Tema 11 Ejercicios resueltos

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1 Tema 11 Ejercicios resueltos Se considera la función f : definida por 3 f (, ) sin( ),cos( ) e. Razonar que la función es localmente invertible en un entorno del punto (0,0) calcular Jf 1 (0,0) Se considera la función f : definida por f (, ) e e, e. 1) Demostrar que la función es localmente invertible en un entorno U(, ) de cada punto (, ). ) Calcular la epresión analítica de la función inversa definida en el subconjunto Vuv (, ) fu (, ). 1 3) Comprobar que las matrices jacobianas de f en (, ) de f en ( uv, ) f(, ) son inversas Se considera la función f : AÌ definida por æ ö f (, ) =,sin( ) + cos( ), (, ) Î A= (, ) Î : > 0 ç çè ø { } a) Razonar la diferenciabilidad de f en A. b) Determinar los puntos del dominio de la función en la que esta es localmente invertible.

2 c) Calcular la aproimación lineal de la función inversa f ( pp, ). 1 f - en un entorno del punto Se considera la ecuación Estudiar si esta ecuación define localmente una función ( ) en un entorno del punto (1,1). En caso afirmativo, calcular las derivadas de primer segundo orden de esta función en el punto a = Se considera la ecuación z3cos( z) 0. Estudiar si esta ecuación define localmente una función z z(, ) en un entorno del punto (0, 0, 3). En caso afirmativo, calcular las derivadas parciales Dz (0,0), Dz (0,0) Se considera el sistema de ecuaciones u v uv 0 el punto P ( 0, 0, u0, v0) (0,,1,1). Se pide: 1) Determinar el sistema lineal que aproima el sistema dado en un entorno del punto P. ) Demostrar que el sistema dado define en un entorno del punto P dos funciones implícitas diferenciables u u(, ), v v(, ) tales que u(0,) 1, v(0,) 1. 3) Calcular las derivadas parciales Du (0,), Du (0,), Dv (0,), Dv (0,) Se considera la ecuación z z sin( ) 1 0 [1] 1) Calcular una aproimación lineal de esta ecuación en un entorno del punto P ( 0, 0, z0) (1,1,). ) Calcular el plano tangente la recta normal a la superficie definida por [1] en el punto P. 3) Demostrar que la ecuación [1] define implícitamente una función z z(, ) en un entorno de P calcular una aproimación lineal de esta función en un entorno del punto (, ) (1,1). 0 0 Tema 11: Ejercicios resueltos

3 11.8. Se considera el sistema de ecuaciones 3 3 zu zu 0 el punto P ( 0, 0, z0, u0) (0,1,0,1). Se pide: 1) Determinar el sistema lineal que aproima el sistema dado en un entorno del punto P. ) Demostrar que el sistema dado define en un entorno del punto P dos funciones implícitas diferenciables z z(, ), u u(, ) tales que z(0,1) 0, u(0,1) 1. 3) Calcular las derivadas parciales Dz (0,1), Du (0,1), Dz (0,1), Du (0,1). (, ) z(, ), u(, ) demostrar que la función es 4) Si se designa por localmente invertible en un entorno del punto ( 0, 0) (0,1) calcular J 1 (0,1) Se consideran las funciones f : A g: B definidas por (, ) f e e,(, ) A; g( t) t,log( t), tb a) Razonar la diferenciabilidad de estas funciones calcular su respectivo campo de diferenciabilidad. Calcular las matrices jacobianas Jf (, ) Jg() t. b) Razonar la diferenciabilidad de las funciones compuestas F g f, G f g determinar su respectivo campo de diferenciabilidad. Calcular las matrices jacobianas de estas funciones compuestas en un punto cualquiera de su campo de diferenciabilidad. Calcular JF(1, 0), JG (1). c) Verificar que la función G es invertible en un entorno de t=1 calcular la aproimación lineal de su función inversa en un entorno del punto G(1) Calcular el polinomio de Talor de grado de las siguientes funciones en el punto indicado: f (, ) 3 P = (1, ) f (, ) sin( ) P = (0, 0) f ( z,, ) ep( z) P = (0, 0, 0) Calcular el polinomio de Talor de grado, 3 4 de la función f (, ) e cos( ) en (0,0). Tema 11: Ejercicios resueltos 3

4 11.1. Se considera la ecuación æp ö - + = ç çè ø sin z 1 0 a) Demostrar que esta ecuación define una función implícita diferenciable z= z(, ) en un entorno del punto P( 0, 0, z 0) = (1,,- 1). b) Calcular el plano tangente la recta normal a la superficie z= z(, ) en el punto P. c) Calcular el polinomio de Talor de grado 1 de la función z (, ) en el punto (1,). d) Calcular el polinomio de Talor de grado de la función z (, ) en el punto (1,) Determinar los puntos estacionarios estudiar los etremos locales puntos de silla, si eisten, de las funciones: a) f (, ) 6 3 b) f (, ) 4 Haced una representación gráfica de cada función en un entorno adecuado de los puntos estacionarios Se considera la función real de dos variables f (, ) 3. Calcular la función que establece la derivada direccional de esta función en un punto (,) en la dirección definida por el vector u (1, ). Estudiar los etremos de esta función, es decir, determinar el punto en el que esta derivada direccional alcanza un etremo determinar el tipo de etremo Se considera la ecuación z z sin( 3) 0. Demostrar que esta ecuación define localmente una función z z(, ) en un entorno del punto (1, 1, 3). Estudiar la eistencia de un etremo local de la función z z(, ) en el punto (1, 1) clasificadlo Razonar la eistencia calculad, cuando eistan, los etremos absolutos de las siguientes funciones en el conjunto A que se indica: a) f (, ) A: segmento 1, 0 1 b) f (, ) 10, 0 c) f (, ) A: región del plano A: región del plano 10, 0 4 Tema 11: Ejercicios resueltos

5 Determinar el paralelepípedo rectangular de volumen máimo contenido en el primer octante con un vértice en el origen el vértice opuesto en el plano de ecuación 3z Un pentágono está construido con un rectángulo un triángulo isósceles que tiene la base sobre uno de los lados del rectángulo. Los lados iguales del triángulo tienen una longitud doble de la base del rectángulo, sobre el que se ha construido el triángulo. Sabiendo que el perímetro del pentágono tiene un valor constante P, determinar las dimensiones del pentágono que tiene área máima. Haced una representación gráfica del área del pentágono suponiendo que P = 100cm Se considera la elipse de ecuación Calcular los puntos de esta curva que tienen distancia máima distancia mínima en el origen de coordenadas Una lata de refresco estándar tiene una capacidad de 330 cl. Calcular las dimensiones de la lata para que requiera la mínima cantidad de material en su fabricación. Hacer una representación gráfica para ilustrar la solución del problema. Tema 11: Ejercicios resueltos 5