2. Funciones reales de una variable real Límites DEFINICIONES Y PROPIEDADES

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1 .. Límites..1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Límite de una función en un punto Sea y = f() definida en un entorno del punto a R (aunque no, necesariamente, en el punto). Se dice que f tiene límite l en el punto a si f() tiende a l cuando tiende a a, y se indica: f() l ó f() = l La eistencia de límite y su valor son independientes de que la función esté definida en el punto y de su valor en dicho punto. Límites laterales Se dice que l es el límite por la izquierda de f en el punto a si f() tiende a l cuando tiende a a por su izquierda (con valores menores que a). Se dice que l + es el límite por la derecha de f en el punto a si f() tiende a l + cuando tiende a a por su derecha (con valores mayores que a). Obviamente, eiste el límite de una función en un punto si y sólo si eisten los límites laterales y coinciden. Cuando la función sólo está definida a uno de los lados del punto, se define el límite como el límite lateral correspondiente. Límites infinitos Se dice que f tiene límite + en el punto a si f() se hace mayor que cualquier número positivo cuando tiende a a. Se dice que f tiene límite en el punto a si f() se hace menor que cualquier número negativo cuando tiende a a. Límites en el infinito: Son los límites anteriores cuando tiende a + o cuando tiende a. Propiedades de los límites Si f y g son dos funciones definidas en un entorno de a (que puede ser un número real, + o ), entonces: (f() ± g()) = f() ± g() (f() g()) = f() g() kf() = k f() f() g() = f() g() siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones: ( ) (f())g() = f() g() No son indeterminaciones, siendo su valor el indicado en cada caso, las siguientes: l + = l = ±, si l 0 + = = l = 0 l 0 = ±, si l 0 l = 0, si 0 l < 1 = ± 0 = 0 l =, si l > 1 l 1. Calcula, intuitivamente, los siguientes límites: (a) ( 1); (b) 4 (c) Calcula, intuitivamente, los siguientes límites: (a) ; (b). 3. Calcula, intuitivamente, los siguientes límites: (a) + 1 ; (b) ( + 1).

2 .. Límites... CÁLCULO ELEMENTAL DE LÍMITES Límites elementales 1. Si P () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 es un polinomio de grado n 1, entonces: P () = P (a) y P () = a n n = ± ± ± donde a n n es el sumando de mayor grado del polinomio, que se llama término director.. El límite de una función racional es: P () Q() = P (a) Q(a) P () ± Q() =, si Q(a) 0 a n n a 1 + a 0 ± b m m = b 1 + b 0 ± a n n b m m = 0, si n < m a n /b m, si n = m ±, si n > m 3. El límite de una función eponencial es: c a = a c +, si a > 1 a = 0, si 0 < a < 1 4. El límite de una función logarítmica es: a = 0, si a > 1 +, si 0 < a < 1 log c a = log a c, si c > 0 log +, si a > 1 a =, si 0 < a < 1 log a =, si a > 1 +, si 0 < a < 1 5. Límites de la forma 1 y el número e: ± ( ) = e y como se justificará más adelante: 1. Calcula los siguientes límites: (a) ( ) α() = e, si α() α() ± f()g() = ( 1 ± ) = e λ donde λ = g()[f() 1] (e) + 1 (b) 1 ( ) (f) + 1 (c) 3 3 (d). Calcula los límites: (a) e 1/ ( ) ( 1 + 1) (h) cosh (i) (j) (g) sinh (k) (b) e 1/ recurriendo, si es necesario, a los límites laterales correspondientes. tanh ( 1 1 ( 3 + (l) 1 (c) (1 + ) 1/ ) ( ) ) 1 1

3 .. Límites..3. REGLA DE SANDWICH Tres teoremas sobre límites Unicidad: Si eiste el límite de una función en un punto (finito o infinito), su valor es único. Regla del sandwich: f() g() h() en un entorno de a f() = h() = l = g() = l Teorema: f acotada en un entorno de a g() = 0 = f()g() = 0 Límites de funciones trigonométricas sin = sin a cos = cos a tan = tan a no eiste si a π + kπ si a = π + kπ sin sin α() = 1 y, en general: = 1, si α() 0 α() 1. Calcula los siguientes límites: (a) sin (b) tan (c) 1 cos (d) 1 cos. Estudia la eistencia y calcula el valor, si eiste, de los siguientes límites: (a) cos 1 (b) cos 1 (c) p cos 1, p > 0

4 .. Límites..4. INFINITÉSIMOS E INFINITOS Infinitésimos: Se dice que una función f es un infinitésimo en = a si f() = 0. Dos infinitésimos, f y g, en un mismo punto se dicen comparables cuando eiste el límite de su cociente, y entonces si: f() g() = ( ) 0 = 0 0, se dice que f es un infinitésimo de orden mayor que g en = a l 0, se dice que f y g son infinitésimos del mismo orden en = a ±, se dice que f es un infinitésimo de orden menor que g en = a f() Infinitésimos equivalentes: f y g son infinitésimos equivalentes en = a g() = Tabla de infinitésimos equivalentes sin arcsin sin α() α() arcsin α() tan arctan tan α() α() arctan α() 1 cos ln(1 + ) en = 0 1 cos α() α() ln(1 + α()) α() ln 1 en = 1 ln α() α() 1 cuando α() 1 cuando α() 0 ( ) 0 = 1 0 Hallando límites, en productos y cocientes se pueden sustituir infinitésimos por otros equivalentes. Infinitos Una función f es un infinito en = a si f() = +, lo que equivale a que 1/f es un infinitésimo en = a. Los polinomios y las funciones eponenciales y logarítmicas, de base mayor que uno, son infinitos en +. Al compararlos, se obtiene: a P () = a log b = 1. Calcula, usando infinitésimos equivalentes, los siguientes límites: (a) 1 n 1 m 1 (b) (cos ) 1 sin tan sin (c) 3 α 1 (d) 1 arcsin( 1) P () = + para cualesquiera a, b > 1 log b ( ) (e) sin 1 1 cos (f) ( + 3 ) ln (1 + 1 ) 3. Demuestra que f() = / y g() = son infinitésimos equivalentes cuando 0.

5 .. Límites..5. ASÍNTOTAS Asíntotas Se llama asíntota de una función a cualquier recta a la que se acerca indefinidamente su gráfica en el infinito. Las asíntotas, como las rectas, pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. La recta = a es asíntota vertical de la función f si alguno de sus límites laterales en = a es + o, es decir, si: f() = ± o f() = ± + La recta y = l es asíntota horizontal de la función f si alguno de sus límites en el infinito es l, es decir, si: f() = l o f() = l La recta y = m + n, m 0, es asíntota oblicua de la función f si: [f() (m + n)] = 0 o [f() (m + n)] = 0 Obviamente, una función no puede tener en un mismo lado (+ o ) asíntota horizontal y oblicua. Por tanto, sólo se buscan asíntotas oblicuas cuando no las hay horizontales. Para hallar la asíntota oblicua y = m + n en + se procede como sigue: m = f() = n = [f() m] siendo necesario, para que eista, que m, n R y m 0. Análogamente se procede en. 1. Qué condiciones se deben verificar para que una función racional tenga asíntotas horizontales u oblicuas? Cuáles son las asíntotas?. Encuentra las asíntotas de las siguientes funciones: (a) f() = ln( ) (b) f() = (c) f() = 3 + ( 1) (d) f() = e 1/

6 .. Límites EJERCICIOS 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El límite de una función en un punto es siempre el valor de la función en el punto. (b) Si una función no esta definida en un punto no puede eistir el límite en dicho punto. (c) El límite de una función en un punto eiste siempre que eistan los límites laterales. (d) Si no eisten los límites de f y g en un punto, no puede eistir el límite de f + g en dicho punto. (e) Una función con asíntota horizontal no puede tener asíntota oblicua. (f) Una función no puede tener dos asíntotas horizontales.. Pon un ejemplo de una función acotada sin límite ni límites laterales en un punto. 3. Justifica, mediante ejemplos adecuados, que 0 es una indeterminación. 4. Si f() = + 1, encuentra una epresión para g() de tal manera que, cuando +, f()/g() tenga límite: (a) 3; (b) 0; (c) + ; (d) carezca de límite. 5. Halla el límite de f() cuando 1 en cada caso: (a) 1 f() 5 3 = 1; (b) 1 f() ( 1) = Halla los límites laterales, y el límite si eiste, de las siguientes funciones en los puntos que se indican: (a) y = (1 + ), a = 0 ; (b) y = e 1, a = ; (c) y = sinh 1, a = 0 ; (d) y = e1/ 1 + e 1/, a = 0 7. Halla los siguientes límites: sin 3 (a) sin (b) (c) tan 3 4 (d) 1 sec tan 3 (e) + 5 sin (f) π π sin( ) (g) sin( + ) (h) 8. Halla los siguientes límites: (a) sin 1 (b) π ( π) cos 1 π 1 (c) 1 sin 1 ( 1) 9. Halla los siguientes límites: (a) ( ) 1 ( ) ( (b) (c) 1 1 (d) + 1 ) 10. Halla los límites en + y en de las funciones y = cosh e y = tanh. 11. Halla los siguientes límites: ( ) (a) sin 1 (b) sin sin 1 (c) sin (d) cos (e) sin Halla los siguientes límites: (a) ; (b) +sin ; (c) Halla todas las asíntotas de: (a) y = 3 +1 ; (b) y = ln ( ) ; (c) y + y + 1 = El costo de una llamada telefónica entre dos ciudades es de 0,5 e por establecer la coneión más 0,5 e por cada minuto o fracción.

7 (a) Encuentra la función que da el coste de una llamada de t minutos, y represéntala gráficamente. (b) Cuál es el importe de una llamada que dura alrededor de 5 minutos? 15. El coste, en millones de euros, que supone confiscar el % de cierta droga viene dado por la función C() = , 0 < 100. (a) Cuál es el coste de coste de confiscar el 5%, el 50% y el 75% de la droga? (b) Cuál es el límite de la función C() cuando 100? Interpreta el resultado. 16. La ecuación de Einstein afirma que la masa m de un cuerpo es función de su velocidad v por la fórmula m(v) = m 0 1 v /c donde m 0 es la masa del cuerpo en reposo y c = km/s es la velocidad de la luz. (a) Halla el dominio natural de esta función. (b) Halla su límite cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz, e interpreta el resultado obtenido. 17. El precio por kilo de un determinado producto viene dado, en función del número de kilos que se venden, por la función: a + 0, si 10 p() = , si > (a) Halla el valor de a para que no eista una cantidad crítica de compra (donde el precio del kilo sufra un salto brusco). (b) Halla el límite de la función cuando + e interpreta el resultado. 18. La fabricación de un determinado producto requiere de una inversión inicial de 1000 e y de un coste de 1 e por litro. En el proceso de puesta en marcha se desechan los 100 primeros litros fabricados. (a) Obtén las funciones de coste total y por litro útil después de fabricar litros. (b) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricación puesta a la venta (después de los 100 litros desechados) es prácticamente nula. (c) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricación es muy grande. (d) Cuántos litros hay que fabricar para que el coste del litro sea inferior a e? E inferior a 1,01 e? (e) El coste de fabricación por litro puede ser, en algún momento, inferior a 1 e? 19. Una población de bacterias en un ambiente de recursos itados crece según la función P (t) = e t. Estudia su evolución a largo plazo.