LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1º Bto. Sociales. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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Pilar Casado Carrasco
hace 6 años
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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD º Bto. Sociales. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Sea f() =. Vamos a darle valores a cercanos a y vamos a ver cómo se comporta f() f() Cuando (por la izquierda) se cumple que f() f() Cuando (por la derecha) se cumple que f() 5. Por lo tanto cuando se cumple que f() CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Una función f() tiene por límite L en el punto, si a medida que se acerca a, se verifica que las imágenes se aproiman a L. Se epresa: lim f () = L Si los valores que tomamos cercanos a son menores que estamos calculando el límite lateral por la izquierda y se representa: lim f () = L Si los valores que tomamos cercanos a son mayores que estamos calculando el límite lateral por la derecha y se representa: lim f () = L LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f() f() lim = lim = lim =

2 LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN f() f()..... f().... f() lim = lim lim = lim lim = lim = = LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO f().... lim = PROPIEDADES DE LOS LÍMITES - Si una función tiene límite en un punto, éste es único. - Si una función tiene límites laterales distintos en un punto, entonces no tiene límite en ese punto. - Si f y g tienen límites en y k es un número se verifica que: ( ) = lim f g () lim f lim g ( ) = lim f g () lim f lim g f lim f lim () = g lim g si lim g lim k f () = k lim f ( ) ( o ) = lim f g () f lim g lim f () g = ( lim f ) lim g

3 CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES 6 lim = 4 5 f = 4 Si eiste la imagen de la función no definida a trozos en el punto en el que queremos calcular el límite, dicho límite será igual a la imagen por la función en el punto. lim = 5 lim = lim = 5 lim = 4 5 CÁLCULO DE LÍMITES EN EL DE FUNCIONES lim 5 Tabla de ayuda para realizar límites en el infinito ( k > ): = = ± k = ± k = k k ( k) ( k) = = = = = = = = ± k = ± k = k > k = k < k = k = = = CÁLCULO DE LÍMITES EN EL DE FUNCIONES lim 5 = 5 lim = lim = lim = lim = lim = 5 lim = lim = Si se sustituye aparece una epresión sin sentido del tipo Cuando al sustituir en una función para calcular el límite, el resultado no es un número real, surgen las epresiones indeterminadas o indeterminaciones. k Las indeterminaciones son,,,,,, y

4 k Indeterminación del tipo Indeterminación del tipo Se hacen los límites laterales Por lo tanto lim lim = lim = Se simplifica: lim = lim = lim = Cuidado!!! lim = = lim = lim = Indeterminación del tipo lim = lim = lim = = lim = Indeterminación del tipo lim lim lim = = = = lim =

5 Indeterminación del tipo lim = lim = lim = = lim = Indeterminación del tipo lim lim lim = = = = lim = Indeterminación del tipo. REGLA lim = lim = lim = Grado mayor Denominador = Grado mayor Numerador = ± Grado igual = Cociente coeficientes mayor grado Indeterminación del tipo lim = lim = lim = = lim =

6 Asíntota vertical. ASÍNTOTAS Una función tiene una asíntota vertical en = a si: lim f () = ± a Ejemplo. Hallar las asíntotas verticales de la función f () = = lim = lim = NO A.V. ( ) = lim = = { } = lim A.V. en = lim = Dom f, ASÍNTOTAS Asíntota horizontal. Una función tiene una asíntota horizontal y = b si se cumple: lim f () = b ± Ejemplo. Hallar las asíntotas horizontales de la función f () = lim = A.H. y = en lim = A.H. y = en y = es A.H. por los dos lados. ASÍNTOTAS Asíntota oblicua. Una función tiene una asíntota oblicua y = m n si se cumple: f () lim = m n = lim ( f () m) ± ± Ejemplo. Hallar las asíntotas oblicuas de la función f () = m = lim = lim = lim = ± ± ± ( ) n = lim lim lim = = = ± ± ± y = es A.O. por los dos lados ASÍNTOTAS Hallar las asíntotas de la función f () = A.V. lim = = lim A.V. en = lim = = lim = = lim A.V. en = A.H. lim = lim A.H. y en = = y = es A.H. por los dos lados lim = A.H. y = en A.O. No tiene por tener horizontal por los dos lados.

7 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Una función f() es continua en = a si cumple que: a f ( a) lim f = CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Tipos de discontinuidades: Se tiene que cumplir que: a º ) f ( a) º ) lim f a = º ) lim f f a Si no se cumple alguna de las condiciones se dice que f es discontinua en = a. Evitable. De salto finito De salto infinito CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Tipos de discontinuidades: Evitable. lim f a f ( a) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Tipos de discontinuidades: De salto finito lim f lim f a a Ejemplo: f () = en = lim = lim = lim = ( )( ) ( ) lim f f () f es discontinua evitable en =. si < Ejemplo: f () = en = si lim f = lim = lim f lim f = lim ( ) = lim f f es discontinua de salto finito en = y el salto es igual a.

8 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Tipos de discontinuidades: De salto infinito Ejemplo: lim f = ± o lim f = ± a a f () = en = lim Por lo tanto lim = lim = f es discontinua de salto infinito en =. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Estudia la continuidad de: f () = = lim Dom( f ) = R {,} = f es discontinua de salto infinito en =. lim = = lim = lim = lim = ( )( ) ( ) f () f es continua en R {,} f es discontinua evitable en =. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Una función se dice que es continua en un intervalo de los números reales si es continua en cada punto del intervalo. f () = f es continua en R {,} f() es continua en el intervalo [, ] porque es continua en todos los punto de dicho intervalo. f() no es continua en el intervalo [, ] por no ser continua en el punto = que pertenece a dicho intervalo.

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