1.- FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES REALES. Funciones reales de dos variables reales independientes

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1 1.- FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES REALES Funciones reales de dos variables reales independientes A) DOMINIO E IMAGEN TRABAJO PRÁCTICO Nº 1A.M. II Determine el conjunto de puntos donde la función es positiva negativa: f, 4. Determine, grafique el dominio de las siguientes funciones: f 1, 1 f(, ( ( f, c) 4. d) f, ln e) f, arc sen f) f, sen Funciones reales de tres variables reales independientes g) f,, z z 1 h) f,, z 4 4 z i) f,, z ln z B) REPRESENTACIÓN GRÁFICA - TRAZAS, CURVAS DE NIVEL. Determine las ecuaciones de las trazas curvas de nivel de las siguientes funciones, grafique tres curvas de nivel e identifique las superficies: 1 de 15

2 z 1 z 4 c) z 1 4 d) z e) z f) z z g) REPRESENTACIÓN GRÁFICA - SUPERFICIES DE NIVEL 4. Determine la epresión de la familia de superficies de nivel, grafique una de ellas aplicando trazas, e identifique las superficies u z u z c) u z 16 B) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 5. La siguiente función representa el potencial eléctrico de un punto (, del plano. Las curvas de nivel de dicha función se denominan curvas equipotenciales debido a que el potencial eléctrico de todos los puntos sobre dicha curva es el mismo. Grafique dos curvas equipotenciales. V, r 6. La siguiente función representa la temperatura en un punto (, de una placa rectangular con el origen de coordenadas ubicado en el centro de la misma. Encuentre la ecuación de las isotermas correspondientes grafique: T, T 0,,, LÍMITE Y CONTINUIDAD 7. Analice los siguientes límites en el origen, ó en los puntos indicados, mediante límites direccionales, reiterados o usando coordenadas polares, a fin de determinar su eistencia: C de 15

3 lim (, (0,0) lim (, (0,0) 4 c) sen (. lim (, (0,0) d) z en P(0,0) e) z e n P0,0) f) 4 ( 1) z 5 5 ( 1) 6 en P1,0) 8. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados si ( + 0 f(, = { + 0 si ( + = 0 en P(0,0) f, 5 si si en P(0,0) c) f, sen 0 si si ( k ( k, k Z en P(0,0) PROBLEMA DE APLICACIÓN 9. Se lanza al mercado un nuevo lubricante. El volumen de ventas mensuales ( se epresa en función del tiempo (t) medido en meses de la cantidad invertida en publicidad () por mes medida en pesos como: 0,00 t 4000(1 e )(1 e ) Analice que ocurrirá con el volumen de ventas cuando la cantidad invertida en publicidad el tiempo tiendan a cero. Indique que ocurre con el volumen de ventas a largo plazo (suponga t tendiendo a infinito) c) Considerando la situación del punto es conveniente aumentar mucho el gasto en publicidad? de 15

4 4.- DERIVADAS PARCIALES A) CALCULO APLICANDO REGLAS DE DERIVACION 10. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación en los puntos indicados. 4 f, en P,0 f, e ln( en P 0,1 - c) f, tg( ) e en P 1,1 d) f, e e) f, e sen f) f, lnsec tg g) f u v u, arctg v r h) f r, sen en P 0, 11. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación: f(,, z) = z arc sen ( ) r sen tg f,, z r z c) v cos( z) en P(1,, ) B) INTERPRETACION GEOMETRICA 1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva obtenida al seccionar la superficie z = + con el plano = en el punto (,, 1). 6 4 de 15

5 14. Halle la ecuación de la recta tangente a la superficie 6 z 4 9 P (, -, ), que cumpla las siguientes condiciones: en el punto Paralela al plano z Paralela al plano z c) Paralela al plano C) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 15. El volumen de un gas está relacionado con su presión P con su temperatura T mediante la le PV = RT donde R es constante T = 00 ºC. Determine la razón de cambio de la presión con respecto al volumen si tiene el valor de V = 50 cm. 16. En un día de frio una persona puede sentir más frio cuando ha viento que cuando no lo ha a que la pérdida de calor es función de la temperatura de la velocidad del viento de acuerdo a la ecuación: H ( w w)( t) Donde H es la pérdida de calor, t es la temperatura del aire w es la velocidad del viento. Evalue H para t=0 w=4 H H Evalue w t para t=0 w=4 D) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - TEOREMA DE CLAIRAUT - SCHWARZ 17. Compruebe la igualdad de las derivadas cruzadas para f, e ln( en P 0,1 Z ; Z 18. Si z - 5 halle E) TEOREMA DE LA APROXIMACION LINEAL DIFERENCIABILIDAD - DIFERENCIAL TOTAL 19. Dada la función z - Halle el incremento de la función en P(1, 1) al pasar a Q(1,5;0,8 ) Halle el diferencial total en P(1, 1) 5 de 15

6 c) Halle la aproimación lineal de la función en P(1, 1) 0. Dada la función f (, el punto P(1, 1), eprese el diferencial de primer segundo orden en dicho punto 1. Calcule el diferencial de primer orden de: z 4 w(,,z) sec(z) 6 F) PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Cuando se conectan dos resistencias R1 R en paralelo, la resistencia equivalente R1 R viene dada por R Si el valor real de R1 es de 00 ohmios, con un error R 1 R del % el de R es de 500 ohmios, con un error del %, halle el error de R.. Acotar el error cometido en la medición del volumen de un elipsoide de revolución 4 V a b sabiendo que a = 4 m medido con un error a cm b=7m medido con un error b 4cm G) PLANO TANGENTE RECTA NORMAL (ecuación de la superficie dada en forma eplícit 4. Determine las ecuaciones del plano tangente de la recta normal a las superficies: f (, 8 en el punto (-, 1) z en el punto (,0) 5. - DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA - REGLA DE LA CADENA DIFERENCIACION IMPLICITA - DERIVADA DIRECCIONAL VECTOR GRADIENTE A) DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA 5. Sea z f (, tal que : 6 de 15

7 f(, e 4 t 1 t 5 f(u, v,w) u u v ; - v w w ln c) f(, uv uv cos( ) d) z r ln t t r - t e Identifique las variables intermedias las independientes, efectúe el diagrama correspondiente calcule las derivadas aplicando la Regla de la Cadena Eprese f (, ) g(t ) calcule para verificar sus resultado, obtenga el valor de la derivada en t =0 para el ejercicio 6. Demuestre que una función F(t) con t satisface la ecuación - F F 0 B) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7. El lado del triángulo ABC aumenta a razón de 0. cm/ s, el lado aumenta a razón de 0.5 cm/s, el ángulo comprendido entre ambos crece a una razón de 0.1 rad/s. Encuentre la razón de cambio del área del triángulo en el instante en el que = 10 cm, = 8 cm el ángulo es 6 8. La presión P (en kilo pascales), el volumen V (en litros), la temperatura T (en kelvin) de un mol de un gas ideal están relacionados mediante la ecuación PV= 8,1 T. Calcule la razón de cambio de la presión en el tiempo cuando la temperatura es de 00 K se incrementa a razón de 0,1K/s, el volumen es de 100 L aumenta a razón de 0,1L/s C) DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA d 9. Si f (, 0 define implícitamente a como función diferenciable de, calcule d - 1 e 7 de 15

8 0. Si F (,, z) 0 define implícitamente a z como función diferenciable de de, calcule las derivadas parciales de z f(, verifique en los puntos z 1 en P(1,1,1) en P(0,-1,0) z ln( z) z 0 en P(1,1,1) en P(,1/;1) 1. Si F (,, z) 0 define implícitamente a cada una de las variables,, z como funciones de las otras dos: z f (, ó f (, z) ó f (, z) F es diferenciable ninguna de las derivadas parciales F ; F ; Fz es cero demuestre que: z.. 1 z D) PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE (ecuación de la superficie dada en forma implícit. Halle la ecuación del plano tangente a la superficie ln z 0 en P(;4; e). Muestre que las superficies 4 z 0 z 6z 7 0 tangentes entre sí en el punto (0,-1,). Escriba la ecuación del plano tangente. son E) DERIVADA DIRECCIONAL GRADIENTE 4. Calcule la derivada direccional en el punto de las siguientes funciones: f (, u i j en P( 1,1) f (,, z) z P(1,-1,) u 1, 1, 5. Calcule las siguientes derivadas direccionales de la función f(, - 4 punto P(-,1) en el En la dirección que va de P a Q(,) En la dirección del vector v, 1 c) En la dirección de un ángulo 4 8 de 15

9 6. En qué dirección la función f (,. e aumenta más rápidamente en el punto P(5,5) 7. Suponga que f ( a, ( 4;). Halle un vector unitario u de manera que: f(a ; 0 D u D u f(a ; sea mínima. c) f(a ; sea máima D u 8. Dada f(, - el punto P(1,) Halle la derivada direccional de f en P en la dirección que une P con Q (,1) Halle la derivada de f en P en la dirección que forma un ángulo = /6 con el eje c) Determine el valor la dirección en que la derivada direccional es máima en P 9. Dada f(, - 5 el punto P(-1,4) determine qué ángulo forma con el eje el vector v en cua dirección la derivada de f es nula en dicho punto. F) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 40. Suponga que está escalando una montaña cua forma está dada por la ecuación z usted está ubicado en el punto de coordenadas (60, 100, 764): Qué dirección debe tomar al inicio para alcanzar la cima con maor rapidez? Si asciende en esa dirección a qué ángulo con respecto al horizonte ascenderá al inicio del camino? -( z ) 41. La temperatura de una bola con centro en el origen es T(,,z) 100e. Observe que la bola está más caliente en el origen (su centro). Demuestre que la dirección de máima disminución es la de un vector que pasa por el origen su sentido es tal que apunta en dirección opuesta al mismo. 6. EXTREMOS DE FUNCIONES LIBRES Y CONDICIONADOS A) SERIE DE TAYLOR 4. Desarrolle la fórmula de Talor hasta los términos de segundo grado para calcular valores de la función f (, ln( en las cercanías del punto (, -1). Calcule el valor aproimado de f(.0,-0.98). 9 de 15

10 B) EXTREMOS LIBRES 4. Encuentre para las siguientes funciones los puntos donde las derivadas primeras se anulan z 5 z Dada la función f (, pruebe que el origen es un punto crítico que no es un etremo relativo de la función, represente la superficie 45. Encuentre clasifique los etremos relativos de las funciones calcule el valor de la función en dichos puntos f 4 (, g (, 1 5 c) d) f (,. e f (, e) f (, sen C) EXTREMOS CONDICIONADOS - MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 46. Utilice el Método de los Multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos críticos de la función, sujeta a la restricción dada f(, 1 u(, f(; ; z) z c) z Dado el problema f(, (- ) ( - 1) 1 Grafique la restricción algunas curvas de nivel de la función objetivo. Dé una estimación de las coordenadas de los posibles puntos críticos c) Resuelva el problema por método general compruebe con su respuesta en d) Cómo resultan los vectores gradientes de la función objetivo de la restricción en el punto encontrado? 48. Minimice f (, bajo la condición de 15

11 D) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 49. Un tanque de metal rectangular sin tapa debe contener 56 m de líquido. Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material de construcción? 50. Encuentre tres números positivos cua suma sea 100 cuo producto sea máimo. Optativos: Funciones reales de dos variables reales independientes A) DOMINIO E IMAGEN 1. Determine, grafique el dominio de las siguientes funciones: f u, v v u u v f, arc cos c) f,. sen d) f (, 5 B) REPRESENTACIÓN GRÁFICA - TRAZAS, CURVAS DE NIVEL. Determine las ecuaciones de las trazas curvas de nivel de las siguientes funciones, grafique tres curvas de nivel e identifique las superficies: z z LÍMITE Y CONTINUIDAD. Analice los siguientes límites en el origen, ó en los puntos indicados, mediante límites direccionales, reiterados o usando coordenadas polares, a fin de determinar su eistencia: 6 lim (, (0,0) 11 de 15

12 ( 18 ) h(, en P(0,0) c) lim (, (0,0) d) f (, en P0,0) 6 4. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. si (, (0,0) f, 0 si (, (0,0) 4.- DERIVADAS PARCIALES A) CALCULO APLICANDO REGLAS DE DERIVACION 5. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación: g, ln( ) f, 4 sen ln en P 0,1 c) f, ln s ln t d) f s, t e en P -1, e B) INTERPRETACION GEOMETRICA 6. Halle los puntos de la superficie f(, 4 donde: f f 1 c) f f 4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7. Si la le de distribución de la temperatura T en un punto (, de una placa está dada por : T de 15

13 Obtenga la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia (cm) a lo largo de la placa, en dirección de los ejes e respectivamente, en P (,1). D) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - TEOREMA DE CLAIRAUT - SCHWARZ 8. Demuestre que la función f(, ln 1 es una solución de la ecuación f f de Laplace: Compruebe que w sen( ct) satisface la ecuación de onda w c t w E) TEOREMA DE LA APROXIMACION LINEAL DIFERENCIABILIDAD - DIFERENCIAL TOTAL 10. En la función z 5 - halle el incremento al pasar de (,-) a (.1,-1,95) la aproimación lineal en (,-) Calcule el diferencial de º orden de f(, - en P (, -1). 1. Halle los diferenciales de º º orden para la función f(, e cos( PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. La lata de un refresco tiene 1 centímetros de alto cm. de radio. El fabricante planea reducir la altura de la lata en 0, cm. el radio en 0, cm. Utilizando diferencial estime cuánta bebida menos encontrarán los consumidores en cada nueva lata. 14. Indique un rectángulo con centro de simetría en (1,1) donde la función f (, no varíe más de 0,1; si un par de lados es el doble de los otros dos DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA - REGLA DE LA CADENA DIFERENCIACION IMPLICITA - DERIVADA DIRECCIONAL VECTOR GRADIENTE C) DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA d 15. Si f (, 0 define implícitamente a como función diferenciable de, calcule d sen ( ) / 1 de 15

14 16. Suponga que la ecuación z z 7 z c 0 define a z =z(,. Halle el valor de la constante c para el cual f(1,1)= calcule las derivadas parciales en el punto (1,1). D) PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE (ecuación de la superficie dada en forma implícit 17. Calcule las ecuaciones del plano tangente de la recta normal en el punto (-, z 1, -) del elipsoide 4 9 E) DERIVADA DIRECCIONAL GRADIENTE 18. En la función dada en forma implícita por z ( z) 8, halle la derivada direccional de z en A(8,0) (considere z = -1), en la dirección que une dicho punto con B(11,-4) 19. Utilice las derivadas parciales de la función f (, en el punto P(1,0) para determinar la variación de la función: En la dirección que va de P a Q(4,0), a R(1,) a S(4,4). Grafique los tres vectores redacte una conclusión En la dirección del vector v,6 c) en qué dirección la función tiene la máima razón de cambio en el punto P cuál es su valor? d) Grafique la curva de nivel que pasa por P el vector gradiente. f, obtenga el f,, z 0. Si (,, z) sen( z), calcule la derivada direccional en Q(1,,0) en la dirección del vector v 1,,-1 analice en qué dirección tiene la máima razón de cambio cuál es su valor, para el mismo punto Q. 6. EXTREMOS DE FUNCIONES LIBRES Y CONDICIONADOS A) SERIE DE TAYLOR 1. Calcule los valores aproimados de la función z e en el punto (1.1,.01) trabajando con los polinomios de Talor de 1º, º º grado. Compare los resultados con el verdadero valor de la función en el punto. B) EXTREMOS LIBRES. Encuentre para la siguiente función los puntos donde las derivadas primeras se anulan z 4-14 de 15

15 . Determine, si eisten, los puntos críticos de z f, f f teniendo en cuenta que: 4. Encuentre clasifique los etremos relativos de las funciones calcule el valor de la función en dichos puntos f (, t (, c) f (, 6 d) f (, e cos C) EXTREMOS CONDICIONADOS - MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 5. Utilice el Método de los Multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos críticos de la función, sujeta a la restricción dada: f(, 9 4 f(; ; z) z z 1 6. Halle los etremos de f (, 4 sujeta a la condición de ( 1) 5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7. Encuentre el punto del plano de ecuación z 4 que se halla más cerca del origen de coordenadas 15 de 15