Funciones reales de varias variables

Transcripción

1 PROBLEMAS DE CÁLCULO II Curso 2-22

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3 Funciones reales de varias variables. Dibuja las curvas de niveles,,..., 5 y la representación gráfica de las siguientes funciones a) f(x, y) = 5 x y b) f(x, y) = x 2 + y 2 c) f(x, y) = (x ) 2 + y 2 2. Calcular los límites direccionales de f(x, y) en (,) cuando a) f(x, y) = x3 xy 2 x 2 + y 2 b) f(x, y) = xy x 2 + y 2 c) f(x, y) = xy2 x 2 + y 4 3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones de dos variables a) x 2 + xy + 2x b) ln(x 2 + y 2 ) c) y cos(xy) d) e) (x ) 2 + (y 2) 2 x 2 x 2 + y 2 Calcular los límites en la dirección y = x en el punto (,) para las funciones de los apartados b) d) y e) 4. Sea f(x, y) = x 3 y 3 x 2 + y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) 3

4 a) Calcular D (cos θ,sen θ) f(, ), b) Calcular f x, f y f x f (, ) y (, ) y y la derivada direccional de f en (,) en la dirección (,). c) Es cierta la igualdad f(, ) h = D h f(, ) con h = (cos(θ), sen(θ))? d) Estudiar la diferenciablidad de f e) Son contínuas las derivadas parciales de f? 5. Hallar las derivadas parciales, vector gradiente y diferencial de las siguientes funciones a) f(x, y) = x 3 + y 2 2xy b) f(x, y, z) = z e xy c) f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 + x 2 3x 4 d) f(x, y) = 5 6. Sea f : R 2 R con f C (R 2 ) (es decir tiene derivadas parciales continuas en todo punto de R 2 ), f(2, ) = (, ) y f(2, ) = 5, calcular f x (2, ) y D (cos θ,sen θ) f(2, ). Utiliza el polinomio de Taylor de primer orden en (2, ) para calcular un valor aproximado de f(2, ) 7. Sea f(x, y) = 3 x/3 y/3. a) Dibuja la gráfica de f(x, y) en el primer octante. b) Hallar la derivada direccional de f(x, y) en el punto (3,2) en la dirección de argumento π/4. c) Hallar el valor máximo de la derivada direccional de f(x, y) en (3,2). d) Hallar el polinomio de Taylor de primer orden de f(x, y) centrado en (,2). e) Hallar un vector ortogonal a f(3, 2) y calcular la derivada de f(x, y) en (3,2) en la dirección de este vector. 8. Calcular la ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f(x, y) = 5 x 2 y 4 en el punto (,,3). 9. Hallar la derivada direccional de f(x, y, z) = x 2 2xy z 3 en el punto (,-,2) según la dirección del vector (-,3,) 4

5 a) En qué dirección es máxima la derivada direccional? b) Cuál es el valor de ese máximo?. Utilizar el polinomio de Taylor de orden n para desarrollar x 3 + y 2 + xy 2 en potencias de (x-) e (y-2).. Probar que la ecuación xy +ln(xy) = define a y como función implícita de x en el punto (,). Calcular la recta tangente a esta función en dicho punto. 2. Calcular los puntos críticos y estudiar si son máximos, mínimos o puntos de silla de las siguientes funciones de dos variables a) x 2 y + 2xy y 2 3y b) x 4 + y 4 c) x 4 2px 2 y para los distintos valores de p d) x 2 + 2y 2 2x + 4y 6 e) x 4 y 4 5

6 Funciones vectoriales de varias variables. Hallar una representación paramétrica de a) La recta que pasa por (, 2, ) en la dirección del vector (,, 2). b) El segmento con extremos en los puntos (2,,4) y (,,6). c) El segmento con extremos en los puntos (,) y (,). d) La recta x + y = 2. e) La circunferencia con centro en (3,) y radio 2. f ) La circunferencia (x 2) 2 + (y 3) 2 =. g) El cuadrado de vértices (,) (,) (,) y (,). h) El arco de parábola y = (x ) 2 que va del punto (,) al (3,4). i) La curva y = e x. j ) La recta x + y + z =, x = y 2. Calcular la recta tangente a la hélice circular r(t) = (cos(t), sen(t), t) en los puntos a) r(π/4) b) (,, ) c) r(π/2) 3. Comprobar que la siguientes funciones son diferenciables. (a) f(x, y) = (x 2 y, e xy ) (b) f(x, y, z) = (2x + xz + y 2, z 2 + y, x 2 + z) (c) f(x, y, z) = (e xz + x, ae y + z 2 ) 4. Sean las funciones f : R 3 R 2, g : R 2 R 2 definidas por f(x, y, z) = (sen(xy + z), ( + x 2 ) yz ) g(u, v) = (u + e v, v + e u ) 6

7 (a) Comprobar que f es diferenciable en (,, ) ( (b) Comprobar que g es diferenciable en, ) 2 (c) Calcular d(f g)(,, ) 5. Sean f : R 2 R 2 y g : R 3 R 2 dos funciones definidas por f(x, y) = (e x+2y, sen(y + 2x)) g(u, v, t) = (u + 2v 2 + 3t 3, 2v u 2 ) (a) Hallar las matrices jacobianas de f y g. (b) Hallar la matriz jacobiana de f g en (,, ) 6. Dadas las funciones f : R 2 R 2 y g : R 2 R definidas por f(x, y) = (y + cos x, x + e y ), g(x, y) = x + y (a) Probar que f y g son diferenciables en R 2. (b) Hallar la diferencial de h = g f en (, ). (c) Hallar la derivada direccional de h en (, ), en la dirección del vector (2, ). (d) Hallar la derivada direccional máxima de h en (, ) (e) Probar que h(x, y) = 2 define a y como función implícita de x en un entorno de (, ) 7. Escribir la expresión y z x x z x = u cos v en función de las variables u y v sabiendo que y y = u sen v 7

8 Integral doble. En cada una de las integrales siguientes, determina el recinto e invierte el orden de integración: (a) (b) (c) (d) (e) 3 e dx dy dx dx dx 3 y f(x, y)dy f(x, y)dx 25 x 2 4x/3 log x x 2/3 f(x, y)dy f(x, y)dy f(x, y)dy + 2 dx 4x x 2 3 f(x, y)dy 2. Calcula la integral doble f(x, y)dxdy en cada uno de los siguientes casos D (a) f(x, y) = x + y; D = {(x, y)/ x ; y } (b) f(x, y) = xy; D = {(x, y)/ x ; y x} (c) f(x, y) = 4x 2 y 2 ; D = {(x, y)/ x ; y x} (d) f(x, y) = x + y; D = {(x, y)/ x + y } (e) f(x, y) = máx{x, y}; D = {(x, y)/ x ; y } 3. En el recinto D = {(x, y)/x 2 + (y ) 2, x } se consideran las funciones f(x, y) = y g(x, y) = sen(y ) x 2 (a) Expresa g(x, y)dxdy en los dos órdenes de integración posibles. D f(x, y)dxdy e D (b) Calcula ambas integrales en el orden más adecuado. 8

9 4. Calcula la integral π dx π x sen y y dy 5. (a) Demuestra, sin calcular la integral, que 4π ( + x 2 + y 2 )dxdy 2π D donde D es el círculo de radio 2 centrado en el origen. (b) Si f(x, y) = x 2 y y D = [, 2] [, 3], demuestra, sin calcular la integral, que f(x, y)dxdy 48 D 6. Sea f(x, y) = k e y2 + x, donde k es una constante real. Determinar el valor de la constante k para que: f(x, y)dx dy =, siendo D = {(x, y)/ x ; x y } D 7. Efectúa el cambio a coordenadas polares y calcula la integral D = {(x, y)/ x 2 + y 2 4, y } D x 2 ydxdy, donde 8. Calcular la integral doble siendo: D dxdy ( + x2 + y 2 ) 3 D = {(x, y) R 2 / y, y x y} 9. Calcular la integral doble ln( + x 2 + y 2 )dx dy D siendo D = {(x, y) x, x 2 + y 2 }. Sea R >, C R el cuadrado [ R, R] [ R, R] y D R y D R 2 los círculos de radio R y R 2 respectivamente, centrados en el origen. 9

10 a) Calcular: b) Demostrar que D R e (x2 +y2) dxdy D R 2 e (x2 +y2) dxdy ( R e (x2 +y2) dxdy = C R c) Razonar que se cumplen las siguientes desigualdades: R ) 2 e x2 dx e (x2 +y2) dxdy D R e (x2 +y2) dxdy C R e (x2 +y2) dxdy D R 2 d) Deducir de (c) el valor de lím e (x2 +y2) dxdy R C R y utilizar el apartado (b) para calcular el valor de e x2 dx. Haciendo uso de la integral doble, calcula el área de los siguientes recintos (a) D = {x y 2 x 2 } (b) D = {(x, y)/ x2 a 2 + y2 b 2 }

11 Integral de línea. Calcular la siguiente integral de línea caminos: xy dx + (x 2 y 2 )dy a lo largo de los siguientes (a) La circunferencia de centro el origen y radio. (b) El arco de parábola y 2 = x que une los puntos (,-), (,) (c) El arco de curva y 2 = x 3, uniendo los mismos puntos. (d) A lo largo de la elipse x 2 + 2y 2 = 4 2. Calcular 2x cos ydx x 2 sen y dy, donde C es la trayectoria desde (,) a (,) sobre la c curva α(t) = (cos 3 t, sen 3 t) 3. Sea el campo vectorial f = (f, f 2 ) = ϕ(x)( y, x), siendo ϕ(x) una función derivable (a) Calcular ϕ(x) de manera que f y = f 2 x (b) Establecer las condiciones para que f sea un gradiente en alguna región del plano y determinar la función potencial. 4. Sea f : R 2 R 2 un campo vectorial de la forma f(x, y) = (2xy, x 2 ) = (f, f 2 ) (a) Probar que f dx + f 2 dy = para cualquier curva Γ cerrada en R 2. Γ x = t (b) Hallar f dx + f 2 dy siendo Γ la curva de ecuación t Γ y = e t2 5. Dada C (x + y)dx (x y)dy x 2 + y 2 (a) ( Calcular el valor de la integral cuando C es el camino que une los puntos (, ) y, ) siguiendo la trayectoria de la curva y = 2 + x. 2 (b) Calcular el valor de la integral, siendo C la circunferencia de centro (, ) y radio.

12 Funciones Analíticas. Explica el significado geométrico de las siguientes relaciones a) z z < R (z o C y R R + fijos) b) lm z j z ( + j) c) < z + j 2 =, Re z j z ( + j) = 2. Expresa las funciones siguientes como la suma de la parte real e imaginaria a) f(z) = 2z 2 3jz b) f(z) = z + z c) f(z) = z /2 3. Halla el módulo y el valor principal del argumento por las funciones dadas en los puntos indicados: a) f(z) = z e z en z = πj b) f(z) = cos z en z = π 2 + j(ln 2) 4. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones a) f(z) = z b) f(z) = e x e yj c) f(z) = z 5. Halla la función analítica f(z) = u(x, y) + jv(x, y) tal que: u(x, y) = x y y f(3) = 3 + 5j 6. a) Sea u(x, y) la parte real de una función analítica en C. Sean v (x, y) y v 2 (x, y) dos conjugadas armónicas de u(x, y). Demuestra que v (x, y) v 2 (x, y) es constante. b) Sea v(x, y) = x 2 y 2. Determina todas las funciones analíticas f(x) cuya parte imaginaria sea v(x, y) 2

13 7. Determina todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) e 2z + 2e z + = b) cos z = 2 c) z 4 = 8. Prueba las siguientes igualdades: a) sen 2z = 2 sen z cos z z C b) e jz = e y z = x + jy C c) sen z = sen z z C 9. Halla a) ln( j) b) ( + j) j c) Re( j) +j. Estudia la analiticidad de las siguientes funciones: a) f(z) = sen z b) f(z) = Ln z Arg z ( π, π] c) f(z) = 3z 2 + d) f(z) = z e z e) f(z) = z2 z 3 f ) f(z) = 2 e z g) f(z) = z 2 +2z+2 3

14 . Calcula f(z)dz, siendo γ Integración Compleja a) f(z) = z Im(z 2 ) y γ el arco de la circunferencia z = desde z = hasta z z = j. b) f(z) = e z 2 Re(z) y γ el segmento que une z = y z 2 = + j. c) f(z) = e z y γ es el segmento de extremos j y + j 2. Sea γ la circunferencia z a = r donde a es un punto del plano complejo y r es un número real positivo. a) Demuestra por cálculo directo que si n es un entero y γ se recorre en sentido positivo entonces γ dz (z a) = n b) Utiliza el apartado anterior para calcular N γ k= N 2πj si n = si n A k (z a) k dz donde γ es una circunferencia centrada en a y recorrida en sentido positivo. 3. Sea a un punto del plano complejo y R un número real tal que R > a. Sea γ R la circunferencia z = R recorrida en sentido positivo. a) Demuestra, sin calcular la integral, que dz z 2 a 2 γ R b) Deduce del apartado anterior que lím R γ R 4. Sean f(z) = 2z +, g(z) = Re z y h(z) = cos z 2πR R 2 a 2 dz z 2 a 2 = a) Determina la región donde es analítica cada una de las tres funciones anteriores. 4

15 b) Tienen sentido las expresiones Por qué? 2j f(z)dz, 2j g(z)dz, 2j h(z)dz? c) Calcula las integrales anteriores siempre que tengan sentido. d) Calcula γ f(z)dz, γ g(z)dz, γ h(z)dz donde γ es la circunferencia z = recorrida en sentido positivo. 5. La función f(z) = z 2 a) Determina los valores A y B admite la descomposición en fracciones simples f(z) = A z + B z + b) Comprueba que A = lím z (z )f(z) B = lím z (z + )f(z) c) Utiliza la descomposición anterior para calcular f(z)dz en cada uno de los siguientes casos ) γ es la circunferencia z = 2 2) γ es la circunferencia z = 3) γ es la circunferencia z + = 4) γ es la circunferencia z 2 j = γ 6. Halla el desarrollo en serie de potencias de z de la función + z z f(z) es representable por la serie. y hallar la región donde 7. Descomponiendo en fracciones simples prueba que si < z < 2 z (z )(z 3) = 2(z ) 3 5 n= (z ) n 2 n+2

16 8. El punto z es un cero de orden k para la función f(z) y es un cero de orden l para la función g(z). Qué es el punto z para las siguientes funciones? a) f(z) g(z) b) f(z) + g(z) c) f(z) g(z) 9. Halla el orden de todos los ceros de las funciones a) sen z b) cos 3 z c) ( e z )(z 2) 2. Determina el orden de los polos y el valor de sus residuos correspondientes de las siguientes funciones. a) 5z 2 z 2 b) ch z z 3 c) e2z d) z 4 e 2z (z ) 2. a) Sea f(z) analítica en la región que limita una curva cerrada y simple γ. Sea z un cero de orden m de f(z) en el interior de γ. Demuestra que si f(z) z z entonces b) Cuál es el valor de 2πj en la región que limita γ? γ f (z)dz f(z) f (z) 2πj γ f(z) dz = m si f(z) tiene N ceros y todos ellos simples simples 2. Halla Ị(a) = C a e z z 2 +π 2 con a R a kπj, k entero y C a la frontera de orientada en sentido positivo. D a = {(x, y) R 2 / < x <, a < y < a + π} 6

17 3. Sea γ la circunferencia centrada en el origen y de radio 7. Calcula 4. Calcula γ + z cos z dz. a) + x 6 dx b) c) d) e) f ) g) (x 3) 2 (x 2 + 9)(x 2 + 6) dx x (x 2 + 4x + 3) 2 dx x sen x + x 2 dx sen x x(x 2 + ) 2 5. a) Sea f(z) = f(z)dz γ sen(x ) (x )((x ) 2 + 4) dx sen at dt con a, b R {} t(t 2 + b 2 ) ( jz + z2 2! + j z3 3! + e jz ) z 5 y sea γ el contorno de la figura. Calcula: b) Sabiendo que lím f(z)dz = πj R ɛ Γ ɛ Siendo R el residuo en z = de f(z) y sabiendo que: lím R Γ R f(z)dz = 2 + x cos x Calcula: dx y 2x 5 6x + x sen x dx 6x 5 7

18 6. Teniendo en cuenta que lím e (jz2) dz =, donde Γ R es el arco de circunferencia limitado por los puntos R y R e j π/4 recorrida en sentido positivo y que e x2 dx = R Γ R π 2, utiliza el contorno de la figura y la función f(z) = e jz2 para calcular las integrales a) cos x 2 dx b) sen x 2 dx 8

19 Transformada de Fourier. Calcula la transformada de fourier de las funciones: a) f(t) = u(t) u(t ) b) g(t) = e at u(t) (a > ) c) h(t) = e t [u(t) u(t )] d) i(t) = t e t u(t) 2. Calcular la transformada de Fourier de las siguientes funciones: [ ( ) ( )] a) f.(t) = cos ω t u t + 2π ω u t 2π ω b) g(t) = e t sen ω t u(t) c) h(t) = e t2 d) i(t) = t e t2 3. Hallar la transformada de Fourier de la función cuya gráfica es la indicada en la figura 4. Hallar la transformada de Fourier de la función f(t) = u( t ) y aplicar el resultado para calcular la siguiente integral: sen t dt t 5. Hallar la transformada inversa de las siguientes funciones: a) F (ω) = ω 2 + jω + ( ) 2 b) g(ω) = (a > ) (a + jω) 9

20 6. Utilizando el teorema de los residuos, calcula la transformada de Fourier de: a) f(x) = t t 3 + t b) f(x) = (t 2 + 2)(t + 2) 7. Sabiendo que F(e αt u(t)) =, (α > ) y utilizando la propiedad de la convolución α + jω de la transformada de Fourier, hallar la transformada inversa de Fourier de la siguiente función H(ω) = + jω 2 + jω 2

21 . a) Consideremos la función PROBLEMAS DE EXÁMENES f(x, y) = 4xy x 2 +y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) i) Estudia la continuidad de f en el punto (, ) ii) Estudia si existe la derivada direccional de f en el punto (, ) según la dirección ( ) del vector 2, 2 b) Halla la ecuación del plano tangente a la superficie z = 5 + 3x 4y 3x 2 2y 2 en el punto (,, 7). c) Consideremos la función f(x, y) = x 3 3xy + y 3 calcula los puntos críticos de f y estudia si son máximos, mínimos o puntos de silla. d) Se consideran las funciones f : R 2 R 2 y g : R 2 R definidas por: f(x, y) = (x sen y, xy 2 ) g(u, v) = 2uv + 4 Calcula la matriz jacobiana de la función g f en el punto (, 2). 2. Si una función f y sus derivadas parciales primeras son continuas en una región cerrada R del plano xy, entonces el área de la superficie z = f(x, y) sobre R viene dada por la expresión: ( ) 2 ( ) 2 f(x, y) f(x, y) + + dx dy x y R Si la función f(x, y) corresponde al paraboloide: f(x, y) = + x 2 + y 2 y la región R es el círculo de radio unidad y centro (, ); se pide: a) Verifica que es posible la utilización de la fórmula indicada. b) Expresa la correspondiente integral doble en coordenadas cartesianas con sus correspondientes límites de integración. c) Expresar dicha integral en coordenadas polares y resolverla. 2

22 3. a) Determinar las singularidades de la siguiente función compleja de variable compleja y clasificarlas b) Calcular la siguiente integral f(z) = (z2 )(z 2) 3 ( + z 2 )(sen πz) 2 γ e z dz (z 2 + π 2 ) 2 siendo γ la circunferencia centrada en el origen de radio 4, recorrida en sentido positivo. 4. a) Dada f(x, y) = x cos 3y y 2 sen x i) Calcula las derivadas parciales de f en el punto (π, ). ii) Calcula la derivada direccional de f en el punto (π, ) según la dirección del ( ) vector 2 5, 5 b) Consideremos la función f(x, y) = x 3 + y 3 3x 2y + 2 calcula los puntos críticos de f y estudia si son máximos, mínimos o puntos de silla. c) La ecuación y 3 + y 2 5y x =, define a y como función implícita de x en el punto (2, ). Calcula la recta tangente a esta función en dicho punto. d) Se considera las funciones f : R 2 R 2 y g : R 2 R 2 definidas por: f(x, y) = (x 2 y 4, x 3 y 3 + 4xy 2 ) g(u, v) = (u sen v, u cos v) Calcula la matriz jacobiana de la función g f en el punto (2, ). 5. Dada la integral doble. siendo R el triángulo limitado por: R y x 2 + y 2 dxdy y = x, y = 2x, x = 2 Se pide: 22

23 a) Expresar dicha integral como integral reiterada en los dos posibles órdenes, utilizando coordenadas cartesianas y resolverla por el que sea más conveniente. b) Expresar y resolver la misma integral en coordenadas polares. 6. a) Probar que si θ es real: Re[ln( + e iθ )] = ln 2 cos θ 2 si eiθ b) Demostrar que si n N 2π e cos θ cos(nθ sen θ)dθ = 2π n! considerando la integral compleja z = e z dz zn+ 7. Se considera la función x2 y 2 si (x, y) (, ) x f(x, y) = 2 +y 2 si (x, y) = (, ) a) Estudia la continuidad de f en (, ). b) Calcula las derivadas parciales de f en (, ). c) Estudia la diferenciabilidad de f en (, ). d) Sea g : R 2 R 2 definida de la forma g(x, y) = (x 2 +, 2 x + y). Estudia la diferenciabilidad de g y calcula el jacobiano f g en el punto (, ). ( 8. a) Calcula la integral del campo vectorial F (x, y) = y x + ) 2 x, a lo largo del arco x de la circunferencia con centro en (2, 2) y radio, orientado positivamente, que une los puntos (3, 2) y (2, 3). b) Sea T el triángulo limitado por las rectas y = x, y = x, y =. ) Expresa g(x, y)dxdy como integral reiterada en los dos órdenes posibles. T 23

24 2) Expresa la integral anterior en coordenadas polares. 9. Sea f(x, y) = x 4 2x 2 y 2 +2 y sea g(t) una función derivable que satisface las condiciones g 2 (t) + e g(t) = t y g() =. a) Calcula la derivada direccional de f(x, y) en el punto (, 2) en la dirección del vector (, 3). b) Calcula, si existen, los puntos de silla de f(x, y). c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g(t) en el punto (, ). d) Halla el valor máximo de la derivada direccional de g f(x, y) en el punto (, ).. Sea f(x, y) = ( 3x + axy + 2y x 2 + y 2, ) bx + 3y x 2 + y 2 donde a y b son constantes reales, y sea Ω el semiplano superior de R 2, Ω = {(x, y) R 2 : y > }. a) Determina a y b de manera que f sea conservativo en Ω. b) Para los valores a y b del apartado anterior, halla F (x, y) tal que F (x, y) = f(x, y), (x, y) Ω. c) Para los valores a y b calculados en el apartado (a), calcula la integral de f a lo largo de la curva de ecuación x = cos(t) y = 2 + sen(t) π 2 t π 2.. Sean g(z) y h(z) funciones analíticas en todo el plano complejo y sean α y β números complejos distintos tales que α < y β <. Sabiendo que g(z) tiene un cero de orden N en α y que h(z) tiene un cero de orden M en β y que, además, g(z) si z α y h(z) si z β, 24

25 a) Demuestra que la función f (z) g(z), donde f(z) =, es analítica en todo el plano f(z) h(z) excepto en α y β. b) Calcula f (z) dz siendo γ la circunferencia de centro cero y radio recorrida 2πj γ f(z) en sentido positivo. 25