Área e integral de funciones de superficies paramétricas
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- Inmaculada Cuenca Molina
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1 Área e integral de funciones de superficies paramétricas Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 10 de mayo de 2011
2 definición área de superficie paramétrica definición (área)
3 definición área de superficie paramétrica definición (área) Φ : D R 2 R 3 superficie regular
4 definición área de superficie paramétrica definición (área) Φ : D R 2 R 3 superficie regular área de la superficie Φ(D):
5 definición área de superficie paramétrica definición (área) Φ : D R 2 R 3 superficie regular área de la superficie Φ(D): A(Φ(D)) = Φ u Φ v du dv D
6 definición justificación
7 definición justificación Φ(R ij ) uφ u vφ v (u i, v j )
8 definición justificación Φ(R ij ) uφ u vφ v (u i, v j ) = Φ u Φ v (u i, v j ) u v
9 definición justificación Φ(R ij ) Φ u Φ v (u i, v j ) u v
10 definición justificación Φ(R ij ) Φ u Φ v (u i, v j ) u v A(Φ(D)) = lim Φ(R ij ) Rij 0 i,j
11 definición justificación Φ(R ij ) Φ u Φ v (u i, v j ) u v A(Φ(D)) = lim Φ(R ij ) = Φ u Φ v du dv Rij 0 i,j D
12
13 x = r cos u sin v y = r sin u sin v z = r cos v con u (0, 2π), v (0, π)
14 x = r cos u sin v y = r sin u sin v z = r cos v A(S 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u (0, 2π), v (0, π)
15 x = r cos u sin v y = r sin u sin v z = r cos v A(S 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u (0, 2π), v (0, π) Φ u = ( r sin u sin v, r cos u sin v, 0)
16 x = r cos u sin v y = r sin u sin v z = r cos v A(S 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u (0, 2π), v (0, π) Φ u = ( r sin u sin v, r cos u sin v, 0) Φ v = (r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v)
17
18 Φ u Φ v = i j k r sin u sin v r cos u sin v 0 r cos u cos v r sin u cos v r sin v =
19 Φ u Φ v = i j k r sin u sin v r cos u sin v 0 r cos u cos v r sin u cos v r sin v = ( r 2 cos u sin 2 v, r 2 sin u sin 2 v, r 2 sin v cos v) =
20 Φ u Φ v = i j k r sin u sin v r cos u sin v 0 r cos u cos v r sin u cos v r sin v = ( r 2 cos u sin 2 v, r 2 sin u sin 2 v, r 2 sin v cos v) Φ u Φ v 2 = r 4 (sin 4 v + sin 2 v cos 2 v) = r 4 sin 2 v =
21 Φ u Φ v = i j k r sin u sin v r cos u sin v 0 r cos u cos v r sin u cos v r sin v = ( r 2 cos u sin 2 v, r 2 sin u sin 2 v, r 2 sin v cos v) Φ u Φ v 2 = r 4 (sin 4 v + sin 2 v cos 2 v) = r 4 sin 2 v Φ u Φ v = r 2 sin v =
22
23 A(S 2 ) = r 2 2π 0 du π 0 sin vdv
24 A(S 2 ) = r 2 2π 0 du π 0 sin vdv A(S 2 ) = 4πr 2
25
26 x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v z = r sin u con u, v (0, 2π)
27 x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v z = r sin u A(T 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u, v (0, 2π)
28 x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v z = r sin u A(T 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u, v (0, 2π) Φ u = ( r sin u cos v, r sin u sin v, r cos u)
29 x = (a + r cos u) cos v y = (a + r cos u) sin v z = r sin u A(T 2 ) = D Φ u Φ v du dv con u, v (0, 2π) Φ u = ( r sin u cos v, r sin u sin v, r cos u) Φ v = ( (a + r cos u) sin v, (a + r cos u) cos v, 0)
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31 Φ u Φ v = i j k r sin u cos v r sin u sin v r cos u (a + r cos u) sin v (a + r cos u) cos v 0 =
32 Φ u Φ v = i j k r sin u cos v r sin u sin v r cos u (a + r cos u) sin v (a + r cos u) cos v 0 = = r(a + r cos u)(cos u cos v, cos u sin v, sin u)
33 Φ u Φ v = i j k r sin u cos v r sin u sin v r cos u (a + r cos u) sin v (a + r cos u) cos v 0 = = r(a + r cos u)(cos u cos v, cos u sin v, sin u) Φ u Φ v = r(a + r cos u)
34
35 A(T 2 ) = r 2π 0 dv 2π 0 (a + r cos u)du
36 A(T 2 ) = r 2π 0 dv 2π 0 (a + r cos u)du A(T 2 ) = (2πr)(2πa)
37 definición integral de una función definición (integral)
38 definición integral de una función definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular
39 definición integral de una función definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S R función continua
40 definición integral de una función definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S R función continua integral de f sobre S:
41 definición integral de una función definición (integral) S = Φ(D) superficie paramétrica regular f : S R función continua integral de f sobre S: fds = f (Φ(u, v)) Φ u Φ v du dv S D
42
43 S está dada por z = x 2 + y con x [0, 1], y [ 1, 1]
44 S está dada por z = x 2 + y con x [0, 1], y [ 1, 1] calcular S xds
45 S está dada por z = x 2 + y con x [0, 1], y [ 1, 1] calcular S xds 1 parametrizar S
46 S está dada por z = x 2 + y con x [0, 1], y [ 1, 1] calcular S xds 1 parametrizar S 2 calcular Φ u Φ v
47 S está dada por z = x 2 + y con x [0, 1], y [ 1, 1] calcular S xds 1 parametrizar S 2 calcular Φ u Φ v 3 integrar
48 x = u y = v z = u 2 + v
49 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u)
50 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u) Φ v = (0, 1, 1)
51 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u) Φ v = (0, 1, 1) Φ u Φ v = 4u 2 + 2
52 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u) Φ v = (0, 1, 1) Φ u Φ v = 4u S xds = 1 1 dv 1 0 u 4u 2 + 2du
53 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u) Φ v = (0, 1, 1) Φ u Φ v = 4u S xds = 1 1 dv 1 0 u 4u 2 + 2du = 1 6 [4u2 + 2]
54 x = u y = v z = u 2 + v Φ u = (1, 0, 2u) Φ v = (0, 1, 1) Φ u Φ v = 4u S xds = 1 1 dv 1 0 u 4u 2 + 2du = 1 6 [4u2 + 2] S xds =
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