1 Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy

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1 Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. e sobreentiende que también se debe realizar el estudio de lo explicado en clase aunque no se incluya esa tarea en este documento. Clase de marzo Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy Escribe el código Matlab para representar una porción T del plano tangente a la superficie f xy, 9.x.y en el punto (,) sobre el rectángulo R siguiente,,5. Calcula el área de T y el área de R. Ayuda: Interpretación de la diferencial de superficie rficie.html Herramienta: Área de un paralelogramo y de su proyección efinición de la diferencial de superficie rficie.html Herramienta: iferencial de superficie Pág.

2 el tema sobre integrales de superficie realiza los siguientes ejercicios: Propuestos números, y. Resueltos números y Problema de examen Encontrar el área de la región de la esfera cilindro x y x x y z 9 limitada por el e trata de calcular el área de la esfera acotda por el cilindro, habrá que calcular la integral de superficie área d f x y f x y da = x(, ) y(, ) Pág.

3 z f x, y 9x y, cuya proyección sobre donde es la porción de esfera, de ecuación el plano XY es el interior de la circunferencia x y x que llamamos. ustituyendo, área = 9 x y dxdy escribiendo el dominio en coordenadas polares, r, / r cos la integral será cos / / cos / / 9 r área = r 9r drd d / / / / 8 sen d Clase de marzo Problema de examen Calcula el área de la lámina que tiene la forma de la superficie z x y limitada por los planos z, y x, x. Escribir la expresión que permite calcular la temperatura en la lámina si dicha temperatura es en cada punto proporcional al cuadrado de la distancia de dicho punto al eje OZ. f xy, x y, y llamando a la proyección de sobre el plano XY se Considerando tiene que el área pedida es ' ' x x área d f f dxdy Pág.

4 Como x x ' ' f f x y, y es un sector de la circunferencia de centro (,) y radio, utilizamos coordenadas polares ' ' x x área f f dxdy r r dr d / r r / 8 Para obtener la temperatura se deberá calcular r ' ',, x x T x y z d k x y f f dxdy k k r r r dr d r r dr Las instrucciones Matlab para calcular esta integral serían: >>syms k r >>k*pi/*int(r^*sqrt(+*r^),r,,) Observación: Esta última integral se puede calcular por partes aunque no se pide. u r du rdr / r r dr r dv r r dr v 8 / r 5/ r / / r / r r r dr r / Pág.

5 Con lo que el valor de la integral sería r r r / 5/ r k r / 5/ I r r r / k 7 5/ k el tema sobre integrales de superficie realiza los siguientes ejercicios: Propuestos números 5, 6, 7 y 8 7 Clase 6 de marzo Integral de superficie de un campo vectorial rficie.html Herramienta: Integral de superficie de un campo vectorial 8 el tema de integrales de superficie realizar los siguientes ejercicios: Resueltos números 5, 6 y 7 Propuestos números 9,, Pág. 5

6 9 Problema de examen Calcular el flujo del campo F x, yz, ycosyisenxjzk hacia el exterior de la superficie que es frontera del sólido H comprendido entre las superficies z y, x y y z es la frontera del sólido H interior al cilindro acotado inferiormente por z y superiormente por el plano z y. Como se cumplen las hipótesis para aplicar el Teorema de la divergencia, se tendrá que el flujo se puede calcular como la integral triple sobre H de la divergencia de F: Teniendo en cuenta que: el flujo será: Fn d H divf divfdv H x,y,z / x y, z y r,,z / r, z rsen r sen rdzdrd r rsen drd r r r sen d sen d cos r Pág. 6

7 Problema de examen Halla el flujo del campo vectorial F( xyz,, ) ( xyz,, ) (a) La superficie lateral del paraboloide z a. (b) La superficie de la tapa para z = a. = a través de: x y az + = con (c) Aplica el teorema de Gauss a la superficie È comprobando previamente que se cumplen las hipótesis de dicho resultado. Apartado a) Flujo a través de. x + y a ' ' El vector normal a la superficie z = f ( x, y) = es ( f f x y ) conjunto proyección de sobre XY es el círculo de centro (,) y radio a. N æx y ö =,,- =,.- ç çèa a ø. El æ x + y ö æx y ö flujo = d da x, y,,, da òò F n = òò F N = òò - = çè a ø çè a a ø p a æ ( ) ö x + y -x - y x + y r p a = da da drdq òò = pa a òò = a ò ò = = a a ç çè ø Apartado b) Flujo a través de. El vector normal es N = k. El conjunto es la proyección de sobre el plano XY es el círculo de centro (,) y radio a. Apartado c) òò F n òò F N òò (,, ) (,,) flujo = d = da = x y a da = òò ( ) = ada= aárea = 8a p Para calcular el flujo a través de È aplicando el Teorema de Gauss se tendrá que Pág. 7

8 p a a òòò òòò ò ò ò flujo = divf dv = dv = rdzdrdq = È H H r /a æ ö ( ) ( ) a æ r ö a a = p ar dr 6p a ò - = - = 6p( a - a ) = pa ç a 8a è ø ç çè ø Clase 7 de marzo Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy. Realizar los ejercicios propuestos números, y del tema de integrales de superficie. Problema de examen Calcular, utilizando y sin utilizar el teorema de Gauss, el flujo del campo x x z F,y,z i+y j k a través de la superficie que es el exterior del tetraedro formado por los planos x yz a, x, y, z. Nota: ebes enunciar el teorema de Gauss y justificar si se puede aplicar en el caso del ejercicio. La superficie está dada por las cuatro caras del tetraedro de la figura. i se aplica el teorema de Gauss I Fd div Fdxdydz x y z dxdydz V V La proyección del sólido V sobre el plano XY es el triángulo limitado por los ejes coordenados y la recta x y a, por lo tanto Pág. 8

9 Integrando aax axy I x y z dzdydx aax aax zaxy I xz yz z dydx z x a x y y a x y a x y dydx a x ax y y ax y y ax dx yax a ax x ax ax ax x ax a a x dx dx 5 xa a 5 x a xax a x a x xa xa x dx x a a a a a y Para resolver la integral directamente, sin aplicar el teorema de Gauss, hay que calcular el flujo a través de cada una de las cuatro caras del tetraedro: Flujo a través de, que se define por la ecuación z=, F d x, y,,, da Flujo a través de, que se define por la ecuación x=, Fd, y,z,, da Flujo a través de, que se define por la ecuación y=, Pág. 9

10 d F x,,z,, da Flujo a través de, que se define por la ecuación z ax y, si la proyección de es aax Fd x, y, a x y,, da x y a x y dydx a yax a y ax y ax ax x y dx x ax dx y a 5 5 a ax x a x ax a a a a xa x dx 5 5 Por lo tanto, el flujo que se pedía es la suma de los valores obtenidos para cada superficie 5 a. Calcular, utilizando y sin utilizar el teorema de Gauss, el flujo del campo vectorial x, yz, xz, y, xz F a través de la superficie cerrada limitada por el cilindro x y R con z. in utilizar el Teorema de Gauss La superficie cerrada que limita el cilindro es la unión de tres superficies, la tapa superior, la inferior y la superficie cilíndrica. Pág.

11 Parametrización r x, y x, y, r x, y / x y R El vector normal exterior de la superficie es N,,,,,,,,, Fn d F r x y dxdy x y x dxdy R xdxdy r cosd dr Parametrización r x, y x, y, r x, y / x y R El vector normal exterior de la superficie es N,, Fn d F r x, y,, dxdy, y,,, dxdy Parametrizamos r u, v Rcos u, Rsen u, v r u, v /u,v El vector normal exterior de la superficie es El flujo de F a través de es N TuxTv Rcos u, Rsen u,, cos, sen, Fn d F r u v R u R u v dudv cos, sen, cos cos, sen, Rv u R u Rv u R u R u v dudv Pág.

12 Utilizando el teorema de Gauss e tendrá 9 R v cos u R sen ududv R Fn d divf dxdydz siendo V el volumen limitado por la superficie. e tiene que divf z y x Para calcular la integral triple se pasa a coordenadas cilíndricas siendo V I Fn d divf dxdydz z y x dxdydz V V V r,, z / r R,, z. e tendrá entonces R I z r senr cos rdzddr R R 9 9 r 6r sen r cosddr 9rdr R Clase 8 de marzo el tema sobre integrales de superficie realizar los siguientes ejercicios: Resueltos números 8 y 9 Propuestos números 6, 7, 8 y 9 5 Problema de examen El cilindro x + y = corta al plano y + z = en la curva C. Calcular la circulación del campo vectorial F = xy i+ yz j+ xz k sobre C, utilizando obligatoriamente el teorema de tokes y recorriendo la curva C en sentido antihorario (vista desde arriba). Nota: e deberá comprobar que se cumplen las hipótesis del Teorema de tokes Pág.

13 Aplicando el Teorema de tokes, la circulación del campo F a lo largo de la curva C será ò circulación = F dr = rotf nd C donde es la superficie interior a la curva C que se encuentra sobre el plano y + z =. òò La integral de superficie se calcula de la forma siguiente: donde òò òò rotf nd = rotf N da es la proyección de sobre el plano XY, es decir, el círculo unidad Como es la porción del plano ( ) ' ' la superficie es: N = (-f,- f,) = (,,) i j k rotf = =-y i - z j-x k x y z xy yz xz Por lo tanto, x y z = f x, y = - y limitada por C, el vector normal a òò (,, ) (,,) òò ( ) circulación = -y - + y -x da = - + y - x da = p pæ ö = ( r sen q r cos q) rdrdq sen q cos q òò = ò ç dq =-p çè ø Aunque el ejercicio no pide obtener directamente la integral de línea podemos calcularla para verificar el resultado: ò circulación = F dr = xydx + yzdy + xzdz C ò C Pág.

14 siendo C la curva () () () x t = cost y t = sent z t = -sent t Î é, pù ê ë ú û p () () () x ' t =- sen t y' t = cos t z ' t =- cost ò ( ( ) ( ) ) circulación = - cost sen t + sen t -sen t cost -cost - sent cost dt =-p 6 Problema de examen Verifica el Teorema de tokes para el campo vectorial F x, yz, yizj6xk y la parte de la superficie del paraboloide z 9 x y situada sobre el plano XY orientada hacia arriba. Comprueba además que se cumplen las condiciones para poder aplicar el Teorema de tokes. TEOREMA E TOKE. Hipótesis: los elementos que intervienen en este teorema son - la superficie no cerrada, suave por partes, orientada según la normal unitaria n; - la curva borde o frontera de, que denotamos, orientada conforme a la orientación de ; - un campo vectorial F ( x, yz, ) de clase C sobre y ; Tesis: bajo estas hipótesis se verifica que Fdr = (rot F) nd La superficie es el paraboloide de ecuación z f x, y 9x y, superficie suave cuya curva frontera C es la circunferencia de centro (,) y radio. Para considerar la normal Pág.

15 unitaria exterior se debe orientar C en sentido antihorario. La parametrización de esta curva C será: Calculamos F d r x cost C y sent t, z dr = 9sen t,, 8cost sen t,cos t,dt 7sen tdt F Calculamos (rot F) n d cost 7 dt 7 i j k Como rot 6 x y z y z 6x se tiene F i j k, n f ', f ',, x y, (rot F) n d,6, x, y, dxdy iendo la proyección del paraboloide sobre el plano XY, es decir, el interior de la circunferencia de centro (,) y radio. Pasando a coordenadas polares x y, 6, x, y, dxdy 8r cos r sen rdrd 7 Pág. 5