TEMA 8: FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLÍCITAS. HOJA 8A

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y COMPUTACIÓN TITULACIONES Ingeniería Industrial (GITI/GITI+ADE) Ingeniería de Telecomunicación (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso TEMA 8: FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLÍCITAS Objetivos: Conocer las técnicas que permiten calcular las derivadas parciales las matrices jacobianas de las funciones compuestas e implícitas de varias variables a sean escalares o vectoriales Bibliografía básica: Los contenidos teóricos corresponden a los siguientes capítulos del libro Cálculo II: Teoría problemas de funciones de varias variables de A García A López G Rodríguez S Romero A de la Villa: Capítulo 6: Apartados 1 Capítulo 7: Apartados 1 epígrafes 1 Contenidos: Funciones compuestas: Diferenciación matriz jacobiana de la función compuesta Casos particulares Funciones implícitas: Eistencia diferenciabilidad: Teorema de la función implícita Casos particulares HOJA 8A 1 Se considera la función f ( Sea g ( u una función diferenciable tal que la matriz jacobiana de g en el punto ( ) es matriz jacobiana de la función h g f en el punto ( 1 1 ) 1 1 Hallar la Se consideran las funciones f ( 1 g( u u v v función compuesta h g f Se pide: a) Hallar la matriz jacobiana de h la b) Hallar las derivadas parciales de las funciones componentes de h utilizando el árbol de dependencia de la composición Sea f : una función suficientemente derivable z f ( Calcular z z z z 4 Sea f : Calcular h (t) h (t) una función suficientemente diferenciable h( t) f t 1 t

2 5 Sea f : g f Calcular g una función suficientemente diferenciable g g z u 6 Se consideran las funciones gz ( ) e du derivada de la función ht () g f() t en t 1 f () t ( t t t ) Hallar la 7 a) Probar que la ecuación define implícitamente en un entorno del punto (11 ) una función () b) Hallar la recta tangente a la curva en el punto ( 11) c) Hallar el polinomio de Talor de grado de la función () en el punto 1 8 a) Probar que la ecuación z z define implícitamente en un entorno una función z z( del punto (1 ) b) Hallar el gradiente de la función z ( en el punto ( 1 ) c) Hallar el plano tangente a la superficie z z en el punto ( 1 1) d) Calcular z 1 9 Sea f : una función diferenciable en el punto 4 tal que f (4) 1 f 4 punto ( 1) Hallar el plano tangente a la superficie f( z) 1 en el u v 1 Sea el sistema u v u v Se pide calcular u v v en el punto 11 Se consideran la función suficientemente derivable z F( u las funciones u v 4 u u( v v( definidas por el sistema Se pide calcular u v z z para los valores ( u v ) (1111 ) las derivadas sabiendo que se F F verifica ( 11) 1 ( 11) 1 u v

3 HOJA 8B Se considera la función f ( la matriz jacobiana de g en el punto ) jacobiana de la función h g f Sea g( u una función tal que 5 1 u v ( es Se pide hallar la matriz 4 (11 en el punto ) Se consideran las funciones f ( u u v u v función compuesta h f g Se pide: a) Hallar la matriz jacobiana de h g( ( la b) Hallar las derivadas parciales de las funciones componentes de h utilizando el árbol de dependencia de la composición 4 e g : una función diferenciable tal 1 que su gradiente es constante en h g f Sabiendo que el plano tangente a la Sea f es z 1 hallar la derivada direccional máima de la función g en el punto 1 4 gráfica de h en el punto 1 4 Sea f : una función suficientemente derivable z f ( ) Calcular z z z z z 5 Sea la función z f siendo f una función derivable Se pide probar que z z para 6- Sean f g funciones reales de variable real suficientemente derivables Se considera la función u( f ( g( ) Demostrar que uu uu 7- Sean las funciones f ( h (t) siendo h( t) f ( ( t) ( t)) t t e t t 5 Calcular 8 Sea f : una función suficientemente diferenciable Se considera la función u ( ) f ( ) ( ) con funciones suficientemente derivables du d u Hallar d d 9 Se considera la función z( f ( ) siendo f : suficientemente diferenciable Se pide hallar z z z z z una función

4 1 Sea z f ( u con u g( v h( donde las funciones f g h son suficientemente diferenciables Se pide hallar derivadas parciales de f g h z z z z en función de las 11 Se consideran las funciones g ( z) e u du f ( t) ( t sentcost) Hallar la derivada de la función ht () g f() t en t 1 Sea f : una función suficientemente diferenciable en que verifica: f ( 1 ) El gradiente de f en el punto ( 1 ) es f ( 1 ) = ( 1 ) Se considera la función G f ( ) Se pide: a) Hallar el plano tangente a la superficie z G( en el punto ( 1 G (1)) b) Hallar la derivada direccional máima de G en el punto ( 1) c) Calcular G 1 a) Probar que la ecuación 1 define implícitamente en un entorno del punto (1) una función () b) Hallar la recta tangente a la curva 1 en el punto ( 1) c) Tiene la función () un etremo relativo en? Razonar la respuesta 14 Sea la función F: dos veces derivable con F ( ) 1 F ( ) Pruébese que la ecuación F ( F( ) F( define implícitamente en un entorno del punto 1 una función () Se pide hallar la recta tangente 1 a la gráfica de dicha función en el punto 15 a) Probar que la ecuación z z z define implícitamente en un entorno del punto (11 ) una función z z( b) Hallar el gradiente de la función z ( en el punto ( 11) c) Hallar el plano tangente a la superficie z z z en el punto ( 111 ) d) Calcular z z

5 16 Sea : G una función tal que G G ( u) Ln( u 4) Calcular el plano tangente a la superficie definida implícitamente por G z 1 en el punto ( ) 17 Halla la recta tangente a la curva z z 1 en el punto ( 111 ) u v 6 18 Demostrar que el sistema de ecuaciones implícitas define a u v 4 u v como funciones implícitas de e en un entorno del punto ( u v ) 1 1 Calcular en dicho punto el gradiente de u la derivada parcial v 19 Sea g : una función dos veces derivable en tal que la recta tangente a la gráfica de g en el punto 1 tiene por ecuación g( e z) Dado el sistema se pide: z 1 a) Demostrar que el sistema anterior define dos funciones derivables z z en un entorno de z 1 1 b) Hallar la recta tangente a la grafica de la función en el punto 1 c) Hallar z Sean u v F una función diferenciable en g F Sabiendo que el plano tangente a la gráfica de la función g en el punto z (11 ) es z 1 hállese la recta tangente a la curva 5 F en el punto (11 ) 1 Sea f una función suficientemente diferenciable tal que 1 f 1 11 Se pide: Se considera el sistema f u v u v u v 1 f

6 a) Demostrar que el sistema anterior define de forma implícita las funciones diferenciables u u v v u v en un entorno del punto b) Hallar la derivada direccional máima de la función u 1 1 en el punto c) Hallar las direcciones para las que la derivada direccional de la función v punto 1 1 es d) Calcular de forma aproimada u 1 98 en el Sea f : una función suficientemente diferenciable en tal que f ( ) su derivada direccional máima en ( ) vale 1 se alcanza en la dirección de la semirrecta Se pide hallar los valores de a b tales que el plano tangente de la superficie f en 1 11 sea horizontal b b 1 z a a 1 z