Chapter 2. Limits. Límites. Copyright 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Transcripción

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2 Chapter 2 Limits Límites

3 2.1 The Idea of Limits La idea del limite

4 Altura Tiempo(s) Slide 2-4

5 Altura Altura Tiempo(s) Tiempo(s) Slide 2-5

6 Altura Tiempo(s) Slide 2-6

7 La velocidad tiende a 64ft/s, cuando el tiempo tiende a 1(s) Slide 2-7

8 A medida que el intervalo de tiempo es más pequeño, la velocidad promedio se aproxima a 64ft/s (La velocidad instantánea en t=1s) Slide 2-8

9 Por el momento, imagine que hacemos zoom en un punto P. A medida que incrementamos el zoom, la curva se parece más y más a una línea que pasa sobre P. Esta línea es la línea tangente. Slide 2-9

10 Altura Tiempo(s) Las líneas secantes se aproximan a la línea tangente Slide 2-10

11 2.2 Definition of Limits Definición de límites

12 Definición del Límite: Suponga que la función f es definida para toda x cerca de a, excepto posiblemente a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L (tan cerca de L como deseemos) para todo x suficientemente cerca de a, escribimos lim f(x)=l x a Y decimos el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a es igual a L. Slide 2-12

13 Cerca de x=2 Cerca de x=3 Slide 2-13

14 Cerca de x=1, f(x) se aproxima a 2 Slide 2-14

15 Cerca de x=12, f(x) se aproxima a 3 Slide 2-15

16 Cerca de x=3, f(x) se aproxima a 4 Slide 2-16

17 Definición Limite laterales 1. Limite derecho. Suponga que f es definida para toda x cerca de a con x>a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para todo x suficientemente cerca de a con x>a,.escribimos lim f(x)=l x Y decimos que el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a por la derecha es igual a L a Slide 2-17

18 A medida que x se aproxima a 2 por la derecha, f(x) se aproxima a 3 A medida que x se aproxima a 2 po la izquierda, f(x) se aproxima a 3 Slide 2-18

19 A medida que x se aproxima a 2 por la derecha, f(x) se aproxima a 3 A medida que x se aproxima a 2 por la izquierda, f(x) se aproxima a 3 Slide 2-19

20 Relación entre limites unilaterales y bilaterales Asuma que f es definida para todo x cerca de a excepto posiblemente a. Luego lim f(x)=l si y solo si lim f(x)=l y lim f(x)=l x a x a x a Slide 2-20

21 El limite cuando x tiende a 2 por la derecha tiende a 1 El limite cuando x tiende a 2 por izquierda tiende a 4 El limite cuando x tiende a dos no existe Slide 2-21

22 Podríamos erróneamente concluir que cos(1/x) se aproxima a -1 a medida que x se aproxima a 0 por la derecha Slide 2-22

23 Los valores de cos(1/x) oscilan entre -1 y 1, en intervalos cada vez mas cortos, a medida que x se aproxima a 0 por la derecha Slide 2-23

24 2.3 Techniques for Computing Limits Técnicas para calcular límites

25 Slide 2-25

26 Suponga que a,b y m son números reales. Para funciones lineales f(x)=mx+b, lim f(x)=f(a)=ma+b x a Slide 2-26

27 Leyes de los limites Slide 2-27

28 Limites de polinomios y funciones racionales. Asuma que p(x) y q(x) son polinomios y a es una constante Funciones poligonales Funciones racionales lim p(x)=p(a) x a p(x) p(a) lim = x a q( x) q( a) qa ( ) 0 Slide 2-28

29 El limite cuando x tiende a 1 por la derecha tiende a 1 El limite cuando x tiende a 1 por izquierda tiende a 2 El limite cuando x tiende a dos de f(x) no existe Slide 2-29

30 El limite cuando x tiende a 2 de f(x) es -0.5 Slide 2-30

31 Slide 2-31

32 2x 1 2*2 1 5 lim x 2 3 x 2 3* x 9 ( x 3)( x 3) lim lim lim( x 3) 6 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Slide 2-32

33 2 x 4x 5 ( x 5)( x 1) ( x 5) lim lim lim 6 x 1 2 x x x 1 x( x 1) x 1 x Slide 2-33

34 3 2 2 x 8 ( x 2)( x 2x 4) ( x 2x 4) 12 lim lim lim 3 x 4 ( x 2)( x 2) ( x 2) 4 x 2 2 x.2 x.2 Slide 2-34

35 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2) lim lim lim lim lim 2 x 2 2x 2 x 2 2( x 2) x 2 2( x 2)( x 2) x 2 2( x 2) x 2 2 Slide 2-35

36 2.4 Infinite Limits Límites infinito

37 Límite cuando x tiende a 0 es infinito Slide 2-37

38 Límite cuando x tiende a infinito es 0 Limite cuando x tiende a menos infinito es 0 Slide 2-38

39 Límite cuando x tiende a infinito es M Limite cuando x tiende a menos infinito es L Limite cuando x tiende a a es infinito Slide 2-39

40 Límite cuando x tiende a a es infinito Limite cuando x tiende a a es menos infinito Slide 2-40

41 Límite cuando x tiende a a es infinito Límite cuando x tiende a -1 es menos infinito Slide 2-41

42 Definición: Limites unilaterales infinitos Suponga que f es definida para toda x cerca a a con x>a. Si f(x) se vuelve arbitrariamente grande para toda x suficientemente cerca de a con x>a, escribimos lim f(x)= x a Slide 2-42

43 Límite cuando x tiende a a por la derecha Slide 2-43

44 Slide 2-44

45 Asíntota vertical Slide 2-45

46 Limite cuando x tiende a 0 por la derecha es infinito Slide 2-46

47 La grafica (b) es la correcta, porque f(1) no esta definida Slide 2-47

48 Limite cuando teta tiende a cero no existe Slide 2-48

49 2.5 Limits at Infinity Límites al infinito

50 Asíntotas horizontales Slide 2-50

51 Limite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L Limite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M Slide 2-51

52 Limites al infinito y asíntotas horizontales Si f(x) esta arbitrariamente cerca a un numero finito L para todo numero x lo suficientemente grande y positivo, escribimos lim f(x)=l x Decimos que el limite de f(x) a medida que x se acerca a infinito es L Slide 2-52

53 Slide 2-53

54 Slide 2-54

55 Slide 2-55

56 Limites infinitos en el infinito Si f(x) es arbitrariamente grande a medida que x se vuelve muy grande lim f(x)= x Slide 2-56

57 Slide 2-57

58 Limites al infinito de potencias y polinomios Slide 2-58

59 Slide 2-59

60 Caso m<n Slide 2-60

61 Caso m=n Slide 2-61

62 Caso m=n Slide 2-62

63 Slide 2-63

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68 2.6 Continuity Continuidad

69 Continuidad en un punto Una función es continua en un punto a si lim f ( x) f ( a) x a. Si f no es continua en a, a es un punto de discontinuidad. Slide 2-69

70 La f La función es continua en el intervalo de 0 a 4 La función es discontinua en x=0,15,30,35 Slide 2-70

71 x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0, , x*sin(1/x) 0, ,0544-0, , ,1E-05 3,57E-07 9,3164E-09 Es h(x) continua en x=0? Si, porque el limite cuando x tiende a cero es igual a f(0) Slide 2-71

72 Es continua la función es x=1,2,3? No, porque el limite cuando x tiende a 1 es diferente a f(1) Slide 2-72

73 Para que f sea continua en a, las siguientes condiciones se deben satisfacer f( a) esta definida lim f( x) existe x a lim f ( x) f ( a) (el valor de f en a es igual a el limite cuando es x a tiende a a de f) Slide 2-73

74 Si f y g son continuas en a, luego las siguientes funciones son también continuas en a. Asuma c es una constante y n>0 es un entero f g f g cf fg f / g g(a) 0 f( x) n Slide 2-74

75 Función polinomiales y racionales Una función polinomial es continua para todo x. px ( ) Una función racional de la forma qx ( ) es continua para todo x para el cual qx ( ) 0 Slide 2-75

76 Continua en todo punto, excepto x=3 y x=4 Slide 2-76

77 Slide 2-77

78 Continuidad en los extremos Una función es continua desde la izquierda en a si Y una función es continua desde la derecha en a si lim f ( x) f ( a) x a. lim f ( x) f ( a) x a Slide 2-78

79 Slide 2-79

80 Continuidad en un intervalo Una función es continua en el intervalo I si es continua en todos los puntos de I. Si I contiene los extremos, continuidad en I significa continuidad desde la derecha o la izquierda de los extremos Slide 2-80

81 Slide 2-81

82 Continuidad de funciones con raíces Asuma que m y n son enteros positivos sin factor común. Si m es un entero impar, luego f( x) n m es continua en todos los puntos en los cuales f es continua. Si m es par, luego f( x) n m es continua en todos los puntos a en los cuales es continua y f(a)>0 Slide 2-82

83 La función seno es continua en el intervalo (, ) Slide 2-83

84 Teorema del valor intermedio Suponga que f es continua en el intervalo y es un número entre f(a) y f(b). Luego hay L aunque sea un numero en que satisface ab, c ( ab, ) f () c L Slide 2-84

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