Prueba de Funciones de varias variables. 5 de noviembre de 2012 GRUPO A

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Prueba de Funciones de varias variables. 5 de noviembre de 2012 GRUPO A"

Felisa Márquez Saavedra
hace 5 años
Vistas:

1 5 de noviembre de 1 GRUPO A xy5 si y x x y 1.- Consideremos f(xy)=. Se pide: 1 si y=x a) Existe el límite: lím f(xy)? xy 1 b) Es continua la función en (1)? c) Es diferenciable la función en (1)? ( puntos).- La ecuación z 3 x z y z - x z diferenciable en un entorno del punto P(1 -). Se pide: a) El gradiente de z en el punto P. b) El plano tangente en P. c) La derivada direccional en P en la dirección u cos sen. 3 3 (3 puntos) define una función f x y x uv 3.- Sea la función z f(xy) con derivadas parciales continuas y sean las y v u ecuaciones de un cambio de variable se pide demostrar que y comprobarlo u v para z (xy)sen(y x) ( puntos) 4.- Hallar si existen los valores máximo y mínimo locales en f xy (x y )e x ( puntos) R de la función: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 xy5 si y x x y 1.- Consideremos f(xy)=. Se pide: 1 si y=x a) Existe el límite: lím f(xy)? xy 1 b) Es continua la función en (1)? c) Es diferenciable la función en (1)? a) Límites reiterados: xy5 x1 1 1 límlímf (x y) límlím lím lím x1 y x1 y x y x1 x x1 xy5 y4 límlím f (x y) límlím lím lím y x1 y x1 x y y y y Luego no coinciden No existe. b) No puede ser continua ya que no existe el límite. c) No puede ser diferenciable ya que no es continua..- La ecuación z 3 x z y z - x z diferenciable en un entorno del punto P(1 -). Se pide: a) El gradiente de z en el punto P. b) El plano tangente en P. c) La derivada direccional en P en la dirección u cos sen. 3 3 define una función f x y a) F(x y z) = z 3 x z y z - x define implícitamente a la función z = f(xy). 3 3 z z z -1 z 1 z 1 El vector gradiente de f en el punto P es f P x y P F x z1 1 P x F 3z xy x F f P y z P y F 3z xy y 3 b) Ecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P: f f 1 1 z Pxx Pyy z1 x1 y x y 3 3 xy3z Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos

3 c) u 1 cos sen f P f P u u x uv 3.- Sea la función z f(xy) con derivadas parciales continuas y sean las y v u ecuaciones de un cambio de variable se pide demostrar que y comprobarlo u v para z (xy)sen(y x) x y u x u y u x u y x y v x v y v y x y por lo tanto u v v Para z ( x y) sen( y x) tenemos que: sen x pero x u v luego: y v u u x y u v x y x y y y x ( x y)cosy x seny x x y) cosy x sen u x y sen v x y En consecuencia y x ( x y) cosy x y x ( x y)cosy x. u v y v x y ( luego: 4.- Hallar si existen los valores máximo y mínimo locales en R de la función: x fxy (x y )e f x x (x y )e xe x x P1 f() y f. x x ye P f() 4e y Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 f x (4x x y )e H x f ye y x x f e y f f x y x (4x x y )e ye x x f f ye e y x y x x x Para P 1 H 4 f x Luego relativo en P 1. P 1 H P. Por tanto f tiene un mínimo y 1 Para P e 4 H 4e Luego e silla H P. Por tanto f tiene un punto de Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 4

5 5 de noviembre de 1 GRUPO B 1.- Dada la función x y x y k f (x y) si (x y) si (x y) () se pide: () a) Límites radiales en ( ) b) Límites reiterados en ( ) c) Existe límite en ( )? d) Existe algún valor de k para el cual la función sea continua en todo ( puntos) R?.- Dada F (xy z ) = x + y + z + xy + z 1= se pide: a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función z=f(xy) en el punto (-1) b) Hallar en (-1) el valor de dz cuando dx = dy =.. c) Hallar el plano tangente a la superficie F(xyz) en el punto (-1 ) (3 puntos) 3.- Sea la función z = sen (x + 3y). Se efectúa el cambio de variables: Hallar u y v en u v ( puntos) x uv y v u 4.- Hallar si existen los valores máximo y mínimo locales en 3 3 fxy x y xy ( puntos) R de la función: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 1.- Dada la función x y si (x y) () f (x y) x y se pide: k si (x y) () a) Límites radiales en ( ) b) Límites reiterados en ( ) c) Existe límite en ( )? d) Existe algún valor de k para el cual la función sea continua en todo R? Solución a) lím 3 xm xm lím x m x 1m x x ymx b) lím lím lím lím lím lím x y x x y y x xy x y y x y f r cos rsen r cos rsen r c) r cos rsen r g(r) con lím g r luego el límite existe y vale. d) f es continua en (x y) para cualquier valor de k por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador. Para k = también es continua en ( ) pues será: lím f (xy) k f(). ( xy) () r.- Dada F (xy z ) = x + y + z + xy + z 1= se pide: a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función z=f(xy) en el punto (-1) b) Hallar en (-1) el valor de dz cuando dx = dy =.. c) Hallar el plano tangente a la superficie F(xyz) en el punto (-1 ) a) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implícitamente la función F(xy z)= : Respecto a x: x y en el punto (-1) es 1 x x x x 1 1 x Respecto a y: y x en el punto (-1) es 1 y y y y y Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 b) Para calcular la diferencial: z z 1 dz = dx + dy = = x y 3 1 c) La ecuación del plano tangente en ( -1 ) es z x ( y 1) 1 = + + x + y z + = 3.- Sea la función z = sen (x + 3y). Se efectúa el cambio de variables: Hallar z u y z v en u = π v = x = u v y = v u Aplicando la regla de la cadena las derivadas parciales de z respecto de u y v son respectivamente: z' u = z' x x' u +z' y y' u ; z' v = z' x x' v +z' y y' v Por otro lado: z' x = cos(x + 3y) ; z' y = 3cos(x + 3y) Además: x' u = x' v = -1 y' u = 1 y' v = Particularizando π u = x = π v = π y = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 z' x = cos( π ) = z y = 3cos( π ) = Sustituyendo arriba se obtiene: z' u = z' v = 4.- Hallar si existen los valores máximo y mínimo locales en R de la función: 3 3 f( xy) = x + y xy f = 3x y = x x = y= P1 = ( ) f() = f. x= /3 y= /3 = 3y x = P = ( /3/3) f(/3/3) = 8/7 y f x = 6x f = y x f y = 6y H f f x y x = = f f y x y 6x 6y Para P 1 ( ) H = = 4< Luego H( P1 ) <. Por tanto f tiene un punto de silla en P 1 Para P 4 H = = 1 > f P > x relativo en P. Luego ( ) y HP ( ) >. Por tanto f tiene un mínimo Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. Asignatura: Métodos Matemáticos 8

Documentos relacionados

ANÁLISIS II Computación. Práctica 4. x 3. x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0)

ANÁLISIS II Computación. Práctica 4. x 3. x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) facultad de ciencias exactas y naturales uba primer cuatrimestre 2007 ANÁLISIS II Computación Práctica 4 Derivadas parciales 1. Calcular a) f y (2, 1) para f(x, y) = xy + x y b) f z (1, 1, 1) para f(x,