NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.

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1 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta eplicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. URSO JUNIO URSO Dado el campo vectorial F ( 1) i( z y) j yk, se puede afirmar que: A) F es un campo conservativo. B) F rot G, es decir, F es un campo rotacional de otro. ) div F =. D) Ninguna de las anteriores. Resolver la integral I= ( sen y). d ( cos y 3 y ). dy; a lo largo de los siguientes caminos: AB a) La trayectoria rectilínea que va desde el punto A( 1, 0) hasta el punto B(5, 1). b) La línea quebrada compuesta por dos tramos rectilíneos: el primer tramo es el que une el punto A(-1, 0) con el punto (5,0) y el segundo tramo une el punto (5, 0) con el punto B(5, 1). c) La circunferencia 1 de ecuación +(y-) =9, recorrida en en sentido antihorario. d) d) La elipse de ecuación y 1, recorrida en sentido antihorario 4 9 SEPTIEMBRE URSO La longitud del alambre que tiene la forma de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son se puede afirmar que vale: t y t t0,3 z t1 a) Longitud = 3 6 unidades Pág.1

2 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN b) Longitud =18 unidades c) Longitud = 3 unidades d) Ninguna de las anteriores. 4 y Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas E( y, ) i j y y para trasladar una partícula a lo largo de las siguientes curvas cerradas, recorridas en sentido antihorario: 1 el cuadrado de vértices (1, 0), (3, 0), (3, ) y (1, ) el triángulo de vértices (, 0), ( 1, 0) y (, 1) 3 el círculo de centro (0, 0) y radio 1. 5 y Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas E( y, ) i j y y para trasladar una partícula a lo largo de las siguientes curvas cerradas, recorridas en sentido antihorario: 1 el cuadrado de vértices (1, 0), (3, 0), (3, ) y (1, ) el triángulo de vértices (, 0), ( 1, 0) y (, 1) 3 el círculo de centro (0, 0) y radio 1. URSO BLOQUE 1 URSO Pon un ejemplo de un campo vectorial en el plano cumpliendo las características que se indican: Apunte horizontalmente hacia la izquierda en el primer y cuarto cuadrantes y hacia la derecha en el segundo y tercer cuadrantes, siendo su magnitud proporcional a la distancia al eje 0Y. c) Longitud = 3 unidades (A) Sea la curva definida por la ecuación vectorial r =(, t t), inventa un campo vectorial que sea perpendicular a la curva en todos sus puntos. (B) Sea el campo escalar f ( y, ) y. Halla su gradiente y las Pág.

3 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN líneas de flujo del gradiente. () Un alambre se etiende formando el segmento recto entre los puntos P 1, 1,1 y 3,1,5 Q. Su densidad de masa en cada punto (, yz, ) viene dada por la función (, yz, ). Halla la masa del alambre. 8 Los puntos en los cuales el gradiente de la función un vector paralelo al plano YOZ, verifican: A) 0. B) No eisten tales puntos. ) 4y z. D) Ninguna de las anteriores. U(, y, z) y z es 9 El valor de la integral yd dy t t r() t isen j, t 0,1, es:, siendo la curva definida por A) 1/4 B) 0 ) 1/4 D) Ninguna de las anteriores. JUNIO URSO Hallar el valor de la integral d y dy z dz, siendo el polígono cuadrado situado en el plano z 1, que tiene como vértices los puntos A(0,0,1), B(1,0,1), (1,1,1), D(0,1,1), recorriendo la curva en sentido antihorario (visto desde arriba). alcular la integral curvilínea hélice de ecuaciones paramétricas z d y dy z dz t cos t, y sent, z, desde el punto A (1, 0, 0) hasta el punto B (1, 0, )., siendo la Pág.3

4 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN SEPTIEMBRE URSO alcular, aplicando el teorema de Green, la integral I y d y dy, siendo la curva cerrada formada por los ejes coordenados y el cuadrante positivo de la circunferencia y 4, recorrida en sentido antihorario. URSO BLOQUE 1 URSO Dado el campo vectorial y, 4 3 9y 6y 3 6y 5 E i j. Se calcula el trabajo realizado por dicho campo vectorial para trasladar una partícula de masa unidad alrededor de la curva cerrada, que es la cardioide de ecuación r cos, recorrida en sentido antihorario: A) E d r π. B) E d r 0 ) E d r π D) Ninguna de las anteriores alcula, utilizando obligatoriamente el teorema de Green, el valor de la integral curvilínea y e y e K d dy donde es la curva cerrada que limita al rectángulo de vértices A(0, 0), B(, 0), (, 1) y D(0, 1), recorrida en sentido antihorario. Sea el campo vectorial yz y 1 z y 3z A0,,0, B,1,1 y la integral 1 3 pide: F i j k. Dados los puntos I yz y d z dy y z dz. Se Pág.4

5 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN Solución. Estudiar si el valor de la integral I depende del camino recorrido. Determinar si eiste la función potencial del campo vectorial anterior. Determinar el valor de I entre los puntos A y B anteriores. I no depende del camino recorrido porque F es un campo conservativo en todo La función potencial del campo F es f, y, z yz y z,, y, z I 1 JUNIO URSO El valor de la integral 0, 1, 1,0, 0,1, es: A) 1. B) 1. ). D) Ninguna de las anteriores. Encuentra el valor de la integral ( y) d ( y ) dy, siendo el triángulo de vértices I F dr siendo el campo = 1 1 z 1 F( yz,, )= z i j k y z y z y y cualquier curva suave que comienza en el punto P (1,,1) y termina en Q (,3, ), estando toda ella contenida en el primer octante. SEPTIEMBRE URSO Dado el campo vectorial, y, z ze cos y z ze sen y e cos y y 4z E i j k. Se puede afirmar que: A. Es un campo conservativo y su función potencial es f, y, z ze cosyzy. B. Es un campo conservativo y el trabajo que realiza para trasladar una Pág.5

6 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN partícula de masa unidad desde el punto A 0,0,0 hasta el punto B B 0,0, vale W 10. A. Es un campo conservativo y su función potencial es,, cos f y z ze y z. D. Ninguna de las anteriores. 19 Aplicar el teorema de Green para calcular la integral curvilínea y arc tg I y d e dy γ donde es la curva cerrada, recorrida en sentido antihorario, que rodea la región plana del primer cuadrante, limitada por: la hipérbola y 16, las rectas y, y 0, 8 SEPTIEMBRE URSO Dado el campo vectorial, y, z ze cos y z ze sen y e cos y y 4z E i j k. Se puede afirmar que: A. Es un campo conservativo y su función potencial es f, y, z ze cosyzy. B. Es un campo conservativo y el trabajo que realiza para trasladar una partícula de masa unidad desde el punto A 0,0,0 hasta el punto B B 0,0, vale W 10. A. Es un campo conservativo y su función potencial es,, cos f y z ze y z. D. Ninguna de las anteriores. Pág.6

7 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN URSO BLOQUE 1 URSO Sea un alambre que tiene la forma de un arco de la curva denominada cicloide, cuyas ecuaciones paramétricas son ; 1 cos ; 0, 0, a tsent y a t z t Si la densidad de masa en cada punto del alambre viene dada por la función, y y, la masa del alambre vale A. Masa = 8a. B. Masa = a a.. Masa = a. D. Ninguna de las afirmaciones es cierta. Encuentra el valor de la integral I F dr, siendo el campo = F 3 1 z ( yz,, )= 3y e 1 i j 1 z k y cada una de las siguientes curvas: a) El segmento rectilíneo que comienza en el punto P1,1, 1 y termina en el punto Q 3,1,1. b) La circunferencia situada en el plano z 4, cuya ecuación es y 8, recorrida en sentido antihorario, vista desde arriba. JUNIO URSO Obtener el valor de la integral K (1 y) ddy, a lo largo de la y elipse 1, recorrida en sentido antihorario. 4 Pág.7

8 Asignatura: álculo II PRUEBAS DE EVALUAIÓN 4 1 Sea el campo vectorial E( y, ) i j y y. Estudiar si E(, y) es conservativo, indicando el campo de validez de la función potencial, si eiste. alcular el trabajo realizado por dicho campo para trasladar una partícula a lo largo de las siguientes curvas: a) 1, la curva cerrada de ecuación antihorario. ( y) 1, recorrida en sentido b), el triángulo de vértices A(0, 1), B(0, ) y (1, 1), recorrido en sentido antihorario. c) 3, el arco de la parábola B(,5). y 1, desde el punto A(0,1) hasta el punto SEPTIEMBRE URSO Sea el campo vectorial F(, y)=( 1) i yj. Se pide: a) Estudia si F(, y)=( 1) i yj es conservativo, indicando el campo de validez de la función potencial, si eiste. b) alcula el trabajo realizado por dicho campo para trasladar una partícula a lo largo de las siguientes curvas: c) 1, la curva cerrada de ecuación antihorario. d), el arco de la parábola B(,5). y y 4 1, recorrida en sentido 1, desde el punto A(0,1) hasta el punto e) alcula el flujo del vector F (, y) que atraviesa la curva : r=cos t tisen tj, 0t en sentido saliente. 3 Pág.8