Cálculo Diferencial en IR n : Ejercicios.

Transcripción

1 Tema 8 Cálculo Diferencial en IR n : Ejercicios. La teoría para este tema puede encontrarse en el libro Cálculo diferencial en IR n ([1] de la bibliografía), capítulos 1, 2, 3, 4, Funciones, límites continuidad. 1.1 Hallar el dominio de las funciones siguientes, representarlo gráficamente. a) b) ( ) c), 2 2 d) f(,, z) = ln z Encontrar los conjuntos de nivel de las siguientes funciones. a) 2 + b) 2 2 c) + d) sen( ). 1.3 Encontrar, en cada caso, la epresión de la función f(, ) sabiendo que: a) + g( 1) f(, 1) = b) f( +, ) = Usar la definición de límite para probar que lim (,) (0,0) + = Comprobar que las siguientes funciones tienen el mismo límite a lo largo de cada recta = m, pero no poseen limite en el punto (0,0): a) + 2 b) Calcular, para, > 0, el lim p q, según los valores de p > 0 q > 0. (,) (0,0) Calcular los siguientes límites: a) lim (,) (0,0) c) lim (,) (0,0) e ( ) b) lim (,) (0,0) d) lim (,) (0,0) sen( ) Demostrar que no eiste el límite en el punto (0, 0, 0) de la función f(,, z) = z, si z 0 1, si z = 0. Cálculo diferencial. 90

2 8.2 Derivación diferenciabilidad. 1.9 Sea 1, si 0 < < 2 0, en caso contrario. Probar que f(, ) tiende a cero en el punto (0, 0) a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Es f contínua en (0, 0)? 1.10 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones , a) si 2 < 2 0, si 2 2 1, si b) 0, si > c) d) 5, si > 2, si , si (, ) (0, 0) 1, en caso contrario Se considera la función 2 arctg 2 arctg. a) Estudiar su dominio. b) Definirla donde no lo esté de modo que f sea continua en IR 2. ln(1+ ) 1.12 Usar la composición de funciones para hallar lim (,) (1,1). 8.2 Derivación diferenciabilidad. 2.1 Dada e ln, hallar D 1 f(0, e) D 2 f(0, e). 2.2 Sea Probar que D 1 f(, ) + D 2 2f(, ). 2.3 Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función cos(2 ), comprobar que las derivadas parciales cruzadas (o mitas) son iguales. 2.4 Estudiar la continuidad la eistencia de derivadas parciales de la función, si , si = Sea 4, si (, ) (0, 0) 0, si (, ) = (0, 0). a) Comprobar que f, f f son continuas en (0, 0). b) Comprobar que f (0, 0) = f (0, 0). c) Son continuas f f en el punto (0, 0)? 2.6 Usando la definición, calcular la derivada direccional de e e en el punto (1, 0) según el vector u = (3, 4). Cálculo diferencial. 91

3 8.2 Derivación diferenciabilidad. 2.7 Para n 2, sea n + n n +, si 0 e n 0, en el resto Estudiar la continuidad de f en el punto (0, 0) calcular D u f(0, 0). Para qué valores de n se cumple D u+v f(0, 0) = D u f(0, 0) + D v f(0, 0), u, v? 2.8 Estudiar la continuidad la eistencia de D u f(, ) para la función +, si 0 0, si = Sean A un abierto f: A IR n IR una función que admite derivada parcial i-ésima en a A. Probar que si f(a) es un máimo o un mínimo local de f, entonces D i f(a) = Estudiar en el punto (0, 0) la continuidad, eistencia de derivadas direccionales diferenciabilidad para las siguientes funciones: sen 1, si (, ) (0, 0) a) , si (, ) = (0, 0) ( 2 2 ), si (, ) (0, 0) b) , si (, ) = (0, 0) sen 1, si (, ) (0, 0) c) , si (, ) = (0, 0) Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la función ( 2 +,, e + ). En el caso de ser diferenciable, hallar su matriz jacobiana decir si es o no de clase 1 en el origen Dada la función ( + ) n 1 sen, si (, ) (0, 0) , si (, ) = (0, 0), hallar los valores naturales de n para los que, en IR 2, f es: (a) Continua (b) Diferenciable (c) De clase Dada la función sen, si > 0, si 0, estudiar la continuidad, eistencia de las derivadas parciales diferenciabilidad en los puntos del dominio Estudiar la diferenciabilidad de f: IR 2 IR definida por 1 + 2, en los puntos (0, 0) (0, 1) Sea IR n, se pide: a) Probar que ( ) =, si 0. b) Demostrar que ( p ) = p p 2. Cálculo diferencial. 92

4 8.3 Funciones Inversas e Impĺıcitas. c) Encontrar una función f: IR n IR tal que f() = Sean 2 + g(, ) = 1 +. Probar que g(, ) no es diferenciable en el origen, pero que la función h(, ) = f(, )g(, ) sí lo es Sea la función ( ) sen 1, si > 2 + 2, si < 2 π, si =. Estudiar su continuidad. En los puntos de la recta = en los que f es continua, estudiar la derivabilidad con respecto a la derivabilidad en la dirección de la recta =. Deducir de lo anterior sin recurrir a la definición la posible diferenciabilidad de la función en dichos puntos. Nota: Obsérvese que por la forma de la función, la derivabilidad con respecto a se deduce del estudio de la derivabilidad con respecto a Hallar las derivadas parciales de las funciones siguientes, suponiendo que todas ellas son diferenciables: a) F (, ) = f(g() + h(), g()h()) b) F (,, z) = ln( ln( ln z)) a g(t)dt. Nota: Si g es continua G() = a g(t)dt, por el teorema fundamental del cálculo integral se tiene que G () = g() Encontrar la aplicación diferencial df(, h) para la función (e cos, ) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = + 3 en el punto (1, 2, 9) Calcular (g f) (0, 0), siendo ( + cos, + e ) g(u, v) = u + v Si f(t) = (sen t, cos t, t) g(,, z) = ( 2 + 2,, 2 ), hallar la matriz jacobiana de g f en el punto t = π Funciones Inversas e Implícitas Teoría En los sistemas de ecuaciones lineales sabemos que se verifica que: Si M m m es una matriz que tiene rango m (es inversible), el sistema M = tiene solución única pueden despejarse las m incognitas mediante = M 1. Si M m (n+m) es una matriz que tiene rango m, en el sistema Mz = 0 pueden despejarse m de las incógnitas en función de las otras n. Si suponemos que son las m últimas escribimos z = (, ), siendo = ( 1,..., m ) las ( incógnitas ) que se despejan en función de las = ( 1,..., n ) restantes, M = M 1 M 2, siendo M 2 de tamaño m m la matriz que forma el menor de orden m distinto de 0 que permite despejar las m últimas incógnitas, tenemos que: ( 0 = Mz = M 1 M 2 ) ( ) = M 1 + M 2 de donde = M 1 2 M 1. Cálculo diferencial. 93

5 8.3 Funciones Inversas e Impĺıcitas. Usando las aplicaciones lineales definidas por las matrices, con las mismas condiciones, los resultados de arriba significan para las aplicaciones que Si f: IR m IR m con f() = M =, eiste f 1 : IR m IR m tal que f 1 () =. Si M = 0, eiste g: IR n IR m tal que g() = f(, g()) = 0. Los teoremas de la inversa de la implicita siguientes, dan condiciones para que estos resultados se verifiquen (de manera local) para las funciones que no son aplicaciones lineales. Teorema de la función inversa. 8.1 Sea f: A IR n, con A IR n, de clase k en a int(a) det(f (a)) 0. Entonces eiste un abierto U, con a U A, tal que: a) V = f(u) es un abierto. b) La restricción de f al conjunto U es inectiva. Seguiremos llamándola f. c) f 1 : V U es de clase k en f(a). d) Para cada V, si = f 1 (), se tiene (f 1 ) () = (f ()) 1. Teorema de la función impĺıcita. 8.2 Sea f: W IR m, con W IR n IR m, una función de clase 1 en el punto (a, b) int(w ) tal que f(a, b) = 0. Sea f (a, b) = [M 1, M 2 ], donde M 2 es la matriz cuadrada de orden m formada por las m últimas columas de f (a, b), det(m 2 ) 0. Entonces, eisten un abierto A IR n un abierto B IR m, con (a, b) A B, una única función g: A B de clase k en a, tal que: a) g(a) = b. b) f(, g()) = 0 para todo A. c) Para cada A, g () = [f (, g())] 1 f (, g()), donde f (, g()) es la submatriz de f (, g()) formada por las n primeras columnas f (, g()) la formada por las m últimas. Ejemplo.- ( Sea f: IR 3 IR 2, de clase ) 3 f(a, b 1, b 2 ) = (f 1 (a, b 1, b 2 ), f 2 (a, b 1, b 2 ) = (0, 0) con D2 f det 1 (a, b 1, b 2 ) D 3 f 1 (a, b 1, b 2 ) 0. Sea g() = (g D 2 f 2 (a, b 1, b 2 ) D 3 f 2 (a, b 1, b 2 ) 1 (), g 2 ()) = (, z) la función dada por el teorema de la función implícita, entonces si tomamos h() = (, g 1 (), g 2 ()), se tiene que 0 = f(, g()) = f(, g 1 (), g 2 ()) = f(h()), 0 = 0 = f (h())h () = 0 = ( f1 ( f1 (h()) f 1 (h()) f 1 z (h()) (h()) (h()) z (h()) (h()) 1 + f 1 (h()) g 1 () + f 1 z (h()) g 2 () ) (h()) 1 + (h()) g 1 () + z (h()) g 2 () ) 1 g 1 () g 2 () luego ( f 1 (h()) ) ( f1 f 2 (h()) = (h()) g 1 () + f 1 z (h()) g 2 () ) ( f1 (h()) g 1 () + f 2 z (h()) g 2 () = (h()) f 1 z (h()) ) g 1 () (h()) z (h()) g 2 () ( f1 (h()) f 1 z (h()) ) 1 ( f 1 (h()) z (h()) (h()) ) g (h()) = 1 () g 2 () = g () Cálculo diferencial. 94

6 8.3 Funciones Inversas e Impĺıcitas Ejercicios 3.1 Dada la función f: IR 3 IR 3 definida por f(,, z) = (sen( + z), sen( + z), e ). Se pide: a) Probar que f es inversible en un entorno del punto (0, 0, 0). b) Hallar los puntos de IR 3 en los que no se verifican las condiciones del teorema de la función inversa. 3.2 Demostrar que la función f: IR 3 IR 3 definida por f(,, z) = (z,, z) tiene función inversa de clase en un entorno del punto (1, 2, 1) calcular (f 1 ) (1, 2, 2). 3.3 Dada la función f: IR 2 IR 2 definida por (e 2 e, e ). Se pide: a) Probar que f es inversible localmente en todo punto de IR 2 globalmente. b) Hallar f(ir 2 ), si es posible, f 1. c) Comprobar que las matrices jacobianas de f f 1 en puntos correspondientes son inversas una de otra. 3.4 Dada la función f: A IR 3, con A = (,, z) IR 3 : + + z 1}, definida por ( ) f(,, z) = 1 z, 1 z, z. 1 z Se pide: a) Probar que f es inversible local globalmente. b) Hallar f(a), si es posible, f 1. c) Comprobar que las matrices jacobianas de f f 1 en puntos correspondientes son inversas. 3.5 Demostrar que la función f: IR n IR n, n 3, dada por f( 1, 2,..., n ) = ( 1 + 2, ,..., 1 2 n 1 + n, 2 n 1 + n ) tiene inversa en un entorno del punto (1, 1,..., 1), calcular J(f 1 )(2, 2,..., 2). 3.6 Dada la función h: IR 2 IR definida por h(, ) = a + + 3, con a IR. Se pide: a) Para qué valores de a la función h define a como función implícita de en un entorno del punto (0, 0)? Calcular en esos casos (). b) Para qué valores de a la función h define a como función implícita de en un entorno del punto (0, 0)? 3.7 Determinar los valores de las constantes a, b c tales que la derivada direccional de f(,, z) = a 2 + bz + cz 2 3 en el punto (1, 2, 1) tenga un valor máimo de 64 en una dirección paralela al eje OZ. Con los valores obtenidos determinar el plano tangente a la superficie f(,, z) = 0 en el punto (0, 0, 1). cos + cos z + z cos = π 3.8 Comprobar que el sistema z 2 = π 2 define implícitamente una función g() = (g 1 (), g 2 ()) en un entorno del punto (0, 0, π). Calcular g 1 (0) g 2 (0). 3.9 Calcular las derivadas primera segunda de la función implícita = g() definida por la ecuación: ln = arctg. Cálculo diferencial. 95

7 8.4 Etremos locales globales. 8.4 Etremos locales globales. 4.1 Utilizar la fórmula de Talor para desarrollar la función f(,, z) = e a(++z), con a IR a 0, en un entorno del punto (0, 0, 0). 4.2 Sea e. Hallar su polinomio de Talor de grado dos desarrollado en el punto (0, 1). Dar una cota del error que se comete al emplear este polinomio para evaluar la función en (1, 1). 4.3 Hallar los etremos locales o relativos de las siguientes funciones: a) ( ) 2 b) 2 ( ) c) f(,, z) = z 2 2z. 4.4 Hallar según los valores de p, los etremos relativos de las funciones: a) p 4 + (2 ) b) f(,, z) = 2 + (p + 1) 2 + (p + 1)z 2 + 2z Dada la función 4 e (e + e 2 ) 1 2. a) Demostrar que f es de clase 1 en IR 2, qué el punto (0,0) es el único punto crítico de f que es un mínimo local. b) Demostrar que f no puede tener mínimo global. 4.6 Hallar el máimo el mínimo absoluto de las funciones siguientes en los dominios indicados: a) en A = (, ) IR 2 : 0, 0, + 3}. b) 2 (4 ) en A = (, ) IR 2 : 0 4, 0 4}. c) f(,, z) = + + z en A = (,, z) IR 3 / : z 5}. 4.7 Dada la ecuación z 2 + z 8 = 0, hallar los etremos de la función que define a z como función implícita de e. 4.8 Hallar los etremos locales de la función f(, ) bajo la condición g(, ) = 0, en los siguientes casos: a) ; g(, ) = b) ; g(, ) = Hallar los etremos relativos de la función f(,, z) bajo la condición g(,, z) = 0, en los siguientes casos: a) f(,, z) = ln + ln + ln z 3 ; g(,, z) = z 2 9, con,, z > 0. b) f(,, z) = z ; g(,, z) = + + z Hallar los etremos locales de la función f(,, z) = + z sujeta a las condiciones = 0 e z 2 = Hallar los puntos de la elipse = 1 cua distancia a la recta + = 4 es máima o mínima. Cálculo diferencial. 96

8 8.4 Etremos locales globales Dividir un número positivo a en tres sumandos no negativos de manera que el producto de éstos sea máimo El recorrido de dos ríos se representa, aproimadamente, por la parábola = 2 la recta 2 = 0. Ha que unir estos ríos por un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible. Porqué puntos de ambas curvas habrá que trazarlo? Cuál será la longitud de dicho canal? Sea la elipse dada por las ecuaciones = z = 0 elipse que disten más o menos del eje OY.. Encontrar los puntos de la 4.15 En qué punto de la elipse 2 el triángulo de menor área? + 2 a 2 b 2 = 1, la tangente a ésta forma con los ejes coordenados 4.16 Probar que la ecuación z 3 + 2z + e z cos( + z) = 0, en un entorno del punto (0,0,0), define una función implícita z = f(, ) de clase infinito en un cierto entorno U del punto (0,0,0). Probar que f posee un máimo relativo en (0,0). Cálculo diferencial. 97