Integrales de Superficie

Transcripción

1 Capítulo 12 Integrales de uperficie Definiciones Básicas Nuestro porpóstito en esta sección es el definir el concepto de integral de una función f : M R sobre una superficie M en el espacio. Para este propósito debemos definir el concepto de superficie orientable. En R 3 una superficie orientable es esencialmente una superficie que tiene dos caras. Más precisamente, una superficie es orientable si es posible definir continuamente un vector perpendicular en cada punto de la superficie. Algunos ejemplos de superficies orientables son: (i) La esfera r {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 r 2 } (ii) El cilindro C {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 1} } (iii) El elipsoide E {(x,y,z) R 3 x2 a + y2 2 b + z2 2 c 1 2 Un ejemplo típico de una superficie no orientable lo constituye la banda de Möbius (Figura 1). Observe que en este ejemplo es posible definir un vector normal en cada punto de la superficie de modo que vuelva al punto inicial con dirección contraria. Figura 1 1

2 2 Capítulo 12. Integrales de uperficie Definición upongamos que R 3 es una superficie acotada orientable representada por un vector posición φ(u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), en donde (u,v) [a,b] [c,d]. Entonces, (i) i f : R una función, definimos fd [a,b] [c,d] f(x,y,z) u dudv (ii) i f : R 3 es una función vectorial, definimos fd [a,b] [c,d] f(x,y,z), u dudv Observación Aquí se tiene u ( x u ( x y z (u,v), (u,v), u ) u (u,v) ) y z (u,v), (u,v), (u,v) En notación reducida, φ u (x u,y u,z u ) y φ v (x v,y v,z v ). El primer tipo de integral definido arriba puede ser usado en una variedad de situaciones, por ejemplo para hallar el área de una superficie, para hallar la masa de una lámina con distribución de densidad superficial f(x,y,z) σ(x,y,z) variable, para hallar el centro de masa de la misma lamina o su momento de inercia respecto a algún eje, etc. El segundo tipo de integral tiene amplio uso en campos vectoriales. Así su uso es imprescindible cuando se trata de campos eléctricos, campos magnéticos, etc. Teorema e tiene que u EG F 2

3 Cálculo III - Rodrigo Vargas 3 donde 2 E u x 2 u +y2 u +z2 u F u, x u x v +y u y v +z u z v 2 G u x 2 v +y2 v +z2 v Ejemplo Usando la fórmula anterior, calcule el área de una esfera de radio R. olución. Una parametrización de la esfera de radio R. esta dada por φ(u,v) (Rsenvcosu,Rsenvsenu,Rcosv) en donde (u,v) [,2π] [,π] y tenemos que E φ u 2 x 2 u +y2 u +z2 u R2 sen 2 v F φ u,φ v G φ v 2 x 2 v +y2 v +z2 v R2 por lo que EG F 2 R 4 sen 2 v R 2 senv. Entonces, el área de la esfera es Area R d R 2π π 2π π R 2 senv dvdu π 2πR 2 sen vdv 4πR 2. EG F2 dudv Ejemplo Calcule el área de la superficie helicoidal dada por φ(u,v) (ucosv,usenv,v) donde (u,v) [,1] [π,5π].

4 4 Capítulo 12. Integrales de uperficie olución. Una representación de la superficie puede verse en la figura 2. e tiene que E φ u 2 1 F φ u,φ v G φ v 2 u 2 +1 Por lo que el área de la helicoide es A EG F2 dudv [,1] [π,5π] 2π 1 u2 +1dudv πu u 2 +1+πarcsenu π 2 πuln( 2 1) Teorema de la Divergencia de Gauss Teorema ea F (f 1,f 2,f 3 ) un campo vectorial continuamente diferenciable definido en una región Ω R 3 acotada por una superficie continuamente diferenciable. Entonces, F, n d F dv Ω en donde n es el vector unitario perpendicular a la superficie y que apunta en sentido opuesto al volumen. La expresión se conoce como la divergencia de F. F Div F f 1 x + f 2 y + f 3 z, Ejemplo Calcule, usando el teorema de la divergencia de Gauss la integral, (x 2 y +y 2 +xyz)d,

5 Cálculo III - Rodrigo Vargas 5 en donde es la superficie de la bola unitaria x 2 +y 2 +z 2 1. olución. Para poder aplicar el teorema de la divergencia de Gauss necesitamos escribit el argumento de la integral de la forma F nd para alguna función vectorial F. Como n (x,y,z) entonces, F (xy,y,xy) cumple la exigencia. Por lo tanto, de acuerdo al TDG se tiene (x 2 y +y 2 +xyz)d F, n d FdV (y +1)dV ydv + dv La primer integral se puede probar que es cero, mientras que la segunda es simplemente el volumen de la esfera, que como sabemos es 4π/ Teorema del rotacional de tokes uponga que es una superficie continuamente diferenciable orientada en R 3 por medio de un vector normal n(x,y,z) y acotada por una curva γ. Diremos que la superficie y la curva γ están orientadas positivamente, si la dirección de recorrido de la curva y la dirección del vector n están orientados según la regla de la mano derecha. Observación Recordemos que si un campo F (f 1,f 2,f 3 ) es conservativo entonces satisface F, en donde F i j k ( f3 x y z y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f ) 1 y f 1 f 2 f 3

6 6 Capítulo 12. Integrales de uperficie Ahora podemos enunciar el teorema que generaliza a tres dimensiones el teorema de Green. Teorema 12.3 (tokes). ea una superficie orientable acotada por una curva de Jordan γ. uponga que F (f 1,f 2,f 3 ) es un campo vectorial continuamente diferenciable. Entonces, si la superficie y la curva γ están orientadas positivamente, se cumple F d r F, n d. γ Ejemplo Verifique el teorema de tokes para el campo vectorial F (z y,x+z, x y) y la superficie acotada por el paraboloide z 4 x 2 y 2 y el plano z. olución. Calculemos en primer lugar γ F d r. Para esto, consideremos la parametrización r(t) (2cost,2sent) de la curva γ correspondiente a la intersección del paraboloide con el plano z. Por lo tanto, γ F d r 2π (4sen 2 t+4cos 2 t)dt 8π. Calculamos ahora la integral F, n d. Observe que el gradiente de la función z + x 2 + y 2 nos entrega un vector normal a la superficie. Por lo tanto, n (2x,2y,1) 4x2 +4y 2 +1 es un vector unitario normal a la superficie. Por otro lado, como la superficie está parametrizada por φ(x,y) (x,y,4 x 2 y 2 )

7 Cálculo III - Rodrigo Vargas 7 entonces φ u φ v EG F 2 4x 2 +4y 2 +1.Por lotanto, obtenemos que F, n d ( 4x+4y +2)dxdy x 2 +y 2 1 2π 2 8π (4rcosθ+4rsenθ+2)rdr