SOLUCIONES Límites y continuidad de funciones de varias variables 06-07

Transcripción

1 SOLUCIONES Límites continuidad de funciones de varias variables 6-7 Determinar las guientes funciones son acotadas: a z sen ( + ) cos( - e ), sen ( + ) cos( - e ), luego, es acotada: b z sen + sen Es acotada, por serlo los dos sumandos: sen, sen ± + c z + e No es acotada pues, por ejemplo, a lo largo del eje o ( ): e Hallar el dominio la imagen o recorrido de las funciones: a f(, ) ln( 6) 6 < Dominio: -6 > 6 > < >

2 Imagen: R (al acercarse el punto (, ) a la hipérbola 6, f tiende a ; cuando e crecen, f tiende a ) b g(,) 9 9 Si Si Dominio: >, 3 3 <, 3 3 Recorrido: R ± m g (, ) ± c h(,) arc cos Dominio: Si - Si Recorrido: [, π ] >, <,

3 d p(,) + Dominio: R {(,) } Recorrido: R ± p (, ) ± 3 Hallar las curvas de nivel de las funciones: a z c Son hipérbolas En el dibujo: vector ( c, c,, ) b z sen() π π sen() c [, ] d + kπ, d arc sen c -, Son hipérbolas En el dibujo: vector (n() c, c, -,, 5)

4 c z + + c Son circunferencias centradas en el origen En el dibujo: vector ( + c, c,, 5) 4 Calcular los guientes ites: 5 a (, ) (, ) + 5 ( + )( ) b? ( ) ( ),, +,, + (,) (, ) c? (, ) (, ) + a lo largo de la recta : + () a lo largo de la recta -: () + Luego, no eiste el ite, pues de eistir, sería único () + () d (, ) (, ) a lo largo de la recta : 4 a lo largo de la recta :? 3 ( )( + + ) 3 Luego, no eiste el ite, pues de eistir, sería único no coinciden los ites radiales e e? indeterminación (, ) (, ) sen ln(+ ) e sen ln(+ ) infinitémos guientes en : (,) (,) (,) (,) (,) (,) e, utilizando las equivalencias de, sen, ln(+ )

5 + f? (,) (, ) + Límites reiterados: f (, ) ( ) Luego, No eiste, ( f (, ) ) De hecho los radiales tampoco coinciden (valen m ) m + 5 Estudiar la continuidad en (, ) de las guientes funciones: a f (, ) + (, ) (,) (, ) (,) f no es continua en (, ) a que no eiste f (, ) lim pues es fácil comprobar,, que los ites radiales dependen de m (pendiente de la recta por la que nos acerquemos al origen) b h(, ) g + (, ) (, ) (,) (, ) (,), endo g(, ) una función continua en (,) tal que g (, ) Nota: Utilizar que ( + ) Como f (, ) α z, h(, ) es el producto de una función acotada por una función que tiende a cero, luego lim h (, ) h(,),, continua en (, ) La acotación de arriba se obtiene haciendo:, luego, h es ( α) z ( ) z senα z cosα z senα cosα z sen + + c j(, ) ( ) (, ) (,) + (, ) (,)

6 Es un caso particular del apartado anterior para g(, ) continua en (, ) Luego, j es sen 6 Dada la función f(,) k sen + a Hallar, eiste, f (, ),, (, ) (, ) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) sen sen f (, ) + +? Se pide: Es fácil comprobar que los ites reiterados los radiales son nulos Pasando a polares en este último ite, se obtiene: f r ( r cosα,rsenα) r ( r cosα) ( rsenα) [ r cos αsenα] g() r h( r, α) r r r [ ] endo, g () r r h( r, α) cos αsenα h ( r,α) es una función acotada) Luego f (, ) (,) (, ) que verifican que g() r r que b Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k Si k, f es continua en todo el plano (en el origen por el apartado anterior en cualquier otro punto por ser cociente de funciones continuas no anularse el denominador) Si R, por el mismo motivo k, f es continua en {( )} + sen + 7 Dada la función z Se pide: + a Dominio de la función Dom R {(, ) / R}, a que en no está definido ; además, el denominador + no se anula para ningún (, ) salvo para (, ) b Límites reiterados en el punto (,) f (, ) f (, ), ( ) ( No ) No eiste c A la vista del resultado anterior eiste el ite de f en (,)? En caso afirmativo calcularlo

7 No podemos saber eiste ite o no en (, ) Sólo sabemos que de eistir, vale (, ) r sen α + rsenαsen + r cos α r cosα f ( r cosα) + ( rsenα) 3 3 r sen α + r sen αsen r r cos + r α cos α r 3 sen α + rsen αsen + cos r cosα α sen 3 rsen αsen r α+ cos α r cos sen R α Luego f (, ) (,) (, ) d Es continua la función en (,)? f es discontinua en (, ) pues (, ) Dom f e Definir f(,) para que f sea continua en dicho punto Tendría que ser f (,) (,) (,) f (, ) g(r), con limg(r) r 8 Para las guientes funciones, probar que el valor de f (, ) camino elegido para acercarse a (,):,, depende del 4 a f(, ) 4 + ( ) Los ites radiales son todos nulos (comprobarlo) 4 4 Límite a lo largo de la parábola : b f(, ) 6 + Los ites radiales son todos nulos (comprobarlo) 3 Límite a lo largo de la curva : + Eisten dichos ites? No, a que de eistir, los ites a lo largo de todos los caminos deberían coincidir