UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

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1 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES Tema : Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden sus aplicaciones. Contenidos Programáticos.- Definiciones preliminares: Ecuación Diferencial, orden de una ecuación diferencial. ecuaciones diferenciales lineales..- Solución de una ecuación diferencial. Familia de soluciones. Solución particular solución singular. Problema de valor inicial. Ecuación diferencial asociada a una familia de curvas.- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden resueltas respecto a la derivada. Problema de valor inicial. Teorema de eistencia unicidad de las soluciones..4- Métodos de solución de ecuaciones de primer orden.4.- Ecuaciones en variables separables reducibles a ellas.4.- Ecuaciones homogéneas reducibles a homogéneas.4.- Ecuaciones diferenciales eactas. Factores integrantes.4.4- Ecuaciones lineales de primer orden reducibles a ellas (Ecuación de Bernoulli).5- Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.5.- Aplicaciones Geométricas: Traectorias isogonales ortogonales.5.- Crecimiento poblacional desintegración radiactiva.5.- Le de enfriamiento de Newton.5.4- Vaciado de tanques

2 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) Ejercicios propuestos sobre Generalidades Ecuaciones en variables Separables.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación verifique que la función dada es solución de la misma a) b) d e e + 0e d 0 cos ln, > ( t) t ln t ln 4 ( t) t ( ln t + ) c) m.- Obtenga el valor de m de manera que la función sea solución de la ecuación diferencial Sol: m m 4.- En cada caso halle la Ecuación Diferencial asociada a la familia de curvas dada: a) k tg 0 cos sen t dt + sen b) 0 4 c) C + C d) arctg ln C e) Familia de circunferencias que tienen centro sobre la recta que pasan por el origen f) Familia de parábolas de eje vertical, cuo vértice está sobre el eje ( ) g) Familia de elipses cuos focos se encuentran en los puntos (-,0) (,0) ( + )( ) Compruebe que la EDO para cualquier punto ( 0, 0) del plano tiene una solución única que cumple ( 0) Demuestre que en el intervalo [ 0,π ], las funciones ( ) satisfacen el problema de valor inicial d 0 d +, con hecho no contradice el Teorema de Eistencia Unicidad? cos, 0 Por qué este

3 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) 6.- Determine si el Teorema de Eistencia Unicidad garantiza que la ecuación d d 9 tiene solución única que cumpla a) 7.- Resuelva en cada caso, la ecuación diferencial dada e b) ( ) a) d + d 0 c) d) e) f) 4, b) e + C 0 + d + 6 d + 5ln + + C d + d k d + d sen + ln + cos C d e e + e d ( ) e e e ( ) d + ln d C ln ln + C 9 g) sen d + cos d 0 sec + 6 C h) ( 4 ) ( + d ) d 0, 0 ( ) i) j) k) arctg + arctg π 4 ln + ln + C d e + d e + e C d d + ln + C + + ln C l) + + m) 4+ n) + + ln C 4+ arctg + C

4 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Homogéneas Reducibles a ellas Resolver cada una de las ecuaciones dadas a continuación ) ( )d + d 0 ln + C ) ( + )d d 0 + ln C ) d d + ln ( + ) + arctg C 4) d d c 5) d + + c( ) d + 6) d ; d ln + 8 7) d + ( ln ln ) d 0; e ln + e 0 8) d ( + ) + C d + 9) ( ln ln ) d ( ln ln ) d ln ln C + 0) d d C ) d + ; 5 ( ) d e + ) d + 7 d 4 8 ( + 5) C( + + ) 5

5 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Diferenciales Eactas. Factores Integrantes.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación, verifique que sea eacta obtenga su solución. + d d 0 a) ( ) ( ) b) d ( ln ) d e d + cos + ln d d d 0 c) 0 d) e) ( ) d ( 4) d 0 f) g) h) C ln C e sen + ln + C C + 4 C sen d + + cos d 0 + cos C d e + 6 d e + e C d 0 + arctg C + 9 d tg sen sen d + cos cos d ln ( cos ) + cos sen C 4 + d + + d 0; + + i) 0 j).- Resuelva el siguiente problema de valor inicial, verificando que la ecuación diferencial es eacta. ( 4 + 5) d + ( ) d 0; ( ) Por qué otro método se podría haber resuelto esta ecuación? Determine el valor de k, para que la ecuación dada sea eacta 4 + k d d 0 k0 4.- Obtenga una función N(,), de manera que la ecuación dada sea eacta + d + N (, ) d + 0 N, h + + ( + )

6 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) 5.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación, determine un factor integrante a) ( ) d ( ) d que dependa de una sola variable ó µ µ utilícelo para hallar su solución C d + ln d 0, > 0 + ln C + ln d d 0, > 0 + ln + C b) c) + d + d 0 d) 6.- Resuelva la ecuación diferencial ella admite un factor integrante de la forma m n + C d d 0, sabiendo que µ, C e 7.- Halle la solución de cada una de las ecuaciones dadas a continuación, sabiendo que ellas admiten un factor integrante de la forma especificada en cada caso d + + d 0, µ depende del producto a) + d + + d 0, µµ + b) C; 0; 0 ln + arctg C

7 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) Ejercicios propuestos sobre Ecuaciones Lineales de Primer Orden Ecuación de Bernoulli Resolver cada una de las ecuaciones dadas a continuación ) + + Ce ) + ln + C 4 / ) ( + 4 ) d + d 0 + C 5 4) d ( sen ) d sen C cos + + 5) d C ( + e) + e 0 d e + 6) d 4 d + C ) d + ( + e ) d 0 C e ) d 4( + ) d 0 + C 9) cos sen d + ( cos ) d 0 sec + C csec 0) d d C + ) 4 ( + ) 0 C ) 4 ( C + ) ; 0 essolución singular ) d + d + C 4) d d + e C 5) ; con / ) ( + 4) + ; con ( 0) e

8 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) Ejercicios propuestos sobre Aplicaciones que conducen a Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden I) Aplicaciones de tipo geométrico.- Familia de curvas que cumplen con una condición dada a) Cada curva de una cierta familia tiene la propiedad de que se encuentra ubicada en el primer cuadrante pasa por el origen. Además, el área bajo dicha curva entre (0,0) un punto (,) es igual a / del área del rectángulo que tiene dichos puntos como vértices opuestos. Determine la ecuación de dicha familia de curvas Familia de parábolas de eje vertical, con vértice en el origen k b) Obtenga la ecuación de la familia de curvas que cumple con la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cada punto es igual a la suma de sus coordenadas S : Ce c) Halle la ecuación de la curva que pasa por (, -4), de manera que la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos, es igual a dos veces el cociente de su ordenada entre su abscisa. S : d) Determine la ecuación de la familia de curvas tales que la pendiente de la recta normal en cada uno de sus puntos es igual a su ordenada más unidades. S : ( + ) + C.- Traectorias Isogonales a) Obtenga la ecuación de las traectorias isogonales a la familia α 60º a, en ángulo 6 arctg ln + C b) Encuentre la ecuación de las traectorias isogonales en ángulo de 45º a la familia de circunferencias con centro en el origen de coordenadas. arctg + ln ( + ) C

9 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056).- Traectorias Ortogonales En cada uno de los siguientes ejercicios determine la ecuación de las traectorias ortogonales a la familia de curvas dada a + a) ln C b) Familia de circunferencias con centro en el eje, que pasan por del origen + C c) a ln, 0 + ln C > 0 d) Ce 0+ C e) Familia de hipérbolas equiláteras, de eje horizontal centro en el origen k 4.- Si la ecuación diferencial de una familia de curvas, f (,, ) 0 no se altera al remplazar por, la familia se denomina auto-ortogonal. Demuestre que la familia 4C + C es auto-ortogonal. de parábola II) Aplicaciones de tipo físico Crecimiento de poblaciones ) Se sabe que la población de una cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes presentes en cada instante. Si se sabe que la población fue de habitantes después de años que en 5 años se duplicó la población inicial Cuál era dicha población inicial? 6598 habitantes ) Cierta ciudad tenía una población de habitantes en en 980. Qué población pueden esperar los urbanistas para el 00? habitantes ) La población de un país aumenta % anualmente su censo actual es de 90 millones de habitantes Cuántos años deberán transcurrir para que la población alcance 50 millones? Apro. 9 años 4) Suponga que la población de la Tierra aumenta con una rapidez proporcional a la población presente en cada instante. Se estima que en el año 650 de nuestra era, la población de la tierra era 600 millones de habitantes que en el año 950, dicha población

10 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) era,8 miles de millones (,8 0 9 ). Si se supone que la población máima que la Tierra puede sostener es 5 miles de millones Cuándo se alcanzará ese límite? En el año 76 Desintegración radioactiva ) En el instante t 0 se tenían 00 g de una sustancia radioactiva. Al cabo de 6 horas esa cantidad disminuó en un %. Calcule su período de vida media. 6,5 horas ) El problema de valor inicial 0 da ka, A 0 A es el modelo matemático de dt desintegración de una sustancia radioactiva. Demuestre que en general, el período de vida media (T) de la sustancia es ln T k ) Después de dos días están presentes 0 gramos de una sustancia radioactiva. Tres días más tarde ha presentes 5 gramos Cuántos gramos de la sustancia había inicialmente? 5,87 gramos Le de Enfriamiento de Newton ) Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire era 70º F se lleva al eterior, donde la temperatura es 0º F. Pasado ½ minuto, el termómetro marca 50º F. Qué temperatura marcará cuando t min? En cuánto tiempo marcará una temperatura de 5º F? a) T6,67º F b) En aproimadamente,06 minutos ) Un pastel es retirado del horno a 0º F se deja enfriar a temperatura ambiente de 70º F. Después de 0 minutos la temperatura del pastel es 40º F. Cuándo estará a 00º F? En 66 minutos ) Justamente antes del mediodía el cuerpo de una víctima aparente de homicidio, se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante de 70º F. A mediodía la temperatura del cuerpo era de 80º F a la pm de 75º F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era 98,6º F (temperatura normal del cuerpo) que se ha enfriado de acuerdo a la Le de Enfriamiento de Newton Cuál fue la hora de la muerte? Aproimadamente las 0:9 am Vaciado de tanques ) Un tanque tiene la forma de un cubo de arista igual a 4 metros en su base ha un pequeño agujero de área A 0. Si inicialmente el tanque está lleno hasta las ¾ partes de su altura En cuánto tiempo estará lleno hasta la mitad de su altura?

11 UCV-INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (056) ( ) t, con k ka0 g k ) Un tanque tiene la forma de cono circular recto apoado en su vértice (embudo). Su altura es de 4m el radio de su base m. Dicho tanque posee en el fondo un agujero de área A 0. Si inicialmente se encontraba lleno de líquido En cuánto tiempo se vacía? 6π t, con k ka g 0 5k ) Un tanque esférico de m de radio tiene en su fondo un orificio de área A 0 (m ). Si inicialmente el tanque se encuentra lleno de líquido En cuánto tiempo se vacía totalmente? 8 t, con k ka g 0 5k 4) Un tanque de agua tiene forma de cono circular recto, descansando sobre su base. El radio de dicha base es de m su altura 4 m, inicialmente se encuentra completamente lleno en t 0, comienza a vaciarse a través de un orificio situado en el fondo del 56π t, con k ka g 5k mismo. Cuánto tiempo tarda en vaciarse? 0