f x 41 f x x 2 x 2 19 f x x 3 46 asíntotas verticales: x 2, x 0 47 asíntotas verticales: x 3, x 1 x 1 9 f x 3x x 2 9

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Adrián Romero Caballero
hace 6 años
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1 4.5 Funciones racionales 35 Ejer. 7-32: Trace la gráfica de f Ejer : Simplifique f() trace la gráfica de f for for for for f for f 2 4 for f 2 for for Ejer : Encuentre la asíntota oblicua trace la gráfica de f Ejer : Encuentre una ecuación de una función racional f que satisfaga las condiciones dadas. 45 asíntota vertical: 4 asíntota horizontal: intersección con el eje : 3 f asíntotas verticales: 2, asíntota horizontal: intersección con el eje : 2; f(3) 47 asíntotas verticales: 3, asíntota horizontal: intersección con el eje f() 2 hueco en 2 f f asíntotas verticales:, 3 asíntota horizontal: 2 puntos de intersección con el eje : 2, ; hueco en 49 Un recipiente para desechos radiactivos Un recipiente cilíndrico para almacenar desechos radiactivos se va a construir de plomo. Este recipiente debe tener paredes de 6 pulgadas de grueso. El volumen del cilindro eterior mostrado en la figura debe ser 6 pies 3.

2 32 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS = Límites infinitos en el infinito La notación f se usa para indicar que los valores de f () se hacen grandes cuando se hace grande. Significados similares están unidos a los símbolos siguientes: f f f De las Figuras 6 7 vemos que FIGURA 7 e 3 3 = pero, como lo demuestra la Figura 8, e se hace grande cuando l a un ritmo mucho más rápido que 3. EJEMPLO 9 Hallar un límite infinito en el infinito Encuentre 2. FIGURA 8 = SOLUCIÓN Sería error escribir Las Lees de los Límites no se pueden aplicar a límites infinitos porque no es un número ( no pueden ser definidos), pero podemos escribir porque se hacen arbitrariamente grandes. EJEMPLO Encuentre. l 3 2 SOLUCIÓN Dividimos numerador denominador entre (la máima potencia de que se presenta en el denominador): 2 3 a que l 3 l cuando l Ejercicios. Eplique con sus propias palabras el significado de cada uno de lo siguiente. f l2 f 5 l (b) (d) f l f 3 l 2. Puede una asíntota vertical intersecar la gráfica de f ()? Puede intersecar una asíntota horizontal? Ilustre con gráficas. (b) Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de f ()? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades. 3. Para la función f cua gráfica está dada, eprese lo siguiente. f l2 f (b) f (d) f ; Se requiere calculadora graficadora o computadora con. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas

3 SECCIÓN 2.5 LÍMITES QUE INVOLUCRAN EL INFINITO 33 (e) f (f) Las ecuaciones de las asíntotas al evaluar la función f () 2 2 para,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 2, 5. A continuación use una gráfica de f para apoar su cálculo. 4. Para la función t cua gráfica está dada, eprese lo siguiente. (e) t t l3 t 2 (b) (d) t t l (f) Las ecuaciones de las asíntotas 2. Determine 3 3 al evaluar f () ( 3 ) para valores de que se aproimen a por la izquierda por la derecha, (b) por razonamiento como en el Ejemplo, ; de la gráfica de f. l ; 3. Use una gráfica para estimar todas las asíntotas verticales horizontales de la curva ; 4. Use una gráfica de l f 2 5 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisface todas las condiciones dadas. 5. f, f 5, 6. f, f, 7. f, f, 8. f, f, f, f es impar 9. l l 2 f, l2 f, l l3 f 3, f, f 3. f, f 2, f, f es par l 3 2 l3 f 4, l ;. Intua el valor del límite f, f l 2 f, l f 5 l 2 f f, f 2, l f, f, l 4 para estimar el valor de l f () correcto a dos lugares decimales. (b) Use una tabla de valores de f () para estimar el límite a cuatro lugares decimales Encuentre el límite l ln l3 2. csc 22. l u u l u 2 2 2u e l2 (s9 2 3) (s 2 a s 2 b ) 29. e 2 3. l 3. cos e 2 cos 34. l l cot l t l s 2 l t 2 2 t 3 t 2 2 s9 2 sen 2 2 e 3 e 3 l e 3 e 3 l 2 etan

4 34 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS ; 46. Grafique la función f e ln 4 para l Piensa usted que la gráfica es una representación precisa de f? (b) Cómo obtendría una gráfica que represente mejor a f? ; 38. Grafique la función 47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las Cuántas asíntotas horizontales verticales observa usted? Use la gráfica para estimar los valores de los límites s f s (b) Calculando los valores de f (), dé estimaciones numéricas de los límites del inciso. Calcule los valores eactos de los límites del inciso. Obtuvo usted el mismo valor o diferentes valores para estos dos límites? [En vista de su respuesta al inciso, podría tener que comprobar su cálculo para el segundo límite.] s siguientes condiciones: f, f, f 2, l l3 f, l f l3 48. Encuentre una fórmula para una función que tenga asíntotas verticales 3 asíntota horizontal. 49. Una función f es una razón entre funciones cuadráticas tiene una asíntota vertical 4 sólo una intersección en el eje,. Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en l f () 2. Evalúe f (b) f l ; 5. Por comportamiento final de una función entendemos el comportamiento de sus valores cuando l cuando l. Describa compare el comportamiento final de las funciones Encuentre las asíntotas horizontales verticales de cada curva. Si cuenta con calculadora graficadora, compruebe su trabajo al graficar la curva calcular las asíntotas ; 43. Estime el valor de graficando la función f s 2. (b) Use una tabla de valores de f () para intuir el valor del límite. Demuestre que su cálculo es correcto. ; 44. Use una gráfica de f s s3 2 3 para calcular el valor de l f () a un lugar decimal. (b) Use la tabla de valores de f () para calcular el límite a cuatro lugares decimales. Encuentre el valor eacto del límite. ; 45. Estime la asíntota horizontal de la función f (s 2 ) 2e e graficando f para. Después calcule la ecuación de la asíntota al evaluar el límite. Cómo se eplica la discrepancia? al graficar ambas funciones en los rectángulos de observación [ 2, 2] por [ 2, 2] [, ] por [,,,]. (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento final si la razón entre ellas se aproima a cuando l. Demuestre que P Q tienen el mismo comportamiento final. 5. Sean P Q polinomios. Encuentre si el grado de P es menor que el grado de Q (b) maor que el grado de Q. 52. Haga un dibujo aproimado de la curva n (n un entero) para los siguientes cinco casos: (i) n (ii) n, n impar (iii) n, n par (iv) n, n impar (v) n, n par A continuación use estos trazos para hallar los límites siguientes. n l n P P l Q (b) (d) 53. Encuentre l f () si, para toda, e 2 2e f 5s s 54. En la teoría de relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m m s v 2 c 2 n l n Q 3 5

5 SECCIÓN 2.6 DERIVADAS Y RAPIDEZ DE CAMBIO 35 donde m es la masa de la partícula en reposo c es la velocidad de la luz. Qué ocurre cuando v l c? 55. Un tanque contiene 5 L de agua pura. Salmuera que contiene 3 g de sal por litro de agua se bombea hacia el tanque a un ritmo de 25 L/min. Demuestre que la concentración de sal después de t minutos (en gramos por litro) es C t 3t 2 t (b) Qué ocurre a la concentración cuando t l? 56. En el Capítulo 7 podremos demostrar, bajo ciertas suposiciones, que la velocidad v(t) de una gota de lluvia en caída en el tiempo t es ; (b) Grafique v(t) si v* m s t 9.8 m s 2. Cuánto tarda la velocidad de la gota de lluvia en alcanzar 99% de su velocidad terminal? 57. Demuestre que l e. ; (b) Al graficar e. en una pantalla común, descubra qué tan grande tiene que hacerse para que e.. Puede usted resolver el inciso (b) sin usar una calculadora graficadora? Demuestre que ; (b) Al graficar la función del inciso la recta.9 en una pantalla común, encuentre un número N tal que v t v* e tt v* donde t es la aceleración debida a la gravedad v* es la velocidad terminal de la gota de lluvia. Encuentre t l v(t) cuando Qué pasa si.9 es sustituido con.99? N 2.6 Derivadas rapidez de cambio El problema de encontrar la recta tangente a una curva el problema de hallar la velocidad de un objeto comprenden determinar el mismo tipo de límite, como vimos en la Sección 2.. Este tipo especial de límite recibe el nombre de derivada veremos que se puede interpretar como una rapidez de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería. Q{, ƒ} ƒ-f P{a, f} -a a Tangentes Si una curva C tiene ecuación f () deseamos hallar la recta tangente a C en el punto P(a, f ), entonces consideramos un punto cercano Q(, f ()), donde a calculamos la pendiente de la recta secante PQ: m PQ f f a a A continuación hacemos que Q se aproime a P a lo largo de la curva C dejando que se aproime a a. Si m PQ se aproima a un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P con pendiente m. (Esto significa decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q se aproima a P. Vea Figura.) t P Q Q Q Definición La recta tangente a la curva f () en el punto P(a, f ) es la recta que pasa por P con pendiente m l a f f a a siempre que eista este límite. FIGURA En nuestro primer ejemplo confirmamos el cálculo que hicimos en el Ejemplo de la Sección 2..

6 APÉNDICE J RESPUESTAS A EJERCICIOS DE NÚMERO IMPAR A (i) 2 (ii) No eiste (iii) 3 (b) (i) n (ii) n a no es un entero ; EJERCICIOS 2.4 & PÁGINA 2. l 4 f f 4 3. f 4 no está definida f [para a 2, 2, 4] l a no eiste (b) 4, ninguno; 2, izquierda; 2, derecha; 4, derecha EJERCICIOS 2.5 & PÁGINA 32. Cuando se aproima a 2, f () se hace grande. (b) Cuando se aproima a desde la derecha, f () se hace negativa grande. Cuando se hace grande, f () se aproima a 5. (d) Cuando se hace negativa grande, f () se aproima a (b) (d) (e) 2 (f), 2,, 2 5. =5 7. = =_ Costo (en dólares) =3 =4 (b) Discontinua en t, 2, 3, f no eiste. 7. f f l l = Tiempo (en horas) = _π ,.62, ; No eiste ; 2, , (b) f (b) 5 5. (b) (b) Se aproima a la concentración de la salmuera que se bombea hacia el tanque. 57. (b) 23.3 Sí, ln [ 2, ) 9. 2., ,, EJERCICIOS 2.6 & PÁGINA 42 f f 3 f f 3. (b) 3 l (b) 2 6 _ , derecha;, izquierda _ (, 2) (, ) (, e) (, ) _ a 6a 2 (b) 2 3, t 3 2 (b) 45. (b).86, (b) Sí t 2 _2 _3 4

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