Universidad San Carlos de Guatemala Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Clave M de abril de 2015

Transcripción

1 Universidad San Carlos de Guatemala Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Clave-2-2-M de abril de 205 Curso: Matemática Intermedia 2. Semestre: Primer Semestre Código del Curso: 2. Tipo de examen: Segundo Examen Parcial. Fecha del Examen: 7 de marzo del 205. Nombre de la persona que resolvió el examen: José Ligorría T. Nombre de la persona que revisó el examen:

2 . Temario 2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA INTERMEDIA JORNADA MATUTINA 7 DE MARZO 205 TEMA (20 PUNTOS) SEGUNDO EXAMEN PARCIAL a. Para e xz + xy 0 halle las primeras derivadas parciales de z por derivación implícita. b. Para w x cosyz, x s 2, z s 2t hallar w s, w. TEMA 2 (20 PUNTOS) Suponga que V (x, y, z) volts es el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y, z) del espacio tridimensional y que V (x, y, z) x2 + y 2 + z. 2 a. Calcule la tasa de variación de V en el punto (2, 2, ) en la dirección del vector 2i j + 6k. b. Determine el valor de la máxima tasa de variación de V en (2, 2, ). c. Determine la dirección de la máxima tasa de variación de V en (2, 2, ). TEMA (20 PUNTOS) Para la superficie Z X 2 + Y 2 + en el punto P (2,, 8). a. Halle una ecuación del plano tangente. b. Halle las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta normal. TEMA 4 (20 PUNTOS) Un contenedor (en forma de un sólido rectangular) debe tener un volumen de 480 pies cúbicos. Construir la base costará $ 5 por pie cuadrado y construir los lados y la parte superior costará $ por pie cuadrado. Determine las dimensiones de este tamaño que minimicen el costo. TEMA 5 20 PUNTOS) La temperatura en un punto (X, Y ) es T (X, Y ), medida en grados Celsius. Un animalito se arrastra de tal modo que su posición después de t segundos está definida por X + t, Y 2+ t, donde X y Y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con T X (2, ) 4 y T Y (2, ) Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de segundos? 2

3 2. Solución Tema a. Para e xz + xy 0 halle las primeras derivadas parciales de z por derivación implícita. b. Para w x cosyz, x s 2, z s 2t hallar w s, w. a. Para proceder por el método de derivada implícita, necesitmos definir nuestra función F (x, y, z) e xz + xy 0 de tal manera que F (x, y, z) es matemáticamente igual a cero en lo que nosotros consideramos. Ya con nuestra función procedemos utilizando que: F x x F y F y F Así necesitamos encontrar F x,f y y F z. F x z e xz + y F y x F z x e xz Por lo que: x zexz + y xe xz y x xe xz e xz x zexz + y xe xz y x xe xz e xz b. Sabemos que: x(s, t) y(s, t) (s, t) + + s x(s, t) s y(s, t) s (s, t) s x(s, t) y(s, t) (s, t) + + x(s, t) y(s, t) (s, t) Así, calculamos todas las derivadas parciales para luego sustituir y encontrar lo que se pide. x(s, t) x(s, t) y(s, t) y(s, t) (s, t) (s, t) x(s, t) y(s, t) (s, t) s s s cos(yz) xz sen(yz) xy sen(yz) 2s 0 0 2t

4 Por lo tanto tenemos que: (cos(yz)) (2s) + ( xz sen(yz)) (0) + ( xy sen(yz)) () s 2s cos((s 2t)t 2 ) s 2 t 2 sen((s 2t)t 2 ) s (cos(yz)) (0) + ( xz sen(yz)) (2t) + ( xy sen(yz)) () [2ts 2 (s 2t) 2s 2 t 2 ] sen((s 2t)t 2 ) ts 2 [s 2t t] sen((s 2t)t 2 ) ts 2 [s t] sen((s 2t)t 2 ) s 2scos((s 2t)t 2 ) s 2 t 2 sen((s 2t)t 2 ts 2 [s t]sen((s 2t)t 2 ) 4

5 Tema 2 Suponga que V (x, y, z) volts es el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y, z) del espacio tridimensional y que V (x, y, z) x2 + y 2 + z. 2 a. Calcule la tasa de variación de V en el punto (2, 2, ) en la dirección del vector 2i j + 6k. b. Determine el valor de la máxima tasa de variación de V en (2, 2, ). c. Determine la dirección de la máxima tasa de variación de V en (2, 2, ). a. Para encontrar la derivada direccional de V en el punto y la dirección dicha, necesitamos encontrar el vector gradiente de V evaluado en ese punto y hacer el producto punto de este vector con el vector unitario en la dirección dicha. Es decir: D 2i j+6k V (2, 2, ) 2,, 6 V (2, 2, ) 2,, 6 Así: x V (x, y, z) 2, y x 2 + y 2 + z 2/2 2, z x 2 + y 2 + z 2/2 2 x 2 + y 2 + z 2/2 x, y, z x2 + y 2 + z 2/2 x2 + y 2 + z 2/2 x2 + y 2 + z 2/2 Por lo que: V (2, 2, ),, ( ) 2/ ( ) 2/2 Así: V (2, 2, ), ( ) Además, 2,, 6 2,, 6 2,, 6 Por lo tanto: ( ) , 7, 6 7 2,, 6 D 2i j+6k V (2, 2, ) V (2, 2, ) 2,, 6 ( ) + (6) (7) (7) 8 89 D 2i j+6k V (2, 2, ) 8 89 ( ) ( ) 2/2 9, 2 7, 7, 6 (2) 7 (7) + b. Empezamos calculando la magnitud del vector gradiente, que es la dirección que tiene máxima tasa de variación. Así: V (2, 2, ), ( ) 2 ( ) 2 ( ) Por lo tanto: 9 ( ),, /2 9/2 9 /2 5

6 , D V (2,2,) V (2, 2, ) V (2, 2, ),, 2 D V (2,2,) V (2, 2, ),, 9,,, D V (2,2,) V (2, 2, ) 9 c. Por lo dicho en el inciso anterior, la dirección de máxima tasa de variación de V en (2, 2, ) es,, 6

7 Tema Para la superficie Z X 2 + Y 2 + en el punto P (2,, 8). a. Halle una ecuación del plano tangente. b. Halle las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta normal. a. Para encontrar las ecuaciones del plano tangente necesitamos un punto en el plano y un vector normal a la superficie. Con este objetivo definimos la función f(x, Y, Z) X 2 + Y 2 + Z y observamos que entonces nuestra superficie corresponde a f (0). Además sabemos que el punto P (2,, 8) pertenece al plano y que el vector gradiente de f(x, Y, Z) evaluado en ese punto es perpendicular al plano. Por lo que procedemos a encontrar el vector gradiente de f(x, Y, Z). f(x, Y, Z) f(x, Y, Z) f(x, Y, Z) f(x, y, z),, 2X, 2Y, X Y Z Así, f(2,, 8) 2(2), 2(), 4, 2, Como ya tenemos nuestro vector y punto, entonces todo punto (x,y,z) sobre nuestro plano tangente cumple que: x, y, z 2,, 8 es un vector que vive en el plano y así es perpendicular al vector normal.por lo tanto: ( x, y, z 2,, 8 ) 4, 2, 0 4(x)+2(y ) (z 8) 0 4x+2y z 8+8 4x + 2y z 2 0 4x + 2y z 2 0 b. Ahora bien, como ya tenemos un punto de la recta y su vector dirección tenemos que nuestras ecuaciones paramétricas (con parámetro t) cumplen que: x(t), y(t), z(t) 2,, 8 + t f(2,, 8) x(t) 4t + 2 y(t) 2t + z(t) 08 t Así, las simétricas son (el despeje de t en las paramétricas): Para x(t) 2 x(t) 4t + 2 t 4 Para y(t) y(t) 2t + t 2 Para z(t) 08 t t 8 z(t) x(t) 4t + 2 y(t) 2t + z(t) 8 t x(t) 2 y(t) 8 z(t) 4 2 7

8 Tema 4 Un contenedor (en forma de un sólido rectangular) debe tener un volumen de 480 pies cúbicos. Construir la base costará $ 5 por pie cuadrado y construir los lados y la parte superior costará $ por pie cuadrado. Determine las dimensiones de este tamaño que minimicen el costo. Procederemos por el método de multiplicadores de Cauchy. Por lo que definimos lo siguiente: x y z El ancho del contenedor. El largo del contenedor, La altura del contenedor. Así queremos minimizar el costro del contenedor, el cual esta dado por la función f : R R tal que f(x, y, z) 5xy + (xy + 2xz + 2yz) y si tenemos la función g : R R tal que g(x, y, z) xyz 480, buscamos: Minimizar f(x, y, z) sujeto a (x, y, z) D : { (ξ, η, γ) R g(ξ, η, γ) 0 } Así, el teorema de Lagrange nos dice que si (x, y, z ) es un óptimo de f(x, y, z) en D entonces existe λ R, λ 0 tal que: f(x, y, z ) λ g(x, y, z ) Así, como: f(x, y, z) {8y + 6z, 8x + 6z, 6x + 6y} g(x, y, z) {yz, xz, xy} Entonces 8y + 6z, 8x + 6z, 6x + 6y λ y z, x z, x y De donde: (I) 8y + 6z λy z (II) 8x + 6z λx z (III) 6x + 6y λx y (IV ) x y z (V ) x (I) y (II) 6z (x y ) 0 (V I) y (II) z (III) 2x (4y z ) 0 Como x 0 y 0 z entonces, de (V ) y (V I) tenemos que: x y 4 y z Y sustituyendo en (IV ): (y )y ( 4 y ) (y ) 480 (y ) Así: x y y z 4 (2 45) 8 45 x 2 45 y 2 45 z

9 Tema 5 La temperatura en un punto (X, Y ) es T (X, Y ), medida en grados Celsius. Un animalito se arrastra de tal modo que su posición después de t segundos está definida por X + t, Y 2+ t, donde X y Y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con T X (2, ) 4 y T Y (2, ) Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de segundos? Queremos la razón de cambio de T (X, Y ) cuando X + t, Y 2 + t en el tiempo t, es decir necesitamos la siguiente razón de cambio: T (X, Y ) T (X, Y ) X(t) T (X, Y ) + Y (t) X(t) Y (t) Para luego evaluarla en t y tener la que deseamos. Así encontramos las derivadas parciales que necesitamos. X(t) 2 + t Y (t) Por lo tanto: T (X, Y ) t ( ) T (X, Y ) t 2 T (X, Y ) X(t) ( T (X, Y ) Y (t) + 4 X(t) t t Y (t) t t 2 + ) + ( ) 9