i j k xy yz xz = = Div Rot F = x y z

Transcripción

1 Div Rot F, si F = ( xy, yz, xz) 1. Hallar: primero, debemos hallar rotor de la función vectorial. i j k Rot ( F ) = ( xy, yz, xz) =,, ( xy, yz, xz) = x y z xy yz xz ( xz) ( yz) ( xy) ( xz) ( yz) ( xy) Rot ( F ) =,, y, z, x Rot F y, z, x y z z x x y Luego procedemos a calcular la divergencia: Div ( Rot ( F )) ( y, z, x),, ( y, z, x) Div Rot F = Como las derivadas parciales, se hacen cero entonces tenemos: 0. Sea 4 y z F( x, y, z) = xg(, ), verificar la igualdad: F F F x + y + z = 4 F( x, y, z) x x x y z para resolver o demostrar el problema, debemos realizar un cambio de variable en la función que desconocemos: y m = 4 y z x 4 F( x, y, z) = xg(, ) F( x, y, z) = xg( mn, ) x x z n = x Bajo los respectivos cambios, se procederá a conformar un diagrama de composiciones: Según el diagrama determinamos las derivadas parciales que nos pide en la demostración: F F F m F n = + + x x m x n x F F 4 G m y F 4 G m z = 4 xg( mn, ), = x,, = x, x m m x x n n x x Reemplazando todos los anteriores valores en la formula, se tiene: F 4 G y 4 G z F G G 4 xg( mn, ) x x = + 4 xg( mn, ) x y x z + x m x n x x m n Procediendo de la misma manera para las otras derivas parciales tenemos: F F m F 4 G m 1 F 4 G1 G = = x, = = x = x y m y m m y x y mx m F F n F 4 G m 1 F 4 G1 G = = x, = = x = x z n z m n y x z n x n Reemplazando las tres derivadas parciales en la ecuación a demostrar, se tiene: G G G G x 4 xg( mn, ) x y x z + y x + z x = 4 F( x, y, z) m n m n = = 4 4 xg( mn, ) 4 F( x, y, z) 4 F( x, y, z) 4 F( x, y, z) jny_hc@hotmail.com 1

2 . Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie π :x y + z = 4, π : x + y z = 1 z x xy, que sea perpendicular a los planos para empezar debemos aplicar el operador Nabla a la superficie: F = z x xy F =,, ( z x xy) F = ( x y, x,1) La ultima ecuación vectorial, representa un vector tangente en cualquier punto de la superficie, por lo tanto si es tangente este vector es perpendicular a las normales de los planos: F x y, x,1, N1 =, 1,1 π, N = 1,1, 1 π 1 Si el vector tangente es perpendicular a las normales, entonces podemos aplicar el producto escalar para vectores perpendiculares: F N1 = ( x y, x,1) (, 1,1) x y + 1 F N = ( x y, x,1) ( 1,1, 1) x y 1 x 1, y = F,1,1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene los siguientes valores: Reemplazando los valores de x, y en la superficie F, se calcula el valor de z: z ( 1) ( 1) z 1 Empleando la ecuación punto normal del plano, se calcula la ecuación del plano tangente: x 1, y =, z 1, F = ( 0,1,1) 0( x ( 1) ) + 1( y ) + 1( z ( 1) ) y + z 1 4. Determine el paralelepípedo rectangular de máximo volumen y área total a 64m. se procederá a graficar el paralelepípedo: Para resolver este problema se empleara lo que es multiplicadores de Lagrange, donde la función a maximizar será el volumen y la función restricción será el área total igualada a cero F( x, y, z, λ) = Volumen + λ( At) Donde: Volumen = xyz, At = xy + yz + xz 64 Reemplazando las anteriores ecuaciones en F tenemos: F( x, y, z, λ) = xyz + λ(xy + yz + xz 64) Derivando respecto de cada variable tenemos, e igualando a cero tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Fx = yz + λ(y + z) Fy = xz + λ(x + z) Fz = xy + λ(x + y) Fλ = xy + yz + xz 64 Donde la las soluciones respectivas son x = y = z = u, de donde llegamos a la siguiente conclusión, si deseamos obtener la dimensiones de un paralelepípedo de volumen máximo y de un área determinada las dimensiones de este deben ser iguales, por lo tanto el paralelepípedo debe ser un cubo. jny_hc@hotmail.com

3 x y z 1. Mostrar que el plano tangente a la superficie + + = 1, en el punto P 0( x0, y0, z 0), es: xx yy + zz = 1 a b c a b c x y z aplicando el operador nabla para F = : a b c F F F x y z F =,, F =,, =,,, evaluando en el punto P0( x0, y0, z 0), el vector x y z a b c resultante será la normal del plano tangente: x0 y0 z0 F =,, = N 0 empleando esta normal y el punto P0( x0, y0, z 0) podemos determinar la ecuación del plano: a b c x0 y0 z0 xx0 yy0 zz0 x0 y0 z0 π: ( x x 0) + ( y y 0) + ( x z 0) + + = α a b c a b c a b c x0 y0 z0 Como P0( x0, y0, z0) F F( x0, y0, z0) = + + = 1... β a b c xx0 yy0 zz0 Ecuación β en α entonces: + + = 1 a b c. Si F( x, y ), demostrar: d y dx + ( Fy) Fx Fyy FxFyFxy Fy Fxx empleando derivación implícita tenemos: dy Fx... dx Fy α Calculando al derivada nuevamente respecto de x, empleando la derivada de un cociente tenemos: d ( Fx) d ( Fy) Fy Fx d y d Fx dx dx d ( Fx) d ( Fy)... β para calcular y, empleamos diferenciales totales. dx dx Fy Fy dx dx d Fx 1 dy d Fy 1 dy = ( Fxxdx + Fxydy) = Fxx + Fxy ; = ( Fyxdx + Fyydy) = Fyx + Fyy dx dx dx dx dx dx Reemplazando α en las anteriores ecuaciones: d ( Fx) Fx d ( Fy) Fx = Fxx + Fxy. ; = Fyx + Fyy. dx Fy dx Fy Reemplazando las anteriores ecuaciones en β : d y dx Fy Fy d y dx + ( Fy) Fx Fx Fx Fxx Fxy. Fy Fyx Fyy. Fx FxxFy FxyFx FyxFx + Fyy Fy Fy Fy Fx Fyy FxFyFxy Fy Fxx jny_hc@hotmail.com

4 1. Hallar si r = ( x, y, z) : r 1 1 x y z r = x + y + z =,,,, r x y z x + y + z ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) 1 x y z =,,,, r ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) 1 x y z 4x x y z 4y x y z 4z r ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) 1 1 ( ( x + y + z ) 4( x + y + z )) = = r ( x + y + z ) ( x + y + z ) r r 4 4. Hallar los máximos y mínimos relativos de: f( x, y) = x + y x 1y + 0 fx = x, x = 1 Derivando respecto a cada una de las variables e igualando a cero: P(1,4) fy = y 1, y = 4 fxx fxy 0 Calculando el Hessiano: = = = 9 por lo tanto existen extremos. fyx fyy 0 Determinamos si ex máximo o mínimo: fxx = entonces existe mínimo en el punto P(1,4) 5. Una caja rectangular sin tapa ha de tener un volumen de unidades. Cuál han de ser las dimensiones para que la superficie sea mínima? Solución Lo aconsejable para resolver este tipo de ejercicios es utilizar multiplicadores de Lagrange: Sup = yz + xy + xz Entonces la base debe ser cuadrada, la altura la mitad de un lado de la base. V = xyz = G( x, y, z) = V = xyz Aplicando multiplicadores de Lagrange. F( x, y, z, λ) = Sup + λg( x, y, z) F( x, y, z, λ) = yz + xy + xz + λ xyz Derivando respecto de cada una de las variables e igualando a cero, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. Fx = y + z + λyz Fy = z + x + λxz y = z = 4[ u], x = [ u] Fz = y + x + λxy Fλ = xyz jny_hc@hotmail.com 4

5 u u u 4 1. Si u = x + y + z, demostrar que satisface la ecuación diferencial + +. x y z u x x + y + z x u x u x y z + + x + y + z + x x + y + z x x + y + z x x + y + z ( x + y + z ) ( x + y + z ) / / u x + y + z x ( x y z ) + + / r simetría tenemos las siguientes derivadas de orden : u y + x + z u x + y + z, y z x + y + z x + y + z Sumando las derivadas. / / u u u x + y + z y + x + z x + y + z 4( x + y + z ) u u u 4 + +, + + / / / / x y z x y z u ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ). Si: r = ( x, y, z) encontrar r r. r = x + y + z r r = x + y + z x, x + y + z y, x + y + z z { } Aplicando divergencia tenemos: r r =,, { ( x + y + z ) x, ( x + y + z ) y, ( x + y + z ) z} r r = x + x + y + z + y + x + y + z + z + x + y + z = 5 x + y + z r r = 5r cos. Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie z = e x y 1, en el punto P(1, π, e ). aplicando el operador nabla a la superficie tenemos. xcosy xcosy z = e F = e z F F F xcosy xcosy F =,, F =,, = ( cos ye., x.sin ye., 1) x y z 1 Evaluado en el punto P(1, π, e ), el resultado vendría a ser la normal del plano y el vector direccional de la recta. 1cos 1cos 1 F ( cos. e π π = π, 1.sin π. e, 1 ) = ( e,0, 1) = N = a P 1 Empleando el punto P(1,, e ) N = a e 1,0, 1, se determina la ecuación del plano tangente y la recta normal π y x 1 1. π: + z = l: x = 1 t, y = π, z t e e e e jny_hc@hotmail.com 5

6 z z 4. Si f( x az, y bz), demostrar que: a + b = 1 x y para resolver este tipo de ecuaciones se debe hacer un cambio de variable: f( mn, ) luego realizar el diagrama de composiciones. si m = x az n = y bz, y z z Determinemos x y, como es una función implícita se aplica: z fx z fy x fz y fz aplicando regla de la cadena para funciones compuestas tenemos: (nota: si no conozco la derivada respecto de una variable, se mantiene en su forma de derivada) f m f f n.1 z fx m x m z fy n y... α x fz f m f n f f y fz f m f n + ( a) + ( b) + m z n z m n m z n z Reemplazando α β en la ecuación a demostrar, tenemos: f f f f a + b z z m n m n z z a + b = a b 1 a b 1 x y f f + f f = = + = f f a + b a + b a + b x y m n m n m n 5. Determinar las dimensiones de los lados de un triangulo si su perímetro es 1 cm., de manera que su área sea máxima. (sugerencia, usar A = s( s a)( s b)( s c) ) a + b + c = 1, G( abc,, ) = a + b + c 1, A = s( s a)( s b)( s c) a + b + c 1 s = = = 6 A = 6(6 a)(6 b)(6 c) Empleando multiplicadores de Lagrange, para G( abc,, ) = a + b + c 1 y A = 6(6 a)(6 b)(6 c) F( abc,,, λ) = A + λg( abc,, ) = 6(6 a)(6 b)(6 c) + λ a + b + c 1 Derivando respecto de cada variable, igualando a cero y por ultimo resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos: 6(6 b)(6 c) Fa = + λ 6(6 a)(6 b)(6 c) 6(6 a)(6 c) Fb = + λ 6(6 a)(6 b)(6 c) a = b = c = 4[ u], λ = 6(6 a)(6 b) Fc = + λ 6(6 a)(6 b)(6 c) Fλ = a + b + c 1 r lo tanto las dimensiones del triangulo deben ser iguales para que su área sea máxima. jny_hc@hotmail.com 6

7 1. si u arctan y = x, demostrar P (,, ) o xo yo z o y u 1 y y u xy u 1 1 x u xy u = arctan = =, =, = =, x x y x x + y x y y x x y y 1 x y x + y + x x u u xy xy + 0 x = y x + y + ( x y ) Cumpliendo así con la demostración, NOTA.- a este tipo de funciones se le conoce con el nombre de funciones armónicas.. Encuentre los puntos del hiperboloide 4x y + 4z = 5 x y + 4z = 16, en los que el plano tangente es paralelo al plano: aplicando el operador Nabla al hiperboloide: x y + 4z 16 = F F F F F =,, F =,, = ( x, 4 y, 8z) sea x y z ( xo, yo, zo) el punto buscado, entonces tenemos: F = x, 4 y, 8z igualando el anterior vector con la normal del plano por P la existencia de paralelismo entre vectores x0 = t F = tn, ( x0, 4 y0, 8z0 ) = t ( 4,, 4 ) y0 t ( xo, yo, zo) = (, t t, t) P0 1 z0 = t hiperbolide x0 y0 + 4z0 = 16 = 4t t + t = 16, t = ± P0 = ± (,, ). Demostrar r r = 6r, si r = ( x, y, z) r r = x + y + z ( x, y, z) = ( x x + y + z, y x + y + z, z x + y + z ) { } { } { x y z } ( ) ( ) r r = x x + y + z + y x + y + z + z x + y + z r r = x + y + z + x x + y + z x + x + y + z + y x + y + z y + x + y + z + z x + y + z ( z) r r = x + y + z + x + y + z x + y + z = 6 x + y + z r r = 6r jny_hc@hotmail.com 7

8 4. Determinar los máximos y mínimos de f( x, y) = x + y x y f = x, x = ± 1 x derivando respecto de cada variable e igualando a cero tenemos los siguientes f = y, y = ± 1 y puntosp 1 (1,1), P (1, 1) P ( 1,1) P 4 ( 1, 1) f f = 6 extremos P1 x x y 6x 0 6 _ P es Punto de ensilladura Calculando el Hessiano: = = = 6xy f f 0 6y 6 es_ Punto_ de_ ensilladura P y x y = 6 extremos P4 f Determinamos si existe máximo o mínimo x puntos P y P existe punto de ensilladura. f = 6, 6. En P1 existe mínimo, en P existe máximo y en los x P1 P4 5. Encuentre el volumen máximo de un paralelepípedo rectangular, tal que tres de sus aristas están en los ejes positivos x, y, z y uno de sus vértices esta en el plano x + y + 4z = 1 sea el punto P ( x, y, z) que pertenece al plano y al paralelepípedo, aplicando multiplicadores de Lagrange. Volumen = xyz Es la función a maximizar G = x + y + 4z 1 Es la restricción ( x y 4z 1) f = xyz + λ + + Hallando la derivada parcial respecto de cada variable e igualando a cero tenemos: fx = yz + λ fy = xz + λ ( ) 4 x =, y =, z = 1, λ f ( 4) 0 y = xy + λ = f λ = x + y + 4z 1 8 [ ] Volumen = u r lo tanto, para que el paralelepípedo tenga un volumen máximo, teniendo como restricción el plano debe tener las siguientes 4 dimensiones x =, y =, z = 1. jny_hc@hotmail.com 8

9 FORMULARIO MAT-10 DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES 1. TEOREMA DE EULER: se llama función homogénea de grado n, siempre que se verifique la igualdad: n f( kxky, ) = k f( x, y), Para toda función homogénea diferenciadle de grado n, se verifica siempre la igualdad: xfx. + y. fy = nf. ( x, y) z = f( x, y) dz = fxdx. + fydy.. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN: si u = f( x, y, z) du = fxdx. + fydy. + fzdz. Para las diferenciales de orden superior se verifica la siguiente formula simbólica. n d u = dx. + dy. + dz. f( x, y, z). DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS: si z = f( x, y) x = ϕ(), t y = ψ() t entonces la derivada de la función dz f dx f dy compuesta respecto de t se la calcula: = + dt xdt y dt En caso particular de varias variables independientes: z = f( x, y) x = ϕ( uv, ), y = ψ( uv, ) donde u y v son variables independientes, las derivadas parciales de z respecto u y v se calculan así: z f x f y z f x f y = + = + u x u y u v x v y v 4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA: si f( x, y ) la derivada de y respecto de x es igual: dy fx dx fy En caso de que sea la función: f( x, y, z ) la derivada z respecto de las demás variables se la calcula: z fx z fy x fz y fz 5. DERIVADA EN UNA DIRECCIÓN DADA: sea una función z = f( x, y) y dada una dirección dada l = PP1, donde f( P) y z f f f( P1) son valores de la función en los puntos P y P1, entonces se verifica la formula. = cosα + sinα l x y 6. GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN: también denominada la velocidad del crecimiento máximo de la función en un punto dado, sea u = f( x, y, z) el gradiente de la función se la calcula de la siguiente manera: f f f u =,, f( x, y, z) =,, Nota: también nos ayuda a determinar el plano tangente y recta normal de una función y en un punto determinado. 7. DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL: sea F = ( f1, f, f) entonces la divergencia de la función vectorial será: F =,, ( f1, f, f) 8. ROTOR DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL: sea F = ( f1, f, f) entonces el rotor de la función vectorial será: F =,, ( f1, f, f) n jny_hc@hotmail.com 9

10 9. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS: sea z = f( x, y), entonces los máximos y mínimos relativos se calculan de la siguiente manera: o Derivar respecto de cada variable, igualar a cero y resolver el sistema de ecuaciones: fx ( x0, y0) fy fxx fxy o Calcular el Hessiano y tomar las siguientes consideraciones: = fyx fyy Si > 0 entonces existen extremos en. Si < 0 entonces existe punto de ensilladura en. Si entonces se debe efectuar otro análisis. Para determinar si es máximo o mínimo se evalúa en fxx : si fxx > 0 entonces es mínimo por otro lado si fxx < 0 entonces es máximo. 10. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE: sea z = f( x, y) la función a maximizar o minimizar, sujeta esta a una restricción G( x, y ), entonces se conformara la siguiente función: F( x, y, λ) = f( x, y) + λg( x, y) o Luego procedemos a derivar la función respecto de cada variable, luego se iguala a cero y por ultimo resolvemos el sistema de ecuaciones: Fx Fy Fz Fλ 11. NOTA TODOS LOS CONCEPTOS DE DERIVADAS EMPLEADOS EN CALCULO I SE CUMPLEN EN CALCULO II, como ser regla de la cadena, derivada de una suma, derivada de un producto, derivada de un cociente y derivadas de orden superior. jny_hc@hotmail.com 10