Análisis Matemático I (Ing. de Telecomunicación), Examen final, 26 de enero de 2010 RESPUESTAS A AMBOS MODELOS

Transcripción

1 Análisis Matemático I (Ing. de Telecomunicación), 29-1 Examen final, 26 de enero de 21 RESPUESTAS A AMBOS MODELOS Primera Parte Las preguntas 1 14 son de tipo test. Se pide elegir una única respuesta en cada problema y apuntarla en la tabla de la página anterior. Cada respuesta correcta vale puntos, incorrecta o doble: -1 punto, respuesta en blanco: puntos. TABLA DE RESPUESTAS: MODELO 1 Probl. P. 1 P. 2 P. 3 P. 4 P. P. 6 P. 7 P. 8 P. 9 P. 1 P. 11 P. 12 P. 13 P. 14 Resp. C D D A A D A B E A B E C A Preguntas: Modelo 1 1. El valor del ĺımite lím n ( n 2 + 4n + 1 n 2 + 1) es: (A) ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 1 ; (E) El valor de la integral x (2x 2 + 1) 2 dx es: (A) 27 2, (B) 1 12, (C) 27 4, (D) 13 6, (E) Para la función f(x) = x ln(x + 1), su polinomio P 2 (x) de Taylor de orden 2 es el siguiente: (A) 1 + x, (B) x + x 2, (C) 1 + x 2, (D) x 2, (E) x Dadas las series infinitas S = ( 1) n n n, σ = cos(πn + 1 n ) n 2, podemos afirmar que: (A) ambas convergen absolutamente, (B) ambas divergen, (C) ambas convergen condicionalmente, (D) S diverge y σ converge absolutamente, (E) S converge condicionalmente y σ absolutamente.

2 . Para la función { f(x) = x 2, si x < ln(x + 1), si x, sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta. Cuál de ellas? (A) f es continua en pero f () no existe, (B) no existe lím f(x), (C) existe lím f(x) pero f no es continua en, x x (D) f es continua en pero lím f(x) f(), (E) f () existe. x 2 n 6. La suma de la serie e n es: n= 2 (A) +, (B) e 2, (C) 2 2 e, (D) e e 2, (E) ninguna de los anteriores. 7. El valor del ĺımite lím x x 1 x x 1 es: (A) e, (B) 1, e (C) 1, (D) +, (E) Cuántas asíntotas (paralelas a los ejes) tiene la gráfica de la función y = 2x2 1 x 2 9? (A) una vertical y una horizontal, (B) dos verticales y una horizontal, (C) dos horizontales, (D) una vertical y ninguna horizontal, (E) dos verticales y ninguna horizontal. 9. La función f(x) = x 2 e x tiene como puntos de inflexión los siguientes: (A) 2 + 2, (B) 2 2, (C) 2, (D), (E) y En x = la función f(x) = x 2 1 e t2 dt tiene: (A) un mínimo, (B) un máximo, (C) un punto crítico donde no hay ni máximo ni mínimo, (D) un punto de inflexión, (E) ninguno de los anteriores. 11. La curva de nivel h = 8 de la función f(x, y) = x 2 + 4y 2 + es: (A) una circunferencia ; (B) una elipse ; (C) una parábola ; (D) una hipérbola ; (E) un punto.

3 12. Consideremos los ĺımites Cuál de ellos existe? L = lím (x,y) (,) x 2 + 3y 2, M = lím (x,y) (,) y2 cos x 2 + 3y 2. (A) ambos (finitos) ; (B) ambos, pero como + ; (C) sólo L ; (D) ninguno ; (E) sólo M. 13. Determinar el único punto crítico de la función f(x, y) = x 2 + y 2 + 3xy + 2x + y su caracter. (A) ( 4, 6 ), mínimo; (B) (4, 6 ), máximo; (C) (4, 6 ), punto silla; (D) ( 6, 4 ), mínimo; (E) (6, 4 ), punto silla. 14. El volumen del sólido generado al girar, en torno al eje x, la región acotada por la gráfica de la función y = x x desde x = hasta x = 2 es igual a: (A) 4π, (B) 2π, (C) π, (D) π 2, (E) 8π. TABLA DE RESPUESTAS - MODELO 2 Probl. P. 1 P. 2 P. 3 P. 4 P. P. 6 P. 7 P. 8 P. 9 P. 1 P. 11 P. 12 P. 13 P. 14 Resp. B A B E C B D B E C C A D E Preguntas: Modelo 2 1. Dadas las series infinitas S = ( 1) n n n, σ = cos(πn + 1 n ) n 2, podemos afirmar que: (A) ambas convergen condicionalmente, (B) ambas convergen absolutamente, (C) ambas divergen, (D) S converge condicionalmente y σ absolutamente, (E) S diverge y σ converge absolutamente. 2. El valor del ĺımite lím x x 1 x x 1 es: (A) e, (B) 1, e (C) 1, (D) 1, (E) +.

4 3. Para la función f(x) = x ln(x + 1), su polinomio P 2 (x) de Taylor de orden 2 es el siguiente: (A) 1 + x 2, (B) x 2, (C) 1 + x, (D) x2 2, (E) x + x2. 4. El valor del ĺımite lím n ( n 2 + 4n + 1 n 2 + 1) es: (A) + ; (B) ; (C) 1 ; (D) 1 2 ; (E) 2.. Para la función { f(x) = x 2, si x < ln(x + 1), si x, sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta. Cuál de ellas? (A) no existe lím f(x), (B) existe lím f(x) pero f no es continua en, x x (C) f es continua en pero f () no existe, (D) f es continua en pero lím f(x) f(), (E) f () existe. x 6. Cuántas asíntotas tiene la gráfica de la función y = 2x2 1 x 2 9? (A) una vertical y una horizontal, (B) dos verticales y una horizontal, (C) dos horizontales, (D) una vertical y ninguna horizontal, (E) dos verticales y ninguna horizontal. 7. El valor de la integral x (2x 2 + 1) 2 dx es: (A) 27 2, (B) 1 12, (C) 27 4, (D) 13 6, (E) n 8. La suma de la serie e n es: n= e (A) +, (B) e 2, (C) 2 2 e, (D) 2 e 2, (E) ninguna de los anteriores. 9. La función f(x) = x 2 e x tiene como puntos de inflexión los siguientes: (A) 2 2, (B) 2 + 2, (C), (D) 2, (E) y 2 2.

5 x 2 1. En x = la función f(x) = 1 e t2 dt tiene: (A) un máximo, (B) un punto crítico donde no hay ni máximo ni mínimo, (C) un mínimo, (D) un punto de inflexión, (E) ninguno de los anteriores. 11. Determinar el único punto crítico de la función f(x, y) = x 2 + y 2 + 3xy + 2x + y su caracter. (A) ( 4, 6 ), mínimo; (B) (4, 6 ), máximo; (C) (4, 6 ), punto silla; (D) ( 6, 4 ), punto silla; (E) (6, 4 ), máximo. 12. Consideremos los ĺımites Cuál de ellos existe? L = lím (x,y) (,) x 2 + 3y 2, M = lím (x,y) (,) y2 cos x 2 + 3y 2. (A) Sólo M ; (B) sólo L ; (C) ninguno ; (D) ambos (finitos) ; (E) ambos, pero como La curva de nivel h = 8 de la función f(x, y) = x 2 + 4y 2 + es: (A) una parábola ; (B) un punto ; (C) una circunferencia ; (D) una elipse ; (E) una hipérbola. 14. El volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje x, la región acotada por la gráfica de la función y = x x desde x = hasta x = 2 es igual a: (A) π, (B) 2π, (C) 8π, (D) π 2, (E) 4π.

6 Segunda Parte Los siguientes ejercicios son de desarrollo. Se pide presentar una solución razonada, indicando los detalles y el método utilizado. En los problemas donde hay que realizar algún cálculo, se pide simplificar la respuesta final. 1. Calcular la integral I = (En el Modelo 2, ésta fue la pregunta Número 16.) arc tg x dx, explicando el método utilizado y simplificando la respuesta. Solución. Integrando por partes: u = arc tg x, dv = dx, obtenemos du = dx 1 + x 2, v = x y luego I = x arc tg x 1 x dx 1 + x 2 = arc tg ln(1 + x2 ) 1 = π log Qué valores puede tomar el parámetro λ si un vector (en el plano) normal a la recta 2x λy = 3 es perpendicular al gradiente de la función f(x, y) = x 2 + 3λxy en el punto (1, )? (En el Modelo 2, ésta fue la pregunta Número 17.) Solución. La recta 2x λy = 3 es paralela a la recta 2x λy =, cuya ecuación también se puede escribir como (2, λ) (x, y) =, luego el vector ortogonal a ella (con el punto inicial en el origen) es (2, λ). El gradiente de f en (x, y) es f(x, y) = (2x + 3λy, 3λx); por tanto, f(1, ) = (2, 3λ). Para que los vectores (2, λ) y f(1, ) = (2, 3λ) sean ortogonales, su producto escalar ha de ser igual a cero: = (2, λ), (2, 3λ) = 4 3λ 2. De aquí deducimos que los valores admisibles de λ son 2/ 3 y 2/ Cambiar el orden de integración en I = 3 ( ) x/3 f(x, y)dy dx y esbozar el recinto de integración. (En el Modelo 2, ésta fue la pregunta Número 1.) Solución. Obviamente, I = f(x, y) dx dy, donde la región D viene dada por D D = {(x, y) R 2 : x 3, y x/3}. La región representa el triángulo con los vértices (, ), (3, ) y (3, 1) y, por tanto, puede escribirse también como D = {(x, y) R 2 : y 1, 3y x 3}. Por tanto, I = ( 3 3y ) f(x, y)dx dy. Preparado por Dragan Vukotić, Coordinador de la asignatura