ANALISIS II 12/2/08 COLOQUIO TEMA 1

Transcripción

1 ANALISIS II //08 COLOQUIO TEMA Sea f : R R un campo vectorial C y C la curva parametrizada por: γ(t) = (cost, 0, sent) con t ɛ [0, π] Sabiendo que C f ds = 6 y que rot( f( ) = (z, ), calcular la integral de línea de f a lo largo del eje x desde (, 0, 0) hasta (, 0, 0) Sean el campo vectorial f( = (x, y S la superficie de potencial 5 del campo f que pasa por el (,, ) Calcular el flujo de f a través de S, si la densidad en cada punto es propor- x y Calcular la masa del cuerpo definido por: x + z 4 z 0 cional al producto de las distancias a los planos xz e yz 4 Sea el campo vectorial f( = (, xϕ( ) siendo ϕ( una función C Calcular el flujo de f a través de la superficie de ecuación y = x con z x y en el primer octante Indique en un gráfico la orientación del vector normal que ha elegido 5 Hallar la curva plana que pasa por (, 5) y satisface que en cada punto de coordenadas ( la recta tangente se interseca con el eje x en un punto de abscisa x ANALISIS II //08 COLOQUIO TEMA Sea f : R R un campo vectorial C y C la curva parametrizada por: γ(t) = (0, cost, sent) con t ɛ [0, π] Sabiendo que C f ds = 6 y que rot( f( ) = ( z, ), calcular la integral de línea de f a lo largo del eje y desde (0,, 0) hasta (0,, 0) Sean el campo vectorial f( = ( y, y S la superficie de potencial 5 del campo f que pasa por el (,, ) Calcular el flujo de f a través de S, si la densidad en cada punto es propor- y x Calcular la masa del cuerpo definido por: y + z 4 z 0 cional al producto de las distancias a los planos xz e yz 4 Sea el campo vectorial f( = (, yϕ( ) siendo ϕ( una función C Calcular el flujo de f a través de la superficie de ecuación x = y con z x y en el primer octante Indique en un gráfico la orientación del vector normal que ha elegido 5 Hallar la curva plana que pasa por (, 4) y satisface que en cada punto de coordenadas ( la recta tangente se interseca con el eje y en un punto de ordenada y

2 ANALISIS II 9//08 COLOQUIO TEMA Hallar el área de la porción de superficie z = x + y con x + y y Sea el campo vectorial f( = (P (, Q(, con P ( y Q( pertenecientes a C Calcular el flujo de f a través del paraboloide de ecuación:z = 9 x y con 8 z 9 Indicar en un gráfico la orientación del vector normal elegido Dada la curva C parametrizada por: β(t) = (5(sent), 5(cost) ), con 0 t π y sea f( = ((y + )e x ye x x) Hallar la integral de línea de f sobre C 4 Sea f : R R un campo C con rot( f) = ( zx + zsen(, zcos(x), x + y + z ) calcular el flujo dicho rotor sobre la semiesfera superior de radio centrada en el origen orientada con normal de componente z positiva 5 Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de parábolas de eje vertical con vértice en (, ) Graficar ambas familias ANALISIS II 9//08 COLOQUIO TEMA Hallar el área de la porción de superficie z = 4 x + y con x + y x Sea el campo vectorial f( = (P (, Q(, con P ( y Q( pertenecientes a C Calcular el flujo de f a través del paraboloide de ecuación: z = 4 x y con z 4 Indicar en un gráfico la orientación del vector normal elegido Dada la curva C parametrizada por: β(t) = (5(sent), 5(cost) ), con 0 t π y sea f( = (xe y (x + )e y x) Hallar la integral de línea de f sobre C 4 Sea f : R R un campo C con rot( f) = ( zx + zcos(, zsen(x), x + y + z ), calcular el flujo dicho rotor sobre la semiesfera superior de radio centrada en el origen orientada con normal de componente z positiva 5 Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de parábolas de eje vertical con vértice en (, ) Graficar ambas familias

3 ANALISIS II 6//08 COLOQUIO TEMA Calcular el volumen del cuerpo definido por: x + y + z 4 x + y x en el primer octante y x Sea f( = (x ) y una función, de manera que x + y z f( define un cuerpo V en R Demostrar que el volumen del cuerpo V es la tercera parte del valor del flujo del vector posición r = ( a través de la superficie gráfica de f( con x + y f( Indique en un gráfico el sentido del vector normal elegido Si y = y(t) denota el número de habitantes de una población en función del tiempo, se denomina tasa de crecimiento de la población al cociente y y Graficar y(t) en el caso en que la tasa de crecimiento sea constante Supongamos que una población tiene tasa de crecimiento constante En un instante determinado t 0 la cantidad de individuos es de 000 mientras que 6 meses después es de 00 Cuántos individuos habrá 0 años después del instante t 0? 4 Calcular la circulación del campo F ( = (z y + x) a lo largo de la curva frontera de la superficie x + y = x con 0 z 6 x en el primer octante Indicar en un gráfico el sentido de circulación elegido 5 Calcular el trabajo que realiza la fuerza F( = (xsen(y, zx cos(z, yx cos(z)para mover una partícula a lo largo de la curva C intersección del cono z = (x ) + y con el plano z = 6 y ANALISIS II 6//08 COLOQUIO TEMA Calcular el volumen del cuerpo definido por: x + y + z 4 x + z x en el primer octante z x Sea f( = x (y ) una función, de manera que x + y z f( define un cuerpo V en R Demostrar que el volumen del cuerpo V es la tercera parte del valor del flujo del vector posición r = ( a través de la superficie gráfica de f( con x + y f( Indique en un gráfico el sentido del vector normal elegido Si y = y(t) denota el número de habitantes de una población en función del tiempo, se denomina tasa de crecimiento de la población al cociente y y Graficar y(t) en el caso en que la tasa de crecimiento sea constante Supongamos que una población tiene tasa de crecimiento constante En un instante determinado t 0 la cantidad de individuos es de 00 mientras que 6 meses después es de 00 Cuántos individuos habrá años después del instante t 0? 4 Calcular la circulación del campo F ( = (z z, y + a lo largo de la curva frontera de la superficie x + y = y con 0 z 6 y en el primer octante Indicar en un gráfico el sentido de circulación elegido 5 Calcular el trabajo que realiza la fuerza F( = ( zy sen(zx), ycos(zx), xy sen(zx))para mover una partícula a lo largo de la curva C intersección del cono z = x + (y ) con el plano z = 6 x

4 Calcular la integral de línea del campo F ( = (x x ) desde (, 0) hasta (, 6) a lo largo de la curva C solución particular de la ecuación diferencial y y x = que pasa por dichos puntos Calcular el flujo del campo F ( = (0, sen(x + cos(, y ) a través del semielipsoide superior x +y +z = 6, z 0 considerando la normal de componente z positiva Sea el campo vectorial F ( = c r, donde c es un vector constante y r es el vector posición Demostrar que la circulación de F a lo largo de una curva cerrada simple y suave Γ es proporcional al flujo de c a través de toda superficie suave y orientable que tenga como borde a Γ 4 Describa en coordenadas cartesianas la región en R definida en coordenadas cilíndricas por y calcule su volumen 0 θ π 0 ρ tan θ sec θ 0 z ρ 5 Hallar los extremos de f( = x + y + z restringida a la curva dada por las ecuaciones: { (x ) 4 + y 5 = x + z =

5 UBA /7/08 Análisis II Coloquio Tema Sea F = f, siendo f ( = x + y + z g( x con g C en R Calcular el flujo de F a través de la superficie definida por : x + y = 4 en el º octante, 0 z 8 Indicar en un gráfico la orientación elegida para la superficie Sea δ = S S siendo S : x + y + z = S : σ ( ρ, θ ) = ( ρ cosθ, ρsenθ, ρ) 0 θ π, 0 ρ Hallar los puntos de la curva δ que están más cerca del punto P = (,0, ) Hallar la familia de trayectorias ortogonales a las curvas de nivel de la función f ( = x + y Graficar la curva de nivel y la trayectoria ortogonal que pasa por (, ) 4 Calcular el área encerrada por la curva C definida por: α :[,] R, α ( t) = ( t 4t, t 4) Sugerencia: Graficar C 5 Sea ω el cuerpo limitado por la porción de superficie de ecuación x + y + z = que se encuentra en el º octante, y los planos coordenados Determinar los valores de a, b R para los cuales el flujo de F ( = ( axz, bx, x ) a través de la frontera de ω, con normal exterior, es igual a π UBA /7/08 Análisis II Coloquio Tema Sea F = f, siendo f ( = x + y + z g( x con g C en R Calcular el flujo de F a través de la superficie definida por : x + y = en el º octante, 0 z 4 Indicar en un gráfico la orientación elegida para la superficie Sea δ = S S siendo S : x + y + z = 8 S : σ ( ρ, θ ) = ( ρ cosθ, ρsenθ,4 ρ) 0 θ π, 0 ρ 4 Hallar los puntos de la curva δ que están más cerca del punto P = (,0, ) Hallar la familia de trayectorias ortogonales a las curvas de nivel de la función f ( = x + 4y Graficar la curva de nivel y la trayectoria ortogonal que pasa por (, ) 4 Calcular el área encerrada por la curva C definida por: α :[,] R, α ( t ) = ( t 4, t + 4t) Sugerencia: Graficar C 5 Sea ω el cuerpo limitado por la porción de superficie de ecuación 4x + y + z = que se encuentra en el º octante, y los planos coordenados Determinar los valores de a, b R para los y cuales el flujo de F( = (ze, ax, bz + ) a través de la frontera de ω, con normal exterior, es igual a π

6 UBA 7/7/08 Análisis II Coloquio Tema Calcular el área de la porción de cono x + y = z, interior al cilindro parametrizado por 0 u π σ ( u, v) = (cosu, + senu, v) 0 v 0 x Hallar y clasificar los extremos de la función f ( = y en la región D = ( R / y = x; x + y { } Sean la curva C : γ ( t ) = (cost, sent, sent) con 0 t π, y el campo F C en rotf = ( z,0, x) Calcular la circulación de F a lo largo de γ, orientada de manera que su vector tangente en ( 0, ) tenga coordenada x negativa Sugerencia: Exprese C como intersección entre dos superficies 4 Sea F ( = (xy,x z ) Qué radio debe tener una esfera centrada en el origen para que el flujo de F, hacia el exterior de dicha esfera, sea igual a 6 veces el volumen de la misma? 5 Sea γ la solución del problema de valor inicial ( x + xy ) dx + ( x y + y ) dy = 0, y ( ) = 0 Calcular la circulación del campo f ( = ( y + x, x + y sen a lo largo de la curva γ entre los puntos P 0 = (,0 ) y P = (,0) UBA 7/7/08 Análisis II Coloquio Tema Calcular el área de la porción de cono x + y = z, interior al cilindro parametrizado por 0 u π σ ( u, v) = ( + cosu,senu, v) 0 v 0 y Hallar y clasificar los extremos de la función f ( = x en la región D = ( R / y = x;x + y { } Sean la curva C : γ ( t ) = (cost, sent,cost) con 0 t π, y el campo F C en rotf = ( z,0, Calcular la circulación de F a lo largo de γ orientada de manera que su vector tangente en (,0, ) tenga coordenada y positiva Sugerencia: Exprese C como intersección entre dos superficies 4 Sea F ( = (4xy,4z 4x Qué radio debe tener una esfera centrada en el origen para que el flujo de F, hacia el exterior de dicha esfera, sea igual a 5 veces el volumen de la misma? 5 Sea γ la solución del problema de valor inicial ( x + xy ) dx + ( x y + y ) dy = 0, y ( 0) = Calcular la circulación del campo f ( = ( y + x sen x + y ) a lo largo de la curva γ entre los puntos P 0 = (0,) y P = (0, )

7 UBA 6/7/08 Análisis II Coloquio Tema x y Hallar la curva solución de la ecuación y' = cuya recta tangente en (, y ()) es paralela a x la recta de ecuación y x = Calcular la masa de la porción de superficie cónica z = x + y con 0 z ; y x, siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia al plano xy Hallar el volumen del cuerpo Κ definido por x x + y + z + ( y ) z 0 4 Sea F ( = (, Q(, R( ) un campo vectorial 4 C en rotf( ) = ( ) Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva C parametrizada por γ ( t ) = (cost, sent,), 0 t π de forma que la tangente en cada punto tenga coordenada x negativa 5 Sea f ( = ( P(, Q(, h( ) un campo vectorial y h( = h( C en Sea S la superficie dada por x + y = con z Calcular el flujo de f a través de S considerando la normal alejándose del eje z div f = + x y UBA 6/7/08 Análisis II Coloquio Tema x y Hallar la curva solución de la ecuación y' = cuya recta tangente en (, y ()) es paralela a x la recta de ecuación y + x = Calcular la masa de la porción de superficie cónica 4z = x + y con 0 z ; y x, siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia al plano xy Hallar el volumen del cuerpo Κ definido por x x + y + z + ( y ) z 0 4 Sea F ( = (, Q(, R( ) un campo vectorial 6 4 C en rotf( ) = ( ) Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva C parametrizada por γ ( t ) = (cost, sent,), 0 t π de forma que la tangente en cada punto tenga coordenada x negativa 5 Sea f ( = ( P(, h(, R( un campo vectorial y h( = h( C en Sea S la superficie dada por x + z = con y Calcular el flujo de f a través de S considerando la normal alejándose del eje y div f = + x z

8 UBA 6/8/08 Análisis II Coloquio Tema ( x Calcular la circulación del campo f ( = ( e ) a lo largo de la frontera de la región {( R / x + y 4, x } D = y Dado el campo f ( = ( e x, hallar la línea de campo que pasa por el punto (,e) Sea π el plano tangente a la superficie de ecuación x + y + z = 4 en el punto (,, ) Hallar la x circulación del campo F( = ( x y, yz ) a lo largo de la curva C dada por la 4 intersección del plano π y los planos coordenados Indique en un gráfico la orientación elegida para la curva C z 4 Hallar el flujo del campo F( = ( x + e, sen( x + yx + a través de la frontera del cuerpo {( R / z x + y ; x + y + z 4; 0 } K = z, considerando normal saliente 5 Sea f R : R C en R y A, B : i) f tiene extremo local en el punto A ii) T ( = + x y es el polinomio de Taylor de grado dos de f en el punto B Calcular la circulación del campo G ( = ( f xx, f xy ) a lo largo del segmento AB en el sentido de A hacia B UBA 6/8/08 Análisis II Coloquio Tema ( x Calcular la circulación del campo f ( = ( e, a lo largo de la frontera de la región {( R / x + y, x } D = y Dado el campo f ( = ( e x +, hallar la línea de campo que pasa por el punto (,-e) Sea π el plano tangente a la superficie de ecuación x + y + z = 4 en el punto (,, ) Hallar la y circulación del campo F( = ( y + x, x a lo largo de la curva C dada por la 4 intersección del plano π y los planos coordenados Indique en un gráfico la orientación elegida para la curvac z 4 Hallar el flujo del campo F( = ( x + sen( z, e + yx + a través de la frontera del cuerpo {( R / z x + y ; x + y + z 8; 0 } K = z, considerando normal saliente 5 Sea f R : R C en R y A, B : i) f tiene extremo local en el punto A ii) T ( = + x + y es el polinomio de Taylor de grado dos de f en el punto B Calcular la circulación del campo G ( = ( f xx, f xy ) a lo largo del segmento AB en el sentido de A hacia B

9 UBA /8/08 Análisis II Coloquio Tema Sean h : R R C en R y el campo f ( ( y h( x),x h( x)) Determinar h(x) para que f admita función potencial = tal que f ( 0,) = (0,0) Hallar a > 0 de manera que el flujo del campo F ( = (x + sen(, x + a través de la frontera del cuerpo K = {( R / x + y a;0 z a x ; y a } considerando la normal a saliente, sea igual a 0 Sea g : R R C en R y sea F( (, g' y (, x y + g' z ( ) = Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva C = {( / x 4y + z = 0; y = } orientada de forma que el vector tangente en el punto ( 0,, ) tenga componente x negativa 4 Hallar la masa de un alambre cuya forma coincide con la de la curva C = {( R / x + y = 4; z = x } en el primer octante, siendo la densidad en cada punto proporcional al producto entre sus distancias a los planos x = 0 e y = 0 5 Hallar los puntos de la curva x + y 4x y + 4 = 0 más cercanos al origen de coordenadas UBA /8/08 Análisis II Coloquio Tema Sean h : R R C en R y el campo f ( = (y h(, xh( ) tal que f (,0) = (0,0) Determinar h( para que f admita función potencial Hallar a > 0 de manera que el flujo del campo F ( = (y + sen(, x + a través de la frontera del cuerpo K = {( R / x + y a; 0 z a y ; x a } considerando la a normal saliente, sea igual a 4 Sea g : R R C en R y sea F( ( g' x (,, y x + g' z ( ) = Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva C = {( / 4x + y + z = 0; x = } orientada de forma que el vector tangente en el punto (,0,) tenga componente y negativa 4 Hallar la masa de un alambre cuya forma coincide con la de la curva C = {( R / x + y = 9; z = y } en el primer octante, siendo la densidad en cada punto proporcional al producto entre sus distancias a los planos x = 0 e y = 0 5 Hallar los puntos de la curva x + y x 4y + 4 = 0 más cercanos al origen de coordenadas

10 a) Hallar una parametrización de la curva intersección entre las superficies z = y x + y = b) Hallar la circulación del campo F = ( Q(,9, Q( ) a lo largo de la curva descripta en a) entre los puntos P = (,, ) y P (,, ) = si se sabe que el valor de Q ( sobre el segmento que une dichos puntos es Sea D la región en R, D = ( / x + y 4, a( x + 4) z con a R Demostrar que el flujo del campo vectorial f ( = (0,0, x + y ) sobre la tapa inferior de la región D es independiente del valor de a y calcular su valor indicando el sentido de la normal utilizada Hallar las curvas que satisfacen que en todo punto x, ), su recta tangente y 0 ( 0 y0 corta al eje y en el punto (0, ) 4 Sea R = ( / x + y 6, y Calcular el área de R integrando un campo vectorial conveniente a lo largo de su curva frontera 5 Hallar el punto sobre la curva en R definida por ( x + ) + ( y ) = que haga mínima la circulación del campo vectorial f ( = ( desde el origen hasta dicho punto

11 Sea C la curva en R parametrizada por ( t ) = ( t, t,t ) t 5,5 a) Demostrar que la curva está contenida en un plano b) Calcular la circulación del campo vectorial f ( = ( e z ) a lo largo de C α con [ ] Hallar h > 0 de manera que el flujo del campo f ( = ( y + z,4z x) a través de la frontera del cuerpo definido por: h x + y z + h x y sea 4 π, considerando la normal exterior Sea D R una región cerrada y acotada cuya frontera es la curva regular C Dado el campo f ( = ( xy + Q( x)) con Q(x) C en R, hallar Q (x) de modo que: la circulación de f a lo largo de C, recorrida en sentido positivo, sea igual al triple del área de D f (,) = (4,0) 4 Hallar la distancia del origen a la curva x + y = C : x z = 5 Calcular la masa de la porción de superficie cónica 4z = x + y con 0 z ; x y, sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a su distancia al plano xy