Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
|
|
- Asunción Franco Pérez
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
2 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES CALCULO I Límites y continuidad
3 Una vista preinar Qué es el cálculo? Los dos problemas fundamentales El área del conocimiento que llamamos cálculo gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 000 años. Cada problema está relacionado con la gráfica yf( de una función dada. El primer problema fundamental es éste. Qué entendemos por la recta tangente a la curva yf( en un punto dado?. La palabra tangente surge del latín tangents, tocar. Así, una recta tangente a una curva es aquella que sólo toca a la curva.
4 El problema de la tangente: Dado un punto P(,f( sobre la curva yf(. cómo calculamos la pendiente de la recta tangente en P? yf( L P(,f( El problema de la tangente es un problema geométrico. Pero su respuesta (en la forma de derivadas es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas. Los ejemplos siguientes sugieren las coneiones que son la clave para el papel fundamental del cálculo en la ciencia y tecnología
5 Ejemplo: Suponga que está manejando un automóvil a lo largo de un camino largo y recto. Si f(t denota la distancia (en millas que ha recorrido el auto hasta el tiempo t (en horas, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva yf(t en el punto (t, f(t es la velocidad (en millas por hora del auto en el tiempo t. Distancia (t,f(t yf(t Inicio Distancia f(t Tiempo t Tiempo t 4
6 Ejemplo: Suponga que f(t denota el número de personas en un país que tienen una enfermedad grave en el instante t ( medido en días a partir del inicio del año. Entonces, la pendiente de la recta tangente a la curva yf(t en el punto (t,f(t es la tasa de crecimiento ( el número de personas que contraen la enfermedad por día de la población infectada en el instante t Población (t,f(t yf(t Tiempo t 5
7 El concepto de límite Los límites describen lo que sucede a una función a medida que su variable se aproima a un constante c. Supóngase que se desea conocer qué le sucede a la función f a medida que tiende a. f ( 6
8 Aunque f( no está definida en, la situación puede entenderse al calcular f( utilizando los valores de que se acercan cada vez más a por la izquierda y por la derecha. se aproima a se aproima a por la izquierda por la derecha 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999,00,0,05, f(,8,9,95,99,999,00,0,05, El límite de f(, a medida que tiende a es igual a 7
9 Definición: Se escribe c f ( L y se dice el límite de f( es igual a L cuando tiende a c si podemos acercar arbitrariamente los valores de f( a L aproimando a c pero sin igualar a c 8
10 Ejemplos Tres funciones para las que c f ( L 9
11 Ejemplos ( Dos funciones para las que no eiste c f 0
12 Ejercicio: Determine t 0 t 9 t Grafique la función en calculadora o MAPLE. Qué puede observar?. Grafique en distintas ventanas de visualización. t t 0 -, , , , , , , , , , t 9 t Conforme t tiende a cero, hacia dónde se acercan las imágenes de la función?
13 Ejercicio: Grafique la función sen(π/, en ventana [-,] ; y[-.5,.5]. Luego estime si eiste el límite siguiente: sen 0 π Ejercicio: Grafique la función sen(π/, en ventana [-,] ; y[-.5,.5]. Luego estime si eiste el límite siguiente: 0 sin π
14 Propiedades: k c k c c
15 Teorema de unicidad Sea A IR, f:a IR función. Si eiste el límite de f cuando tiende a a entonces f ( es único. Es decir: Si f a a ( L y f ( L entonces L L a Límites Laterales: Límite lateral izquierdo Se escribe a f ( L y se menciona que el límite lateral izquierdo de f( cuando tiende a a ( o límite de f( cuando tiende a a por la izquierda es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f( aproimando a lo suficiente a a, con menor que a. 4
16 Límite lateral derecho Se escribe a f ( y se menciona que el límite lateral derecho de f( cuando tiende a a ( o límite de f( cuando tiende a a por la derecha es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f( aproimando a lo suficiente a a, con mayor que a. Ejercicio: Calcule si es que eiste f ( L f ( 6 si si 5
17 6 Ejemplo: si si ( < f ( 5 ( f f
18 Teorema: f ( L si y sólo si f ( L f ( a a Ejercicio: Verifique que los siguientes límites no eisten Ejercicio Determine a de modo que el límite eista [[] ] a a a a a 7
19 Ejercicio Calcule, si es que eisten, los siguientes límites. a b a ( a a a (Analizarpara a 0 y a 0 c si < h( si f ( 0 si si > d t t t t e y 0 y y y f
20 9 Álgebra de límites Si k es una constante y eisten los límites [ ] [ ] [ ] [ ] 0 ( si ( ( ( ( 5 ( ( ( ( 4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( y ( a a a g g f g f g f g f k f kf g f g f g f g f entonces g f a a a a a a a a a a a a a a
21 Ejercicio. Pruebe usando el álgebra de límites que a a ( ( n f ( f ( n a n a n Ejercicio; Calcule el siguiente límite f ( si -4 f ( si si > -4 < -4 Ejercicio: Analice porqué se produce la siguiente contradicción (. (. ( 0. 0
22 V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.- Si eiste y g( no eiste entonces f a ( a ( f g( a no eiste.- 0 no eiste.- 0 no eiste
23 Ejercicio Grafique en la calculadora o MAPLE las funciones f ( g( sen(/ h( Notar que f( g( h( Puede determinar gráficamente g(? 0
24 Teorema: Si f( g( para toda en un intervalo abierto que contiene a ( ecepto quizá en a y eisten los límites de f y g cuando tiende a a, entonces f ( g( a a Teorema de Sandwich: Si f( g( h( para toda en un intervalo abierto que contiene a ( ecepto quizá en a y entonces f a ( h( a L g( a L
25 Ejercicio Sea a en IR. Observe gráficamente y demuestre utilizando el teorema del sandwich que 0 sen(/ 0 0 sen( a / 0 0 sen Obs: Una función se dice acotada en A si eiste k IR tal que I f( I k Ejercicio. Grafique las funciones siguientes en una ventana adecuada y verifique si son o no acotadas: ( k g ( sin( h ( tan( j( cos ( f ( 4
26 5
27 Ejercicio: Sea a IR. Observe gráficamente y demuestre utilizando el teorema del sandwich que a a Ejercicio: Calcule sen 0 4sen sen Ejercicio: Determine para qué valores de a IR eiste el 8 f ( a > < f ( 6
28 Teorema de Sustitución Sean X, Y IR y f : X IR, g : Y IR funciones tales que f(x Y. Supongamos que f ( b y que eiste I a Es decir Ia un intervalo abierto de a tal que f( b para todo { a}. Si g( u L entonces g( f ( L. g( f ( g( u L. a u b u b Ejercicio: Calcule los siguientes límites a a sen( π π π sen
29 8
30 Límites infinitos Ejercicio: Grafique en la calculadora la Función f ( / y observe hacia dónde tienden las imágenes de f cuando tiende a cero Definición Sea una función definida en f ( un intervalo abierto que contiene el número a, ecepto, posiblemente a, en a mismo. Entonces significa que para cada número positivo M hay un número correspondiente δ > 0 tal que f( > M siempre que 0 < -a < δ. 9
31 Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número a ecepto, quizás en a mismo. Entonces f a quiere decir que para todo número negativo N, hay un número δ > 0 correspondiente tal que f( < N siempre que 0 < -a < δ ( Ejercicio: Verifique que 5 ( 0 0
32 Definición: La recta a se llama asíntota vertical de la curva y f( si se cumple cuando menos una de las siguientes afirmaciones: a a f f ( ( a - a - f f ( ( a a f ( f ( Ejemplo: La recta es una asíntota vertical de la función f ( (
33 Ejercicio: Determine, si es que eisten, todas las asíntotas verticales de las funciones siguientes: f ( j( 9 sen ( g( k( a a h( sen( ( (analizar para a IR, a IR a 0 Ejercicio: Analice las siguientes afirmaciones. Justifique en cada caso si son verdaderas o falsas..- La gráfica de f(tan( tiene una infinidad de asíntotas verticales.- La gráfica de un cuociente siempre tiene una asíntota vertical al anularse el denominador o
34 Continuidad Definición: Una función f es continua en el número a si a f ( f ( a OBS: La definición anterior requiere, implícitamente tres cosas:.- Que f(a esté definida; esto es, que a esté en el dominio de f..- Que eista el límite f (, de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a a..- Que a Si f no es continua en a se dice que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a a f ( f ( a
35 Cómo se ven gráficamente una función continua y una función discontinua? Tres funciones continuas Tres funciones discontinuas a f(c no está definida b No eiste ( c f ( f ( c f c c 4
36 La gráfica de una función continua se puede trazar sin despegar el lápiz del papel. La gráfica de una función discontinua tiene algún salto o vacío Ejercicio: Analizar la continuidad de cada una de las funciones siguientes f ( g( si h( - si < a Continua para 0 b Continua para - c Continua para 5
37 Definición: Una función f es continua por la derecha en un número a si a f ( f ( a y f es continua por la izquierda en a si a f ( f ( a Ejemplo: En cada entero n, la función f([[]] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda n n f ( f ( n n [[] ] n [[] ] n f ( n 6
38 Ejercicio: Einación de una discontinuidad Sea f 7 ( Determine el dominio de la función y grafique la función en la calculadora..- Estudie la gráfica de f en torno de.- Cómo debemos definir a f en para einar la discontinuidad? 4.- Calcule el límite de f cuando tiende a 5.- Muestre que la función etendida g es continua en. Grafique en la calculadora g / ( 7
39 Discontinuidades remediables e irremediables La figura muestra distintos tipos de discontinuidad. La primera gráfica muestra una discontinuidad infinita. La segunda muestra una discontinuidad de salto. En ambos casos el ite no eiste y no hay forma de mejorar la situación para hacer la función continua, se dice discontinuidades irremediables. La tercera discontinuidad es removible o remediable pues el límite de la función eiste en el punto de discontinuidad. Podemos remediar la discontinuidad haciendo f( c igual al valor del límite. a f(c no está definida b No eiste f ( c c c f ( f ( c 8
40 9 Ejercicio: Estudie la continuidad de la función en los puntos p indicados. Si eiste discontinuidad remediable redefina de modo que la función sea continua f( 0 cos 0 y p p ( < > y p p y p p - (f( f
41 Definición: Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo número del intervalo. En el etremo del intervalo se entiende por continua cuando es continua por la derecha o por la izquierda Ejercicio: Demuestre que la función f ( 6 es continua en el intervalo [-4,4] Para comprobar la continuidad de una función muchas veces es más cómodo aplicar el siguiente teorema, que muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de otras más simples 40
42 Teorema: Si f y g son continuas en a y c es una constante, las funciones siguientes también son continuas en a: fg f-g cf 4 fg 5 f/g si g(a 0 Observación; i Cada una de las cinco partes de este teorema es consecuencia del álgebra de límites. ii Como consecuencia del teorema y de la definición anterior, si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones fg, f-g, cf, fg y f/g ( si g nunca es cero Ejercicio: Utilizando álgebra de límites pruebe que f( sen es continua en IR 4
43 Teorema: a Todo polinomio es continuo siempre; o sea, es continuo en IR b Toda función racional es continua donde está definida; o sea, es continua en su dominio. Nota: Una función racional tiene la forma f(p(/q( en donde P y Q son polinomios Teorema: Si n es un entero positivo par, entonces f ( n es continua en [0, [. Si n es un entero positivo impar, entonces f es continua en IR Ejercicio: En qué intervalos es continua cada una de las siguientes funciones? f ( g( 4 4
44 Podemos simplemente mover el límite dentro del radical? Teorema: Si f es continua en b a y g( a f ( g( f ( b f ( g( a b, entonces Propiedad: n g( n g( a a 4
45 Teorema: Si g es continua en a y f es continua en g(a, entonces (fog(f(g( es continua en a El teorema anterior nos ayuda a mostrar que las siguientes funciones son continuas en todo IR.- sen ya que es la compuesta de sen y.- cos( 5 7 ya que es la compuesta de cos y 5 7 Ejercicio: Considere la función f: ]-,[ IR definida por f ( cos(/ 0 sen( si si si < 0 0 < 0 < Estudie la continuidad de f 44
46 Ejercicio: Hallar los valores de c y d para los que h es continua en IR V o F h( c 4 d si si si < > Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.- La función f([[]] es discontinua sólo en los enteros.- Si fg es continua en a y f es continua en a entonces g es continua en a.- Si f y g son discontinuas en a entonces fg es discontinua en a 45
47 Ejercicio 46
48 Teorema del valor Intermedio Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y L es cualquier número estrictamente entre f(a y f(b, entonces eiste un número c en (a,b tal que f( c L f(c L para algún valor c entre a y b OBS: La continuidad de f en el intervalo juega un papel esencial en el teorema. Si f fuese discontinua aún en un único punto del intervalo, no podría darse la conclusión del teorema 47
49 Obs: Puede haber más de un valor c tal que f(c L Ejemplo: L c c c En este caso, f(c f(c f(c L 48
50 Cómo demostrar la eistencia de?. Ejercicio: Con el teorema del valor intermedio demuestre que hay un número positivo c tal que c. Ejercicio: Eiste algún número real eactamente una unidad menor que su cubo? El problema equivale a demostrar la eistencia de un real que satisfaga la ecuación correspondiente 49
51 Corolario: Si f es continua en el intervalo [a,b] y si f(a y f(b tienen signos opuestos ( uno positivo y el otro negativo, entonces f( c0 para al menos un número c entre a y b. 50
52 Ejercicio: Demuestre que eiste una raíz de la ecuación en el intervalo dado. Resuelva gráficamente usando calculadora o MAPLE 5 4 0, (, (, Ejercicio: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c c. a Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0,] y cuyo recorrido también sea [0,]. Localiza un punto fijo de f. b Trate de trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio y recorrido sean [0,], que no tenga un punto fijo. cuál es el obstáculo? C Con el teorema del valor intermedio demuestre que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0,] debe tener un punto fijo. 5
53 V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique a Sea f ( con f(- -0,5 y f(. Por teorema del valor intermedio, eiste al menos un valor c [-,] talque f(0. a Si g( 5, entonces eiste un valor c IR tal que g(c -. b Sea f ( - 0 < 0 4 El teorema del valor intermedio garantiza la eistencia de un punto c [-,4] tal que f(c 0. 5
54 Límites al Infinito Investiguemos el comportamiento de la función f definida por cuando crece f ( Qué ocurre con la gráfica de la función cuando tiende a infinito? 5
55 Definición: Sea f una función definida en algún intervalo (a,. Entonces f ( L significa que los valores de f( se pueden acercar arbitrariamente a L si se incrementa lo suficiente. Más precisamente significa que para todo ε>0 hay un número correspondiente N tal que I f(-li< ε siempre que >N En la figura anterior se tiene De la gráfica se puede observar además que para valores negativos numéricamente grandes de, los valores se acercan a - 54
56 Definición: Sea f una función definida en algún intervalo (,a. Entonces f ( L - indica que los valores de f( se pueden acercar arbitrariamente a L haciendo que sea lo bastante grande y negativa. Más precisamente significa que para todo ε>0 hay un número correspondiente N tal que I f(-li< ε siempre que <N Definición: La recta yl se llama asíntota horizontal de la curva yf( si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes. f ( L o - f ( L 55
57 La recta y es una asíntota horizontal de la curva f ( Ejercicio: Determina las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función f ( 5 56
58 OBS: El álgebra de límites vista anteriormente también es válida para los límites al infinito si se reemplaza a con o con - Teorema: Si r >0 es un número racional, entonces 0 r Si r >0 es un número racional tal que r toda, entonces 0 - r está definido para 57
59 Ejercicio: Grafique en la calculadora o MAPLE la función 6 5 f ( y evalúe su límite cuando Problema: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se le bombea una salmuera con 0 g de sal por litro, a una tasa de 5 l/min. Demuestre que la concentración de sal, pasados t minutos, en gramos por litro es C( t 0t 00 Qué sucede con la concentración cuando t? t 58
60 59 Determine cada uno de los límites siguientes: 4 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. Comprueba tu trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas y y y y y y
61 60 Límites Fundamentales IR a a IR k k sen IN IN, q, p IR k k k p/q 5 0 ( 4 0 k IR k k sen IR k e k e k 8 7 6
62 Ejercicio: Calcule los siguientes límites y verifique con la parte gráfica de la calculadora o MAPLE sen
63 Asíntotas Oblicuas Algunas curvas tienen asíntotas oblicuas; esto es, ni horizontales ni verticales Si ( f ( ( m b 0 La recta y m b se llama asíntota oblicua, porque la distancia vertical entre la curva y f( y la recta y m b tiende a 0. En las funciones racionales se tienen asíntotas inclinadas cuando el grado del numerador es el del denominador más uno.en este caso se puede llegar a la ecuación de la asíntota mediante división larga, como en el ejemplo siguiente: 6
64 Ejemplo: Para f ( ( hallar las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Solución: ( f ( 0 f ( ( f ( Eisten otras asíntotas? (la recta y es asíntota oblicua 6
65 64 Representación Gráfica: Ejercicios: Hallar todas las asíntotas posibles para: 9 4 y y, y, y,
Unidad 3 Límites y continuidad. Universidad Diego Portales CALCULO I
Unidad Límites y continuidad Una vista preinar Qué es el cálculo? Los dos problemas fundamentales El área del conocimiento que llamamos Cálculo gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que
Más detalles1 LIMITES Y DERIVADAS
1 LIMITES Y DERIVADAS 2.1 LA TANGENTE Y PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD Problema de la tangente Se dice que la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto P es el ite de las rectas secantes PQ a medida
Más detallesMATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 17
Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 7 Continuidad Recuerde que en sección., en algunos casos se podía calcular el límite de una función f cuando se
Más detallesCapítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1
Capítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1 www.mathspace.jimdo.com Tabla de contenido Capítulo 1...1 LÍMITES Y CONTINUIDAD...1 1.1. LÍMITES...2 1.1.1 Definición formal...2 1.1.2. Cálculo de límites...2
Más detallesLímites y continuidad. Cálculo 1
Límites y continuidad Cálculo 1 Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1
Más detallesCAPÍTULO. Continuidad
CAPÍTULO Continuidad. Continuidad en intervalos Una función es continua en un conjunto si es continua en cada punto del conjunto. Entonces, una función es continua en un intervalo abierto.a; b/ si es continua
Más detallesLímites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización.
TEMA 1 Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables. Optimización. Límite finito en un punto: Consideremos una función f definida en las proimidades
Más detallesMATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 17
Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia / 7 Continuidad Recuerde que en secciûn., en algunos casos se podìa calcular el lìmite de una funciûn f cuando se aproima a a, simplemente calculando
Más detallesf x 41 f x x 2 x 2 19 f x x 3 46 asíntotas verticales: x 2, x 0 47 asíntotas verticales: x 3, x 1 x 1 9 f x 3x x 2 9
4.5 Funciones racionales 35 Ejer. 7-32: Trace la gráfica de f. 7 3 4 8 9 3 2 4 2 3 2 3 4 2 2 3 2 4 5 2 2 6 6 7 4 2 2 8 9 3 2 2 3 3 4 2 5 5 3 3 7 5 3 3 7 2 2 3 2 2 4 2 4 Ejer. 37-44: Simplifique f() trace
Más detallesGUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICE-RECTORADO ACADEMICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA DE MATEMATICAS GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III Prof. Orlando Baisdem Pérez Puerto Ordaz,
Más detallesf : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :
Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (00874) UNIDAD N 2 (LIMITES) Profesora: Yuar Matute Diciembre 20 0 Definición Intuitiva de Límites
Más detallesUnidad 9. Límites, continuidad y asíntotas
Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas. Límite de una función en un punto Piensa y calcula Halla mentalmente y completa la tabla siguiente:,9,99,,00,0, f () =,9,99,,00,0, f () =,9,99 3, 3 3,00 3,0
Más detallesTEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITES EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257
TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Página 9 Página. a) f() 0. a) f() 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,9,99,999,9,99,999,9999 f() 00 0.000 0 6 0 8 b) f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,0,00,000
Más detallesLÍMITE DE FUNCIONES. 1) Introducción geométrica del concepto de límite de una función cuando la variable tiende a un valor finito.
1) Introducción geométrica del concepto de ite de una función cuando la variable tiende a un valor finito. Simulador 1 Limite interpretación geométrica f() La función está definida para todo número real?
Más detallesCálculo I. Índice Límites Infinitos. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Límites infinitos Límites en el infinito 9
2.3. Límites Infinitos Julio C. Carrillo E. * Índice. Introducción 2. Límites infinitos 3. Límites en el infinito 9 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS. . Introducción En esta sección se discuten dos
Más detallesTEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Estudios J.Concha ( fundado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Javier Concha y Ramiro Froilán Tema 8 Límites de funciones, continuidad
Más detallesLímite de una función Funciones continuas
Límite de una función Funciones continuas Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2014-2015 1 LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO. 3 1. Límite cuando la variable tiende
Más detallesRESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:
RESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN: Ejemplo: 1 Dominio Representación de en el intervalo [,] Los puntos que no pertenecen al dominio de una función racional, son aquellos que anulan
Más detalles"""##$##""" !!!""#""!!!
Unidad nº 9 CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS! 11 AUTTOEEVALLUACI IÓN 1 Eplica qué significan los símbolos 0 y -. 0 ( tiende a 0) significa que tomamos valores ( 0) cuya distancia a 0, dada por, se hace
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesUn i d a d 2. Co n t i n U i da d. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:
Un i d a d Co n t i n U i da d Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Identificará cuándo una función es continua en un punto y en un intervalo. Aplicará las operaciones de las funciones continuas
Más detallesQué es el CÁLCULO? Erika Riveros Morán
Qué es el CÁLCULO? Erika Riveros Morán El Cálculo es la matemática de los cambios velocidades y aceleraciones. También son objeto del Cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitud
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos
Más detalles1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproima una función cuando la variable
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012)
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012) TRABAJO PRÁCTICO 4 Etremos y teorema del valor medio Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justificar la respuesta. 1. El teorema
Más detallesf cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos a
Más detallesQué es el CÁLCULO? LÍMITE Y CONTINUIDAD
Qué es el CÁLCULO? El Cálculo es la matemática de los cambios velocidades y aceleraciones. También son objeto del Cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitud de arco, centroide,
Más detallesTEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES
TEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES 1 DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función está formado por aquellos valores de (números reales) para los que se puede calcular f(). PUNTOS
Más detallesTema 6: Límites y continuidad
Tema 6: Límites y continuidad March 25, 217 Contents 1 *Conceptos relativos a funciones 2 1.1 Dominio de funciones usuales........................................ 2 1.2 Funciones periódicas.............................................
Más detallesTema 7. Límites y continuidad. 7.1 Definición de límite de una función
Tema 7 Límites y continuidad 7.1 Definición de límite de una función Sea f : I R, I R yseaa I un punto de acumulación de I, decimos que f() tiene límite l R en el punto a f() =l si ε > 0, η > 0: a < η
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesPRACTICA No. 4 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
PRACTICA No. 4 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES OBJETIVO Representar gráficamente el límite de una función. Solucionar límites indeterminados de la forma 0/0 y /. Distinguir las diferencias que hay al
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesTEMA 6 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 6 : DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejercicio: Observa la gráfica siguiente: a) Estudia el dominio, el recorrido y la continuidad de f(). b) Indica si eisten los límites
Más detallesContinuidad de funciones ( )
Cálculo _Comisión Año 07 Continuidad de funciones ( ) I) Continuidad en un punto En ésta representación gráfica de una función (fig. ), es evidente que la misma presenta una discontinuidad, tanto en x
Más detallesInformación importante
Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2010 Semana 8: Lunes 10 viernes 14 de Mayo Información importante El viernes 14 ser publicada la tarea preparatoria de Taller de Sala. Durante la
Más detalles2. Funciones reales de una variable real Límites DEFINICIONES Y PROPIEDADES
.. Límites..1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Límite de una función en un punto Sea y = f() definida en un entorno del punto a R (aunque no, necesariamente, en el punto). Se dice que f tiene límite l en el
Más detalles"""##$##""" !!!""#""!!! """##$##""" (c) Verdadero siempre que los términos en grado p = q se anulen.
Unidad nº 0 FFUNCI IONEES POLLI INÓMICAS YY RACIONALLEES! 7 AUTOEVALUACIÓN Halla la suma y el producto de los polinomios P() y Q() - - 5 -. P() + Q() 5 - +.. P() Q() ( ) ( 5 ) - 6 5 5 + + 0 + - 6 5 + 5
Más detallesTEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 1 TEMA 9 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS TEMA 9- LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO 9.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico
Más detallesNombre. Profesor Número de estudiante I. Llene los blancos(37 puntos) En los problemas 1, 2 y 3 considere la gráfica de y f x.
Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Eamen Departamental I Mate 0 5 de febrero de 207 Nombre. Profesor Número de estudiante I. Llene los blancos(7
Más detallesGuía 2: Derivadas y aplicaciones.
Facultad De Ciencias Físicas y Matemáticas Escuela de Verano 2014 Profesor: Pablo Dartnell Profesores auiliares: Felipe Asencio, Sebastián Tapia Guía 2: Derivadas y aplicaciones. P1. Usando sólo de la
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA II : LÍMITE Hoja 1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA II : LÍMITE Hoja A) A) Usar la gráfica dada de f para determinar un número δ tal que < 0. 6 siempre que 5 < δ A) Con la siguiente gráfica de f()/, hallar un número δ tal que
Más detallesApuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior
INGENIERÍAS TÉCNICAS INDUSTRIALES TEORIA DE CÁLCULO I Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento
Más detallesCálculo I. Índice Continuidad. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Continuidad puntual Continuidad en un intervalo 8
2.4. Continuidad Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. Continuidad puntual 2 3. Continuidad en un intervalo 8 4. Conclusiones 18 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS. 1. Introducción Las
Más detallesChapter 2. Limits. Límites. Copyright 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Chapter 2 Limits Límites 2.1 The Idea of Limits La idea del limite Altura Tiempo(s) Slide 2-4 Altura Altura Tiempo(s) Tiempo(s) Slide 2-5 Altura Tiempo(s) Slide 2-6 La velocidad tiende a 64ft/s, cuando
Más detallesTema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.
1 Tema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas. 1. Funciones racionales. Una función racional es de la forma =p()/q(), donde p() y q() son polinomios, con q()0. El dominio de una función racional
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. LÍMITES Y CONTINUIDAD... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO... LÍMITES INFINITOS... LÍMITES EN EL INFINITO..4.
Más detallesCálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N.
Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.5 Límites laterales. Cálculo de límites. Límites en el infinito. Límites infinitos Límites
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesLímites y continuidad
Límite funcional 6 6. Límite funcional 79 6.2 Límites infinitos y en el infinito 8 6.3 Cálculo de límites 83 6.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotonía 89 6.7 Ejercicios 9 La
Más detallesRESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES
RESUMEN DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES La idea intuitiva de función continua es la de aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Analíticamente, una función f(x) se dice que es
Más detallesSe desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.
Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detalles1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:
LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función
Más detalles1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resolución Nº 88 de noviembre.8/ Secretaria De Educación Distrital REGISTRO DANE Nº-99 Teléfono 6 Barrio Bastidas Santa Marta DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Más detallesSección 2.3. # 27. Evalúa el límite, si es que existe. lim
Sección. Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas. Preparado por Dr. Eliseo Cruz Medina Mate 01. Ejercicios resueltos correspondientes al primer eamen parcial.
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesTEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
º CONCEPTOS PREVIOS Ejercicio º Valor absoluto a,b, TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º Intervalos: a, b, a, b, a, b Semirrectas:, a, -,a, a,, a, Representa gráficamente las siguientes funciones,
Más detallesPráctica 2: Funciones de R n en R m
Análisis I Matemática I Análisis II C) Análisis Matemático I Q) Primer Cuatrimestre - 208 Práctica 2: Funciones de R n en R m. Dar el dominio de denición para cada una de las siguientes funciones y gracarlo:
Más detallesLímite y Continuidad de funciones de una variable
Introducción Límite y de funciones de una variable Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil Límite y de funciones
Más detallesTema 5: Continuidad de funciones
Tema 5: Continuidad de funciones 1. Continuidad de una función en un punto La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla, es aquella que no da saltos ni presenta interrupciones, que
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesTEOREMAS DE LÍMITES. Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces. Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,
TEOREMAS DE LÍMITES Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente
Más detallesPráctica 2: Funciones de R n en R m
Análisis I Matemática Análisis II (C) Análisis Matemático I (Q) er. Cuatrimestre - 207 Práctica 2: Funciones de R n en R m. Describir y gracar el dominio de denición para cada una de las siguientes funciones:
Más detallesx (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Más detallesCálculo Diferencial Otoño Límites y Continuidad
Cálculo Diferencial Otoño 2014 Límites y Continuidad Contenido 2.1 Introducción al concepto de límite de una función. 2.2 Límites unilaterales en funciones algebraicas, compuestas y especiales. 2.3 Técnicas
Más detallestiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x))
Matemáticas II Curso 03-04 6. Asíntotas Se dice que una función y f ( tiene una rama infinita cuando, f( o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto (, f ( ) se aleja infinitamente
Más detallesCálculo diferencial. 2. f(x)= x+3. a) f(6), f(-6). b) f(c), f(x + Δx). f (x) = x a) f( 2 ). f (x+δx) f (x) b) 4. f(x) = 3x 1. f (x) f ( 1 ) a) = 3x
Cálculo diferencial. Funciones y gráficas En los ejercicios -5 evaluar la función (si está definida) en los valores de la variable independiente indicados. Simplificar los resultados.. f() =. a) f(0),
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Representa ráficamente la siuiente función y estudia su continuidad en = : = = f() = f() En = la función no es continua.. Puedes definir la función en alún
Más detallesProblemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad
página /2 Problemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad Hoja. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ()=. solución: continua en toda la recta real. Punto anguloso en
Más detallesFunción Real de variable Real. Definiciones
Función Real de variable Real Definiciones Función Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una aplicación de A en B es una relación que asocia a cada elemento (x=variable independiente) de A un único valor
Más detallesSoluciones del Segundo Parcial 22 de diciembre de 2015
Grado M+I Curso 2015-2016 Apellidos: Nombre: Cálculo I Soluciones del Segundo Parcial 22 de diciembre de 2015 Matemática Aplicada ETSIINF-UPM Nota: /10 Parte 1. Teoría (2 puntos). 1. Enuncia el teorema
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA III : CONTINUIDAD Hoja: 1 A) i) Estudiar la continuidad, en R, de las siguientes funciones. En caso de eistir puntos de discontinuidad, clasificarlos. Redefinirlas si es posible.
Más detallesa sea la siguiente: x 2 +bx+c 1. [ANDA] [2000] [JUN-B] Determina a, b y c para que la curva y =
Y [ANDA] [2000] [JUN-B] Determina a, b y c para que la curva y = a sea la siguiente: 2 +b+c 3 2-2 3 4 X 2 [ARAG] [20] [JUN-A] Sea la función f() = 2 +2 a) Calcular su dominio b) Obtener sus asíntotas c)
Más detallesEstudio de las funciones RACIONALES
Estudio de las funciones RACIONALES 2 o BACH_MAT_CCSS_II Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM Nombre y apellidos..... Funciones racionales. Página 1 RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Cálculo de las raíces, los
Más detallesDEFINICIÓN DE LÍMITE Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a (salvo posiblemente en ) y un número real. La afirmación : ( )
DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a (salvo posiblemente en ) y un número real. La afirmación : Significa que para todo existe un tal que si Entonces. TEOREMA
Más detalles2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. ESQUEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Límites. Límite de una función. Tipos de límites. Álgebra de límites.
Más detallesTEMA 10.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
TEMA.-Límites de funciones y continuidad.- Matemáticas I. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES TEMA.-LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Una sucesión de números reales es un conjunto de números (a, a, a 3,...,
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES
CONTINUIDAD CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función f es continua en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) Existe f(a), es decir, a Dom f. 2)
Más detalles9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.
Solucionario 9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) a) Si (, ). El segmento de recta pasa por el punto (, ) y se acerca al (, ). Si [,
Más detallesFacultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº Cátedra de Matemática
Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 6-0- TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Parte I Intervalos. Límite de una función: definición, teoremas, límites laterales, límites infinitos, límites al infinito.
Más detalles2. [2013] [ASTU] [JUN-B] Calcule lim (2-x)
[204] [EXTR] [JUN-B] a) Enuncie el teorema de Bolzano b) Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación cos = 2 - tiene soluciones positivas c) Tiene la ecuación cos = 2 - alguna solución negativa?
Más detallesContinuidad. 4.2 Tipos de discontinuidades CAPÍTULO. De una función que no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto.
CAPÍTULO Continuidad. Tipos de discontinuidades De una función que no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto. Vamos a clasificar las discontinuidades de una función. Discontinuidad
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L, si al tomar cada vez valores más
Más detalles3.3 Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento y decrecimiento.
DERIVADAS. Función derivable en un punto. laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Ecuaciones de las rectas tangente normal a la gráfica de una función en un punto.. Concepto de función derivada.
Más detallesVeamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, a qué valor tiende f(x)?
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. C O N C E P T O D E L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O Consideremos la función f(x)x², cuya gráfica es una parábola. Si x se aproxima a, a qué valor
Más detalles1 Consideramos la gráfica siguiente:
Conderamos la gráfica guiente: Determina, a la vista de la gráfica, el dominio de definición, metrías, el recorrido, la eistencia de asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Justifica,
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detallesProcedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
Más detalles