f yy (a) b c y su Hessiano es det (H (a)) = f xx (a)f yy (a) f xy(a) = ac b. Luego si a es un punto estacionario de f (esto es, f (a) = 0), y supongamos que las derivadas parciales segundas de f son continuas en B(a,r) entonces si Ejemplos: { { fxx (a) > 0 f (a) = (I) deth (a) > 0 y f xx (a) < 0 = mínl f f (a) = máx L f (II) det H (a) < 0 = (a,f (a)) es punto de ensilladura (III) det H (a) = 0 el criterio no decide 1. Sea f (x,y) = x 3 + y 3 3x 3y, buscamos los puntos estacionarios haciendo f (x,y) = (3x 3, 3y 3) = (0, 0), obtenemos ( ) estos 4 puntos estacionarios (±1, ±1). Calculamos la 6x 0 matriz Hessiana H (x,y) = y el det (H (x,y)) = 36xy entonces en los puntos 0 6y estacionarios es: det (H (1, 1)) = 36 > 0 y f xx (1, 1) = 6 > 0 Q definida positiva f (1, 1) es mínimo. det (H ( 1, 1)) = 36 > 0 y f xx ( 1, 1) = 6 < 0 Q definida negativa f ( 1, 1) es máximo. det (H ( 1, 1)) = det (H (1, 1)) = 36 < 0 Q indefinida, no hay extremos en ( 1, 1) ni en (1, 1), luego (( 1, 1), f ( 1, 1)) y ((1, 1), f (1, 1)) son puntos de ensilladura.. Sea f (x,y) = ( x + y ) e x y }{{}}{{}, buscamos los puntos estacionarios haciendo E M f (x,y) = (xe + MEx, ye MEy) = E (x (1 + M), y (1 M)) = (0, 0) x(1 + M) = 0 }{{} 0 y (1 M) = 0 { { x = 0 x = 0 y = 0 o M = 1 y = 0, y = 1, y = 1 Obtenemos 3 puntos estacionarios (0, 0) y (0, ±1), calculamos la matriz Hessiana H (x,y) = E ( + 8x + M + 4Mx 4Myx 4Myx 8y M + 4My En los puntos estacionarios es ( ) 0 H (0, 0) =, det (H (0, 0)) = 4 > 0 y f 0 xx (0, 0) = > 0 Q definida positiva f (0, 0) es mínimo. ( 4e 1 0 H (0, ±1) = 0 4e 1 ), det (H (0, ±1)) < 0 Q indefinida, no hay extremos ((0, 1), f (0, 1)) y ((0, 1), f (0, 1)) son puntos de ensilladura. 61 )

6 3. Si Q es semidefinida, ejemplos a,b, o idénticamente nula, ejemplos c,d (caso D ij f (a) = 0), nada se puede concluir a priori, habrá que analizar cada caso en especial, como puede verse en los siguientes ejemplos: ( ) a) Sea f (x,y) = (y x) + y 3 x y, f (x,y) = x + y + 3y = 0, tenemos único punto ( ) estacionario el (0, 0); la matriz Hessiana es H (x,y) = y deth (0, 0) = 6y + 0 Q es semidefinida. En este caso, f (x,x) = x 3, f (0, 0) = 0 y positiva en el 1 cuadrante y negativa en el 3, luego ((0, 0),f (0, 0)) es punto de ensilladura. ( ) b) Sea f (x,y) = (y x) + y 4 x y, f (x,y) = x + y + 4y 3 = 0, tenemos único punto ( ) estacionario el (0, 0); la matriz Hessiana es H (x,y) = y deth (0, 0) = 1y + 0 Q es semidefinida, pero f (0, 0) = 0 y f 0, luego f (0, 0) es mínimo. ( ) 3x c) Sea f (x,y) = x 3 + y 3, f (x,y) = 3y = 0, tenemos único punto estacionario el ( ) 6x 0 (0, 0); la matriz Hessiana H (x,y) = y deth (0, 0) = 0 6y Q = 0, pero f > 0 en el 1 cuadrante y f < 0 en el 3 entonces ((0, 0),f (0, 0)) es punto de ensilladura. ( ) 4x d) Sea f (x,y) = x 4 + y 4 3, f (x,y) = 4y 3 = 0, único punto estacionario el (0, 0); la ( ) 1x 0 matriz Hessiana H (x,y) = 0 1y y deth (0, 0) = Q = 0, pero f 0 y f (0, 0) = 0, entonces f(0, 0) es mínimo. Extremos de funciones continuas en conjuntos compactos. Se plantea el problema de optimizar un campo escalar f, por ejemplo f : D R R sobre una región D cerrada y acotada de R (un compacto). Si f es continua en D, el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximo y mínimo de f en D. Hay que estudiar los extremos libres de f en el interior de D y los extremos de f en la frontera de D. Ejemplo: Sea f (x,y) = xy (1 x y ) en D = {(x,y) : 0 x 1, 0 y 1} = D D. En el interior de D, como f es diferenciable ( buscamos) los extremos ( ) de f entre sus puntos estacionarios, y y para ello planteamos f (x,y) = 3 3x y 0 x x 3 3xy =, obtenemos 8 puntos estacionarios, 0 que son: (0, 0), (±1, 0), (0, ±1), (± 1, 1), (1, 1) (0, 0),(0, 1),(1, 0) descartados por ahora porque no están en el interior. ( 1, 0),(0, 1), ( 1, ( ) 1, 1, ) 1 descartados por estar fuera de D. ( 1, 1 ) ( D, es el único punto estacionario ) en el interior de D. La matriz ( Hessiana de ) f es 6xy 1 3y H (x,y) = 3x 1 3x 3y, evaluada en ( 6xy 1, 1) es H(1, 1 3 ) = Su determinante es deth( 1, 1) = > 0 y f xx( 1, 1) = 3 < 0 luego Q es definida negativa, entonces f( 1, 1) = máx D L f = 1. 8 En la frontera de D, ponemos D = A 1 A A 3 A 4 siendo A 1 = {0} [0, 1], A = [0, 1] {0}, A 3 = {1} [0, 1] y A 4 = [0, 1] {1}. f(a 1 ) = f(0,y) = 0 y [0, 1], luego mín Lf = máx Lf = 0. A 1 A 1 6

7 f(a ) = f(x, 0) = 0 x [0, 1], luego mín Lf = máx Lf = 0. A A f(a 3 ) = f(1,y) = y 3 y [0, 1], luego mín Lf = f(1, 1) = 1 y máx Lf = f(1, 0) = 0. A 3 A 3 f(a 4 ) = f(x, 1) = x 3 x [0, 1], luego mín Lf = f(1, 1) = 1 y máx Lf = f(0, 1) = 0. A 4 A 4 Observemos que cuando evaluamos f en la frontera de D eventualmente podemos tener una función que sólo depende de una sola variable, en esos casos puede ser necesario y conveniente hacer un estudio apropiado para buscar los extremos. Comparamos ahora los extremos (locales) de f obtenidos en estos subconjuntos y concluimos que el máximo de f está en el interior en el único punto estacionario o sea máx f = f ( 1, ) 1 D = 1 y el 8 mínimo de f está en la frontera y es mínf = f (1, 1) = 1 D Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Problemas de aplicación. Sean f : A R n R y g i : B i R n R (con i = 1,...,k) campos escalares, se plantea el problema de optimizar f con k < n condiciones g 1 (x 1,...,x n ) = 0,...,g k (x 1,...,x n ) = 0, para (x 1,...,x n ) A ( k B i ), es decir optimizar f(x 1,...,x n ) s/a g 1 (x 1,...,x n ) = 0. g k (x 1,...,x n ) = 0 (x 1,...,x n ) A ( k B i ) Ejemplos introductorios. Sean f(x,y) = x + y y g 1 (x,y) = x + y 1 queda planteado el siguiente problema optimizar x + y s/a x + y 1 = 0 (x,y) R De la ecuación g 1 (x,y) = 0 despejo y = y(x) = ± 1 x, con x 1. 1 ) defino g (x) = f(x,y(x)) = f(x, 1 x ) = x + 1 x, busco los extremos de g, haciendo g (1 x (x) = ) x = 0 x = (1 x ) > 0 x = y =. Como (1 x ) g 1 (x) =, luego (1 x ) 3/ g ( ) = < 0, entonces g( ) = f(, ) = = M es el máximo. ) defino h (x) = f(x,y(x)) = f(x, 1 x ) = x 1 x, busco los extremos de h, haciendo h (x) = (1 x )+x (1 x ) = 0 x = (1 x ) < 0 x = y =. Como h (x) = 1 (1 x ) 3/, luego h ( ) = > 0, entonces h( ) = f(, ) = = m es el mínimo. b) Mismo ejemplo a) con el método de Lagrange. Sean f (x,y) = x + y, g 1 (x,y) = x + y 1 = 0, las curvas de nivel de f son rectas x + y = k. Sólo hay intersección entre las curvas de nivel de f y la curva de ecuación g 1 = 0 para valores de k [, ]. Los óptimos estarán en los extremos de variación de k, luego en puntos como P no puede haber extremos. Los candidatos a obtener los extremos de f son los puntos Q y R. En ellos los 63

8 gradientes de g 1 y f son paralelos o proporcionales: es decir f (Q) = λ g 1 (Q), siendo Q = (x,y) un punto del 1 o cuadrante, tenemos Entonces (1, 1) = λ(x, y) { 1 = λx 1 = λy f (Q) = (1, 1) g 1 (Q) = (x, y) Q(x, y) 1 cuadrante x = y, además deben verificar. Q(x,y = x) 1 cuadrante y g 1 (x,x) = 0 x = y = Análogamente, para el punto R en el 3 o cuadrante con f (R) = λ g 1 (R), se obtiene x = y = Y nuevamente f( /, /) = = M es el máximo y f( /, /) = = m es el mínimo. Método de Lagrange. Multiplicadores de Lagrange. Para optimizar un campo escalar diferenciable f : A R n R con la condición g = 0 (siendo g : B R n R un campo escalar diferenciable) los extremos ocurren en los puntos P = (x 1,...,x n ) A B que junto a λ son solución del sistema (n + 1) (n + 1) dado por f (P) = λ g (P) g(x 1,...,x n ) = 0 Así, resulta que si f tiene un extremo en P A B entonces existe λ 0 tal que f (P) = λ g (P) y g(p) = 0. El escalar λ se llama multiplicador de Lagrange.. Ejemplo: Optimizar la distancia del origen a la elipse de ecuación 5x + 6xy + 5y 8 = 0. Planteamos el problema optimizar f (x,y) = x + y s/a g (x,y) = 5x + 6xy + 5y 8 = 0 (x,y) R Como f 0 y es creciente, f es máxima (o mínima) cuando f es máxima (o mínima), consideramos el problema equivalente optimizar x + y s/a g (x,y) = 0 (x,y) R Planteamos las ecuaciones, para P(x,y) R y λ 0 { x = λ (10x + 6y) f(p) = λ g(p) y = λ (6x + 10y) g(p) = 0 5x + 6xy + 5y 8 = 0 si despejamos λ, tenemos tenemos 5x + 3y x = 3x + 5y y g(x,x) = 0 16x = 8 x = ± Q = y = ±x, reemplazando en la condición g(x, ±x) = 0, ( ( ց Q =, ) g(x, x) = 0 4x = 8 x = ± P = (, ) ց P = (, ) 64, )

9 Siendo el máximo f(p) = f(p ) = y el mínimo f(q) = f(q ) = 1. Método de Lagrange con más condiciones. Consideramos el problema de optimizar f : A R 3 R sujeto a dos condiciones: optimizar f(x, y, z) s/a G 1 (x,y,z) = 0 G (x,y,z) = 0 Sean f un campo escalar diferenciable en A y G 1, G campos escalares diferenciables en B 1 B R 3. La intersección de las superficies de ecuaciones G 1 (x,y,z) = 0 y G (x,y,z) = 0 es una curva Γ de parametrización α (t). Sea P un punto en esa curva y supongamos Γ A, es decir, P = α (t 0 ) para algún t 0. Defino ω = f α. Si f tiene un extremo en P sujeto a las condiciones G 1 (x,y,z) = 0 y G (x,y,z) = 0 (o sea P Γ) entonces ω tiene un extremo del mismo tipo en t 0. Luego ω (t 0 ) = 0 o sea f (α (t 0 )) α (t 0 ) = 0, es decir f (P) α (t 0 ). El vector α (t 0 ) es tangente a Γ y está determinado por la intersección de los planos tangentes a las superficies dadas por G 1 (x,y,z) = 0 y G (x,y,z) = 0 en P. Luego α (t 0 ) G 1 (P) y α (t 0 ) G (P). Por lo tanto los vectores f (P), G 1 (P) y G (P) son coplanares. Si G 1 (P) y G (P) son linealmente independientes entonces existen λ 1,λ tales f (P) = λ 1 G 1 (P)+λ G (P), donde λ 1,λ son los multiplicadores de Lagrange. El óptimo ocurre en los puntos P = (x,y,z) Γ A (B 1 B ), que junto con λ 1,λ son solución del sistema 5 5 f (P) = λ 1 G 1 (P) + λ G (P) G 1 (P) = 0 G (P) = 0 En general, si f : A R n R y g i : B i R n R para i = 1,...,k con k < n son campos escalares diferenciables, se plantea el problema de optimizar f(x 1,...,x n ) con k < n condiciones g 1 (x 1,...,x n ) = 0,...,g k (x 1,...,x n ) = 0, para P(x 1,...,x n ) A ( k B i ), o sea optimizar f(x 1,...,x n ) s/a g 1 (x 1,...,x n ) = 0. g k (x 1,...,x n ) = 0 El óptimo ocurre en los puntos PP(x 1,...,x n ) A ( k B i ) que con λ i para i = 1,...,k son solución del sistema (n + k) (n + k) f (P) = λ 1 g 1 (P) λ k g k (P) g 1 (P) = 0. g k (P) = 0 Ejemplo: Armar la mayor caja sin tapa (max volumen) con 1m de material. Planteamos el problema máx V (x,y,z) = xyz s/a g (x,y,z) = xy + xz + yz 1 = 0 (x,y,z) ( ) R

10 Con método de multiplicaremos debemos resolver { V (P) = λ g (P) g(p) = 0 V x = λg x V y = λg y V z = λg z g(p) = 0 es decir yz = λ(y + z) xz = λ(x + z) xy = λ(x + y) xy + xz + yz 1 = 0 cuya solución es { x =,y =,z = 1,λ = 1 } o { x =,y =,z = 1,λ = 1 } pero descartamos ésta última pues no pertenece al dominio consideramos (x, y, z deben representar dimensiones de una caja), luego el máximo es V (,,1) = 4 y se alcanza en (,, 1). Es decir, la mayor caja es la de m de ancho por m de largo por 1m de alto. 66