La Diferencial. La Diferencial. Verónica Briceño V. Octubre 2013
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- David Montes Villalba
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1 Octubre 2013
2 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a
3 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a
4 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que:
5 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) f (x) f (a) x a
6 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a
7 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición
8 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición
9 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición Sea P = (a, f (a)). La recta tangente a la gráfica de f en el punto P, está dado por:
10 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición Sea P = (a, f (a)). La recta tangente a la gráfica de f en el punto P, está dado por: p(x) = f (a) + f (a)(x a) Se llama LINEALIZACIÓN de f en a.
11 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición Sea P = (a, f (a)). La recta tangente a la gráfica de f en el punto P, está dado por: p(x) = f (a) + f (a)(x a) Se llama LINEALIZACIÓN de f en a. Representa una aproximación de f cerca de a.
12 Linealización Recordar... f (a) = lím x a f (x) f (a) x a Notar que: Si x está cerca de a, se tiene: f (a) Entonces, f (x) f (a) + f (a)(x a) f (x) f (a) x a Definición Sea P = (a, f (a)). La recta tangente a la gráfica de f en el punto P, está dado por: p(x) = f (a) + f (a)(x a) Se llama LINEALIZACIÓN de f en a. Representa una aproximación de f cerca de a. p es un polinomio de grado 1.
13 Geométricamente...
14 Linealización Considerar un pequeño incremento: x. Entonces:
15 Linealización Considerar un pequeño incremento: x. Entonces: p(a + x) = f (a) + f (a)(a + x a) = f (a) + f (a) x
16 Linealización Considerar un pequeño incremento: x. Entonces: p(a + x) = f (a) + f (a)(a + x a) = f (a) + f (a) x Se define: f := f (a + x) f (a)
17 Linealización Considerar un pequeño incremento: x. Entonces: p(a + x) = f (a) + f (a)(a + x a) = f (a) + f (a) x Se define: f := f (a + x) f (a) Por tanto, f (a + x) = f (a) + f Ejemplo: Calcular f (a + x) y p(a + x) cuando f (x) = x 3, a = 1, x = 0, 1
18 Observación Notar que:
19 Observación Notar que: f (a + x) aproxima (se parece al valor de) a p(a + x) si y solo si f y f (a) x son parecidas. Esto nos da la idea de definir...
20 Diferencial Definición
21 Diferencial Definición Se llama DIFERENCIAL de f a la parte principal de su incremento lineal respecto al incremento x = dx de la variable independiente x.
22 Diferencial Definición Se llama DIFERENCIAL de f a la parte principal de su incremento lineal respecto al incremento x = dx de la variable independiente x. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.
23 Diferencial Definición Se llama DIFERENCIAL de f a la parte principal de su incremento lineal respecto al incremento x = dx de la variable independiente x. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. dy = y dx
24 Diferencial Definición Se llama DIFERENCIAL de f a la parte principal de su incremento lineal respecto al incremento x = dx de la variable independiente x. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. dy = y dx Esto implica: y = dy dx
25 Diferencial Definición Se llama DIFERENCIAL de f a la parte principal de su incremento lineal respecto al incremento x = dx de la variable independiente x. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. dy = y dx Esto implica: y = dy dx
26 Geometricamente...
27 Observación Notar que: dy = df Es común escribir x en vez de a. Por eso escribimos: df = f (x) x
28 Ejemplo: 1 Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3x 2 x.
29 Ejemplo: 1 Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3x 2 x. 2 Calcular, en el ejemplo anterior, para a = 1, x = 0, 01
30 Ejemplo: 1 Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3x 2 x. 2 Calcular, en el ejemplo anterior, para a = 1, x = 0, 01 3 En cuánto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta de 9 m 2 a 9,1 m 2?
31 Ejemplo: 1 Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 3x 2 x. 2 Calcular, en el ejemplo anterior, para a = 1, x = 0, 01 3 En cuánto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta de 9 m 2 a 9,1 m 2? 4 Hallar el valor aproximado de sen 31 o.
32 Ejercicios: 1 Hallar el incremento y la diferencial de la función y = 5x + x 2 para a = 2, x = 0, Encontrar la linealización de f (x) = tg x en x = π 4 3 Aproximar el valor de Demostrar que cualquiera que sea x el incremento de la función y = 2 x es equivalente a 2 x x ln 2
33 Error Definición En general, si se puede precisar que al aproximar una cantidad Q se tiene un error E, podemos calcular el ERROR RELATIVO, como: E Q
34 Error Definición En general, si se puede precisar que al aproximar una cantidad Q se tiene un error E, podemos calcular el ERROR RELATIVO, como: E Q
35 Error Definición En general, si se puede precisar que al aproximar una cantidad Q se tiene un error E, podemos calcular el ERROR RELATIVO, como: E Q Este error es generalmente expresado en forma de porcentaje y mide que tan grande es el error comparado con la cantidad que se esta midiendo.
36 Error Definición En general, si se puede precisar que al aproximar una cantidad Q se tiene un error E, podemos calcular el ERROR RELATIVO, como: E Q Este error es generalmente expresado en forma de porcentaje y mide que tan grande es el error comparado con la cantidad que se esta midiendo.
37 Ejercicios: 1 El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1 por ciento. Qué porcentaje de error se obtiene al estimar el volumen de un cubo?
38 Ejercicios: 1 El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1 por ciento. Qué porcentaje de error se obtiene al estimar el volumen de un cubo? 2 Demostrar que un error relativo de un 1 % cometido al determinar el radio da lugar a un error relativo aproximado de un 2 % al calcular el área de la circunferencia y la superficie de la esfera.
39 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg
40 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf
41 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg)
42 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2
43 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2 5 d(f g) = f (g)dg
44 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2 5 d(f g) = f (g)dg 6 d(c) = 0, donde c es una constante.
45 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2 5 d(f g) = f (g)dg 6 d(c) = 0, donde c es una constante.
46 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2 5 d(f g) = f (g)dg 6 d(c) = 0, donde c es una constante. Onservación:
47 Teorema Sean f y g funciones diferenciables. Entonces: 1 d(f + g) = df + dg 2 d(αf ) = αdf 3 d(f g) = (df )g + f (dg) 4 d( f (df )g f (dg) g ) = g 2 5 d(f g) = f (g)dg 6 d(c) = 0, donde c es una constante. Onservación: Resultan muy útiles estas propiedades cuando buscamos la diferencial de una función definida implicitamente.
48 Ejercicios: Hallar dy si: 1 x 2 + 2xy y 2 = a 2, donde a R 2 y = e x y 3 ln( x 2 + y 2 ) = arc tg( y x ) 4 (x + y) 2 (2y + x) 3 = 1
49 Ejercicios Propuestos: 1 Demostrar basándose en la fórmula de la ley de Ohm I = E R que una pequeña variación de la intensidad de la corriente, debida a una pequeña resistencia, puede hallarse de forma aproximada por la fórmula: I = I R R 2 Usar diferenciales para aproximar 99, 4. 3 El beneficio de una empresa, está dada por: B(x) = (500x x 2 ) ( 1 2 x 2 77x + 300) donde x: cantidad de unidades vendidas. Aproximar el cambio y el porcentaje de cambio de los beneficios si la empresa pasa de producir 115 a 120 unidades. 4 Un ingeniero se encuentra al nivel de la base de un edificio, a una distancia de 30 metros de éste, mide el ángulo de elevación a la parte superior del edificio y éste es de 75 grados. Cuál es el máximo error con que se debe medir el ángulo para que el porcentaje de error en la estimación de la altura del edificio sea menor del 4 %?
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