Tema 4A: Integración Doble ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

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1 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 4A: Integración Doble FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 Halle el área total encerrada por la curva: Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ( ) ( )( ) Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del área pedida. BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de

2 Ejemplo (pp ) del Cap. 15 del Libro de Texto Dado que en la curva aparecen términos del tipo, lo más juicioso es pasarla a polares, obteniéndose: El área pedida viene dada por: ( ) [ ] Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

3 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 4A: Integración Doble FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 Y RESPUESTA AL EJERCICIO: Hallar, mediante integración doble, el volumen del sólido definido por las superficies: y el cilindro cuya sección es una circunferencia de radio unidad y cuyo eje es la recta. Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del dominio de integración y del volumen pedido. BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de

4 Ejemplo 4 (p. 105) del Capítulo 15 del Libro de Texto Las superficies que limitan el volumen pedido son el plano, el paraboloide y el cilindro ( ). El dominio de integración es la proyección sobre el plano del cilindro, es decir el círculo limitado por la circunferencia y ( ). Dada la geometría del dominio de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda: Entonces, el volumen pedido viene dado por: ( ) [ ] ( ) ( ( )) Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

5 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 4b: Integrales Triples FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 Calcula la integral triple de cortar el cilindro y E Y RESPUESTA AL EJERCICIO: z dv siendo E la cuña situada en el primer octante que resulta z 1 por los planos y x y x 0. El sólido está limitado en su parte posterior por el plano x = 0 y al frente por el plano y = x. Sea R la proyección sobre el plano xy. Se integra primero sobre z. La integración sobre R se puede hacer primero sobre x y luego sobre y. E ( x, y, z) / 0 y 1, 0 x y, 0 z 1 y E 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y z 1 y z dv z dz dx dy dx dy dx dy y y x 0 dy y y dy También se puede proyectar sobre yz. E ( x, y, z) / 0 y 1, 0 z 1 y, 0 x y yz 1 1 z dv z dx dz dy zx dz dy dy y y dy y y 1 1 y y E 1 y Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 1

6 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 4b: Integrales Triples FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 Y RESPUESTA AL EJERCICIO: Mediante integral triple calcula el volumen del tetraedro acotado por los planos x 0, y 0, z 0, x y z 4 b g( x) u( x, y) Fórmula: dv dzdxdy E( x, y, z) ( x, y, z) / 0 x, 0 y 4 x, 0 z 4 x y E a g1( x) u1( x, y) 4 x 4 x y 4 x 4xy 4 x Volumen dzdxdy z dydx (4 x y) dydx x y x 16 4y xy dx 8 8x x dx 8x 4x También se hubiese podido calcular como integral doble: Volumen bajo la gráfica de z 4 x y y por encima de D ( x, y) / 0 x, 0 y 4 x 4x 4x y 16 V f ( x, y) da V (4 x y) dydx (4 x y) dydx 4y xy dx D D Finalmente de forma geométrica: x x x 1 V y y y 6 z z z A B C A B C A B C V Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 1

7 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 5A: Análisis vectorial FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Dado el campo de fuerzas F( x, y) y 1,xy 1 Y RESPUESTA AL EJERCICIO: a) Es F conservativo? Hallar la función potencial U del campo vectorial F (1 punto) b) Hallar el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto (0,0) al punto (,0) a lo largo de la semicircunferencia x 1 y 1 con y 0 (1 punto) c) Hallar el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa (0,5 puntos) Solución: a) Al ser F conservativo la integral F es de clase C 1, R es estrellado y F1 F y. Luego F es conservativo. Al ser conservativo la integral no y x depende del camino recorrido. Por tanto, se puede calcular la función potencial U a partir de F U F 1 ( ) 1 y 1 U y dx xy x h y x h ( y) 1 h( y) y C U U F ( ) 1 xy 1 xy h y xy F y y U U x, y xy x y C Luego, b) Al ser el campo F conservativo el trabajo no dependerá del camino seguido sino únicamente del punto inicial y final. (0,0) (,0) (,0) 1 1 (0,0) W F dx F dy F dx F dy U,0 U 0,0 0 C c) Por ser F conservativo, por tratarse de una curva cerrada, el trabajo será nulo. Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1

8 Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje Tema 5A: Análisis vectorial FECHA: 8/05/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 Y RESPUESTA AL EJERCICIO: 1.- Se considera el campo vectorial F( x, y) (x y xy, x yx y). Calcular la circulación de F sobre la curva C de la figura, que va del punto (0,0) al punto (,), por dos métodos diferentes: (,5 puntos) Solución: Ahora, considerando que F=grad(U), siendo U la función potencial U xy F1 x y xy U x y xy dx x y h( y) x y h ( y) y h( y) C U U F x yx y x x y h ( y) x yx y F y y (,) W F dx F dy F dx F dy U, U 0, 0 C 1 1 (0,0) Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1