13,20 13,25 13,30 13,35 13,40 13,45 13,50 13,55 14,00 14,05 14,10

Transcripción

1 05 Trabajo Práctico N : LÍMITE DE FUNCIONES Ejercicio : Un dispositivo registra los valores de la frecuencia cardiaca de un paciente internado. El gráfico muestra la frecuencia cardíaca epresada en pulsaciones por minuto en función del tiempo epresado en horas. Debido a una falla en el mecanismo de impresión, en el gráfico no aparece el valor correspondiente a las 4 horas a) Qué valor espera que haya tenido la frecuencia cardiaca a las 4,00 horas? b) Para responder lo anterior qué intervalo o intervalos de tiempo tuvo en cuenta? c) Por ejemplo, importan los valores de la función antes de las 3,50? En la actividad anterior se trató una función cuyo valor en un instante determinado (a las 4,00 horas) era desconocido. Sin embargo, teniendo en cuenta el comportamiento de la función en las cercanías de ese instante esto es: en un pequeño intervalo antes y después de las 4,00 horas - se encontró un valor esperado para la función. d) Eprese analíticamente el valor esperado de la frecuencia cardíaca a las 4 horas. e) Puede asegurar cual fue la lectura a las 4 horas? Cómo epresaría analíticamente la situación? Fuente: Bucari, N; Bertero, M.F. Distintos enfoques para la enseñanza de la noción de ite en un primer curso de Cálculo. Ejercicio : Un paciente recibe una inyección de 50 mg de un medicamento cada cuatro horas. El gráfico muestra la cantidad f(t) del medicamento en la corriente sanguínea, después de t horas. Encuentre: f ( t) f ( t) + t 3,0 3,5 3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 3,55 4,00 4,05 4,0 t y eplique el significado de estos ites laterales.

2 t Ejercicio 3: En una fábrica se obtiene un producto químico que posee como impureza el elemento tóico plomo, en el siguiente gráfico se muestra el costo de purificación del producto químico epresado en pesos en función de la concentración de plomo, epresada en mg plomo por kg de producto. a) El ite máimo permitido de plomo en el producto por legislación es 3 mg de plomo por kg de producto. Cuál es el costo de purificación por kg de producto para ese ite? b) Cuál sería el costo si se quisiera purificar hasta 0,6 mg de plomo por kg? c) Cuál sería el costo si se quisiera purificar hasta 0, mg de plomo por kg? d) Se puede obtener el producto libre de plomo? cuál sería su costo? Interprete analíticamente esta situación.

3 05 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE Ejercicio 4: Para el ite: = 5 Utilice la definición para determinar el mayor valor de δ que corresponda a ε=0,. Ejercicio 5: Sea f()=- si 3 y f()=6 si =3 a) Encuentre el ite para 3 de f(). b) Qué tan cerca de 3 debe estar para que f() se encuentre a una distancia menor que 0, de 5? Resuelva el problema utilizando la definición formal de ite. c) Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para el problema planteado anteriormente: A. 5 ε < f ( ) < 5 + ε B. f ( ) 5 < 0, 05 C. 0 < 3 < 0, 05 D. 3 δ < < 3+ δ E. 3 δ < < 3 + δ ( 3) F. Las ordenadas se encuentran a una distancia de L menor a 0,. Ejercicio 6: Un fabricante de rodamientos debe fabricar esferas con un volumen de 68 cm 3. El volumen debe tener un error menor al %. Cuál puede ser el error máimo en la medición del radio? Utilice la definición ε - δ de ite para describir esta situación (Analice y compare con ejercicio, práctico Nº). Ejercicio 7: Utilice la información que se epone para evaluar los ites: f ( ) = y g( ) = 3 a) [ 5g( ) ] c c b) [ f ( ) + g( ) ] c c c) [ f ( ). g( ) ] c d) c f ( ) g( ) Ejercicio 8: Utilice la información que se epone para evaluar los ites: f ( ) = 4 c a) [ ] 3 f () c b) f () c c) [ f ()] 3/ c

4 05 Ejercicio 9: /3 Halle el ite de g() para 0 si (4g( )) =. Enuncie alguna propiedad de ite que haya utilizado. 0 LÍMITES INDETERMINADOS: INDETERMINACIÓN [0/0] Ejercicio 0: Calcule los siguientes ites indeterminados: a) d) g) h) sen(5) 0 6. tg (3) b) e) 9 3 i) sen( π / ) / 4 π / π c) f) sen(5) j) 0 3 Ejercicio : Son equivalentes las siguientes funciones? En qué difieren? Represente gráficamente. + a) g( ) = y f ( ) = + 3 b) g ( ) = y f ( ) = + Ejercicio : Si f ( ) + + para toda, encuentre f ( ) 3 f ( ) + LÍMITES LATERALES Ejercicio 3: 5 + a) ; y + / b) 3 para 0, / 5 + valen respectivamente: A. - y B. - y C. 3/ y -3/ D. -3/ y 3/ E. Ninguna respuesta anterior es correcta encuentre f ( )

5 05 Ejercicio 4: Sea la función definida por partes tal que: si < o h ( ) = si 0 < 8 si > Determine los valores del dominio en el cual puede no eistir ite. Eprese analíticamente las conclusiones obtenidas. Ejercicio 5: Evalúe los siguientes ites, si eisten: a) b) + / / 0 + e 0 + e c) / 0 + e LÍMITES INFINITOS Ejercicio 6: En la teoría de la relatividad, la masa de la partícula con velocidad v es: m0 m = v c Donde m 0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz Qué pasa cuando v c? Eprese su conclusión analíticamente e interprete físicamente. Ejercicio 7: Utilice la definición formal de ite para calcular el 0 Ejercicio 8: Halle los siguientes ites: 4 a) b) sec c) 7 7 π / + o / ( ) ( ) 5. LÍMITES AL INFINITO Ejercicio 9: Calcule los siguientes ites si es posible y grafique: a) b) 6 c) arc tan 7 f) tanh + d) tan e) e +

6 05 LÍMITES INDETERMINADOS ( / ; - ; ) Ejercicio 0: Calcule los siguientes ites: a) CONTINUIDAD 3 b) c) 3 + d) ( 9 + 3) Ejercicio : Si se conoce f () y f () en un punto interior del dominio de f: + a a) Se conoce f ()? a a b) Se conoce f(a)? b) Se puede determinar si f es continua en =a? c) En el caso que f sea discontinua en =a se podría clasificar el tipo de discontinuidad? Justifique las respuestas. Ejercicio : Analice la continuidad de las funciones dadas en los ejercicios 5, 3, 4, 5 y 8. Ejercicio 3: 3 6 La función f ( ) = presenta: A. Discontinuidad esencial en =3 y discontinuidad evitable en =5. B. Discontinuidad evitable en =0 y discontinuidad esencial en =-. C. Discontinuidad evitable en =3 y discontinuidad esencial en =0. D. Discontinuidad evitable en =3 y discontinuidad esencial en =5. E. Ninguna respuesta anterior es correcta. ASÍNTOTAS Ejercicio 4: Observe los gráficos realizados en el ejercicio 9 y eprese analíticamente las asíntotas si las hay. a)

7 05 b) c)

8 05 y Ejercicio 5: Calcule las asíntotas de las siguientes funciones. Represente gráficamente a) f ( ) = b) f ( ) = 9 Ejercicio 5: a) Analice la función f()= sec en el intervalo [0;π]. Calcule f(0) y f(π). La función tiene ceros en dicho intervalo? Tiene máimos o mínimos? Debería tenerlos? Justifique su respuesta. b) Analice la función f ( ) = en el intervalo [0,5;,5] Cumple con el teorema del valor intermedio? Justifique su respuesta. c) Verifique que sea aplicable el Teorema del valor intermedio y encuentre el valor de c garantizado por el teorema: [ 0;5] f ( ) = f ( ) = + c.