Ondas Electromagnéticas

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1 Ondas Electromagnéticas Revisión de Electroestática y Magnetoestática Fernando D. Quesada Pereira 1 1 Grados de Ingeniería Telemática y de istemas de Telecomunicación Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones Universidad Politécnica de Cartagena 1 de octubre de 011 Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

2 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de 011 / 4

3 Ecuaciones de Maxwell en electroestática Ecuaciones de Maxwell para electroestática e tiene que dρ dt hay corriente). = 0 J = 0 (no No existe variación temporal de los campos. Las ecuaciones de Maxwell quedan como: E = 0 H = 0 D = ρ B = 0 Potencial escalar eléctrico Como no hay fuentes ni rotacionales ni divergentes para el campo magnético, sólo existira campo eléctrico: φ Gradiente de una función escalar φ = 0 El rotacional del gradiente es siempre cero sea cuál sea la función. Luego, siempre podremos calcular E a partir del gradiente de una función escalar: E = φ ǫ E = ρ ǫ φ = ρ φ = ρ ǫ Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

4 Ecuaciones de Maxwell en electroestática Ecuaciones de Maxwell para electroestática El término φ es el llamado potencial escalar eléctrico y cumple la ecuación de Poisson: φ = ρ ǫ Ecuación de Poisson En una región donde no existen cargas (las fuentes estarán fuera de la región), entonces φ = 0 Ecuación de Laplace Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales se encuentran sujetas a las condiciones de contorno del potencial y se resuelven mediante métodos numéricos para ecuaciones diferenciales. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

5 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

6 Ejemplo de aplicación del teorema de Gauss ẑ q r E d Figura: Campo eléctrico producido por una carga puntual Caso formado por una carga puntual. Por simetría, ŷ Campo Eléctrico por Gauss Trabajamos en coordenadas esféricas para resolver las integrales. ǫ E d = ǫe 0 ( r) ê r ê r d = ǫe 0 ( r) 4πr = q Despejando resulta que E 0 ( r) = q 4πǫr, por lo que finalmente se tiene que: E( r) = q êr Igual a la ley de Coulomb 4πǫr E = E 0 ( r)ê r d = d ê r Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

7 Cálculo del potencial electroestático Diferencia de Potencial La tensión (V ) es la energía que hay que aplicar para mover cargas: v(t) = dw dq. P P 1 E = φ P E d l = = P 1 P P 1 φ d P l = φ ê l dl P 1 dl = [ φ(p ) φ(p 1 ) ] dφ dl Asimismo, la energía puede verse como fuerza por desplazamiento, luego: V = W q = F l q = ( E q) l q = E l Diferencia de Potencial La diferencia de potencial entre puntos, por tanto, es: P φ(p ) φ(p 1 ) = E d l P 1 Trabajo realizado para mover la unidad de carga entre los puntos P 1 y P. d l = drê r Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

8 Cálculo del potencial electroestático Diferencia de Potencial ẑ q P1 R1 R P d l ŷ Diferencia de Potencial i un punto lo tomamos en el infinito R 1, entonces φ(r 1 ) = 0 quedando el potencial en el otro punto como: Figura: Diferencia de potencial entre dos puntos φ(p ) φ(p 1 ) = R R R 1 q êr êr dr 4πǫr = q r dr = q r=r 4πǫ R 1 4πǫ ( 1) r 1 r=r 1 = q ( 1 1 ) 4πǫ R R 1 φ P = q 1 4πǫ R En general el potencial en un punto a una distancia, tomando como referencia el infinito, será: φ = q 4πǫr Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

9 Potencial y campo de una distribución de carga Distribución de carga ˆx ẑ r r ŷ dv r r = R Figura: Diferencia de potencial i tenemos una distribución de carga podemos aplicar superposición: dq ρv dv dφ = = 4πǫ r r 4πǫ r r V ρ v dv φ = 4πǫ r r ρv Campo eléctrico De la misma manera el campo eléctrico queda: de dq = 4π r r êr Métodos Integrales V ρ V dv E = 4πǫ r r êr Es el método de la función de Green para el cálculo del campo potencial producido por una distribución de carga conocida. Por otra parte, los métodos diferenciales se basan en resolver la ecuación φ = 0, φ = ρ ǫ Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

10 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

11 Frontera entre dos medios materiales Cambio entre medios 1 ê n (ǫ 1,µ 1) σ 1 ρ s (ǫ,µ ) σ Js Figura: Cambio de medio ( B B 1 ) ê n = 0 Los componentes normales de la densidad de flujo magnético son continuas. ( D D 1 ) ê n = ρ s Condición de contorno i en la superficie de separación no hay cargas superficiales, entonces las componentes normales de la densidad de flujo eléctrico también son continuas. ê n ( E E 1 ) = 0 La operación ê n A elimina la componente normal y se queda con las tangenciales. Las componentes tangenciales de la intensidad de campo eléctrico son continúas en la superficie de separación entre dos medios. ê n ( H H 1 ) = J s El potencial escalar eléctrico es continuoφ 1 = Φ. Las camponentes tangenciales de la intensidad de campo magnético son continuas cuando no existan corrientes en la superficie de separación entre medios. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

12 Condiciones de contorno en un conductor perfecto El potencial en el interior de un conductor perfecto es constante (σ conductividad del conductor). uperficie conductor Veamos que sucede en la superficie. 1 σ = ên = êz ẑ Figura: Conductor perfecto E = Φ = 0 El campo eléctrico en el interior de un conductor es cero. Figura: uperficie Conductor perfecto Por una condición de contorno sabemos: ê n ( E E 1) = 0 s ê z ( E E 1) = 0 s Pero E 1 = 0 por estar 1 dentro del conductor, luego: ê z E s = 0 Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

13 Condiciones de contorno en un conductor perfecto Las componentes del campo eléctrico tangenciales a un conductor perfecto son cero. Veamos que sucede con las componentes normales: ( D D 1 ) ê n = ρ s pero como E 1 = 0, entonces queda, ǫ E ê n = ρ s e ha observado que ê n E 0, luego debe existir ρ s en la superficie de un conductor. Luego en la superficie del conductor existe una densidad de carga superficial inducida por las componentes normales de los campos. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

14 Definición de capacidad Capacidad eléctrica En conductores se define la capacidad como la cantidad de carga inducida en respecto de la diferencia de potencial que hemos aplicado. Para el caso de un condensador de placas paralelas: 0 V0 d Figura: Condensador de placas paralelas Φ = 0 = x + y + z ẑ Capacidad placas paralelas Como todo es infinito en (x, y) sólo existen variaciones espaciales con z, luego: d Φ dz = 0 ; dφ dz = A ; Φ = Az + B Las constantes son las típicas de toda ecuación diferencial. e calculan imponiendo las condiciones de contorno para el potencial. z = 0 ; Φ(z = 0) = 0 ; B = 0 z = d ; Φ(z = d) = V 0 ; Ad = V 0 ; e puede escribir finalmente el potencial como: Φ = V 0 d z Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

15 Definición de capacidad Condensador de placas paralelas Campo eléctrico como: E = Φ = ( Φ x = Φ z êz = V 0 d êz Φ Φ êx + êy + y z êz Densidad de carga inducida en las placas del condensador. 1 ê n = ê z ẑ ) Codensador de placas paralelas ê n ( D D 1 ) = ρ s z=d e tiene que D = 0 en el interior de un conductor, de modo que, ê zǫe = ρ s z=d ρ s = ê z ê V 0 zǫ = ǫ V 0 d d Calcularemos la capacidad por unidad de superficie. La carga total encerrada en una superficie de las placas: Q = ρ s d = ρ s = ǫ V 0 (placas finitas) d 0 d Figura: Densidad de carga inducida C = Q V 0 = ǫ V 0 d V 0 = ǫ d Faradios Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

16 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

17 Energía en electroestática Energía Por definición, la energía almacenada por un sistema electrostático es: W de = 1 E D dv (V, vol. campo eléctrico) V Vamos a calcular, (ΦD) = D Φ+Φ D pero E = Φ y D = ρ, luego (ΦD) = D ( E)+Φρ E D = Φρ (ΦD) Introduciendo la última expresión en la de la energía, resulta: W de = 1 Φρ dv 1 (ΦD) V dv V Cálculo Energía Electroestática Aplicando el teorema integral de Gauss se tiene: W de = 1 Φρ dv 1 Φ D V d El término D d selecciona la componente normal de D en la superficie y la componente normal de D en una superficie es discontinua e igual a la carga superficial ρ s. W de = 1 Φρ dv 1 ΦD V ê n d = 1 Φρ dv + 1 Φρ s d V Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

18 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante Esfera con carga constante Como no hay cargas superficiales, Como ρ = 0 fuera de V 0, entonces, W = 1 W = 1 V Φρ dv V 0 Φρ dv Tenemos que hallar el potencial Φ dentro de la esfera (integral extendida a todo el volumen). 1 (ΦD) dv = 1 (ΦD) V dv 1 (ΦD) V 1 dv = V 1 Φ D 1 ê n d 1 ΦD ( ê n) d 1 ΦD ê n d = 1 Φ( D D 1 ) ê n d = 1 Φ ρ s d Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

19 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante V 0 a ρ V D D1 ên V1 Figura: Densidad volumétrica de carga en una esféra V 0 a Figura: Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico fuera de la esfera r ρ Figura: Cálculo del potencial dentro de la esfera Podemos usar la ley de Gauss, para r > a se tiene, Q enc = ρ dv = ρ dv = ρ 4 V 0 V 0 3 π a3 El campo eléctrico, por simetría, es de la forma, E = E 0 (r)ê r Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

20 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante Campo Eléctrico D d = ǫ E d = ǫe 0(r) ê e ê r d = ǫe 0(r) 4π r Igualando términos, ρ 4 3 πa3 = ǫe 0(r)4πr Potencial Calculo el potencial en r = a tomando el origen de potenciales en el infinito. Φ( ) Φ(r = a) = r= r=a r= r=a ρ a 3 êr êr dr = ρa3 3ǫr E d l = 3ǫ ( r 1 ) Φ(r = a) = ρa 3ǫ r= r=a = ρa3 1 3ǫ a E 0(r) = ρ a3 3ǫr ; E(r) = ρ a3 3ǫr êr V 0 a r ρ Figura: Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico dentro de la esfera Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

21 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante Campo dentro de la esfera Q enc = V ρ dv = ρ 4 3 π r 3 D d = ǫ E d = ǫe 0 (r) ê r ê r d = ǫe 0 (r) 4πr Igualando términos: ρ 4 3 πr 3 = ǫe 0 (r)4πr E 0 (r) = ρr 3ǫ ; E = ρr 3ǫ êr Potencial dentro de la esfera La componente normal de D es continua, puesto que no existe densidad superficial de carga. El potencial en un punto dentro de la esfera r = r valdrá: r=a Φ(r = a) Φ(r = r ) = E d l r=r = ρ r=a r dr = ρ r r=a 3ǫ r=r 3ǫ r=r = ρ 6ǫ (a r ) Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

22 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante Potencial dentro de una esfera Energía electroestática W de = 1 ( ρa ǫ ρr ) ρ dv 6ǫ V 0 Φ(r = r ) = Φ(r = a)+ ρ 6ǫ (a r ) ẑ r sinθ pero Φ(r = a) = ρa 3ǫ, luego Φ(r = r ) = ρa 3ǫ + ρa 6ǫ ρr 6ǫ = ( ρa ǫ ρr 6ǫ = ρ ǫ a r 3 ) ˆx ϕ θ dϕ Figura: Obtención del diferencial de volumen en una esfera dv = r sinθ dr dθ dφ ŷ Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de 011 / 4

23 Energía electrostática en una esfera con densidad de carga constante Energía electroestática total W de = 1 ρ ǫ = 1 ρ = 1 ρ ǫ π = ρ π ǫ Finalmente, la energía es: a π π ( a dr dφ dθ r ) r sinθ 6 π a ( a 4 π r sinθ dθ dr 0 0 r ) 4 6 ( π)( cosθ a r 3 a r 5 a) ( a ) = ρ π a ǫ 6 5 ( = ρ π a 5 ǫ (1+1) ) a 5 5 W de = 4πρ a 5 15ǫ Julios Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

24 Introducción a la magnetoestática Características í se permite el movimiento de cargas en el espacio y por tanto se producen corrientes. Las corrientes se suponen estacionarias en el tiempo (I(t) = cte, J(t) = cte). igue sin existir una variación con el tiempo de las cantidades eléctricas (salvo la carga) ( = 0, aunque ahora J t 0). Ley de Ohm Ecuaciones de Maxwell en Magnetoestática E = 0 H = J D = ρ B = 0 Vemos que ahora existen tanto el campo eléctrico como el magnético, pero están desacoplados. Existe otra ley fundamental que es la ley de Ohm ( J = σ E). Esta ley hay que aplicarla en cualquier medio resistivo en el que existan corrientes de conducción. i consigo calcular el campo eléctrico en una estructura podré calcular J = σ E, y una vez conozca J podré resolver las ecuaciones para el campo magnético. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

25 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

26 Potencial vector magnético Definición potencial vector A La divergencia del rotacional de una función vectorial es cero: ( A) = 0 Identificando con B = 0 podemos hacer: B = A A es el potencial vector magnético auxiliar. Ahora tenemos: Definición potencial vector A Propiedad del doble producto vectorial: [ ( A)] = ( A) A B = ( A) A ( A) A = µ J Un campo vectorial está especificado cuando se conoce el rotacional y la divergencia. Existe un grado de libertad. (µ H) = µ J B = µ J Tomando el rotacional, resulta: B = ( A) A = A+ Φ Aplicando el rotacional, se tiene: A = ( A+ Φ) = A+[ ( Φ)] = A = B Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

27 Potencial vector magnético A Potencial vector magnético A El rotacional del gradiente siempre es cero ( ( Φ)). Luego existe un grado de libertad que aprovecho para escoger A de forma que A = 0. A = µ J Es una ecuación vectorial que puede partirse en tres ecuaciones escalares: A = Axê x + A yê y + A zê z J = Jxê x + J yê y + J zê e tienen ecuaciones de Poisson del mismo tipo visto en electrostática: A x = µj x A y = µj y A z = µj z Potencial vector magnético A i el potencial escalar eléctrico producido por una distribución de carga es: Φ = 1 V ρ dv 4πǫ r r El potencial vector magnético producido por un dipolo elemental de corriente orientado según el eje x será: J = Jxê x No hay excitación según ê y y ê z, por lo que las correspondientes componentes del potencial vector son nulas. e ha cambiado ρ J x y ǫ (1/µ). A x = µ V J x dv 4π r r A y = 0 A z = 0 Haciendo lo mismo para otras orientaciones de la corriente se obtiene: µ V J dv A = 4π r r Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

28 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

29 Campo magnético a partir del potencial vector A Obtención del campo magnético Una vez tenemos calculado A podemos calcular el campo magnético: [ ] B = A = µ V J( r ) dv = µ [ ( )] 1 4π r r 4π V r r J( r ) dv Rotacional de un vector por una función escalar, aplico la identidad vectorial: [ ( 1 r r (φ A) = [( Φ) A]+Φ( A) ) ] [ J( r ) = ( 1 r r )] J( r )+ 1 r r ( ) J( r ) El término J( r ) es cero debido a que no depende de r. De esta manera, B = µ {[ ( )] } 1 4π r r J( r ) dv Puede demostrarse que, V ( ) 1 = ( r r ) r r r r 3 Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

30 Campo magnético a partir del potencial vector A Let de Biot y avart ˆx ẑ r P o ( r r ) J Figura: Cálculo del campo magnético con la ley de Biot-avart r B = µ ( r r ) J( r ) dv = 4π V r r 3 µ J( r ) ( r r ) dv 4π V r r 3 La ecuación anterior es conocida como la ley de Biot y avart (Ley de Ampere). Existen métodos integrales para el calculo de B. ŷ Obtención del campo magnético Para calcular la anterior ecuación primeramente hallamos, ( ) ( ) 1 1 = r r En coordenadas esféricas se tiene: ( ) 1 = ê r r r Φ Φ = ê r r ( 1 r ) = ê r ( 1 r Además r = rê r, por lo que ê r = r y r ( ) ( ) 1 1 = = r r r r 3 i introducimos un desplazamiento de r obtenemos la ley de Biot y avart. ) Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

31 Campo magnético producido por un hilo de corriente Hilo de Corriente Ley de Ampere I 0 r d l C Figura: Cálculo del campo magnético producido por un hilo r Para un hilo de corriente: B = µi 0 d l ( r r ) 4π r r 3 C A = µi 0 4π C d l r r H = J V i integro en una superficie (A/m ), ( H) d = JV d El último término es la corriente que atraviesa la superficie. Aplicando el teorema de tokes se tiene: ( A) d = A d l El parámetro l es la línea que delimita la superficie, luego, I enc = H d l Ley de Ampere l l Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

32 Campo magnético producido por un hilo de corriente Hilo de Corriente Infinito I ẑ Campo magnético para hilo infinito Ahora tenemos, B = A. Escogiendo coordenadas cilíndricas nada cambia en φ o en z (siempre que el hilo sea infinito), por tanto sólo hay dependencia con ρ. l ρ ϕ d l = ê ϕ dl = ê φρ dϕ A = Az(ρ)ê z Rotacional en cilíndricas: êρ êz ê ρ φ ρ A = ρ φ z 0 0 A z = êρ A z ρ φ A z êφ ρ Figura: Campo magnético producido por un hilo de corriente infinito Tomo esta línea cerrada para aplicar la ley de Ampere. La corriente que atraviesa la superficie es I. Ahora tenemos que conocer más detalles del campo magnético. Por un lado si la corriente está dirigida según z, entonces A = A zê z. Pero Az = 0, luego: ρ A = ê φ A z ρ A z B = ê φ ρ 1 A z H = ê φ µ ρ = êφhφ(ρ) Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

33 Campo magnético producido por un hilo de corriente Campo magnético de un hilo ẑ I0 Campo magnético de un hilo êϕ ẑ Figura: Campo magnético dirigido según ê ϕ. El campo magnético está dirigido según ê φ. Una corriente hace rotar el campo magnético (fuente rotacional). Vemos que a lo largo del camino l, A z es constante luego H es constante y puede salir fuera de la integral, I = H φ ê φ ê φ dl l π = H φ ρ dφ = H φ ρ π 0 ˆx ϕ dϕ d l = ρ dϕêϕ Figura: Cálculo del campo magnetico a lo largo del camino l. I = H φ πρ H φ = I πρ ; H = I πρ êφ ŷ ρ Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

34 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

35 Energía almacenada por el campo magnético Definición W dm = 1 V V V 1 H B dv = 1 µ V H dv J V = V 1 V Figura: Regiones para el cálculo de la energía magnetostática La integral se encuentra extendida a todo el espacio donde haya campo magnético V = V 1 V. Cálculo energía magnetoestática ( A H) = H ( A) A ( H) = H B A J H B = ( A H)+ A J W dm = 1 1 A J dv + ( V A H) dv V Por la ley de integración de Gauss, ( A H) dv = ( A H) d = 0 V Como la integral es a todo el espacio, la superficie es la superficie del infinito y allí los campos y potenciales son cero, luego la integral es cero. Tenemos el caso en el que sólo existen distribuciones de corriente en volumen: W dm = 1 A J dv V Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

36 Energía almacenada por el campo magnético Cálculo energía magnetoestática La integral es distinta de cero sólo donde exista J. abemos que: µ V J dv A = 4π r r Introduciendo en Wdm resulta, Wdm = µ V J( r) J( r ) dv dv 8π V r r Ecuación de Newman para el calculo de la energía Wdm = 1 1 A J dv + ( V 1 A H) dv V ( A H) dv V Cálculo energía magnetoestática Por el teorema de Gauss, Wdm = 1 A J dv + 1 ( V A1 H1) d + 1 ( A H) d + 1 ( A H) d donde d es un vector normal a las superficies. Ahora escribimos d = ên d. ( A H) d = ( A1 H1) ên d + ( A H) ( ên) d Pero por la propiedad del producto mixto, se tiene ên ( A H) = H (ên A) = A ( H ên) = A (ên H). A es continuo a través de la superficie. Luego, ( A H) d = A (ên H) d = A[ên ( H H1)] d ên V ên V1 J Figura: Regiones para el cálculo de la energía magnetostática Usando la condición de contorno por la que ên ( H H1) = Js. Tenemos entonces: ( A H) d = A Js d Luego, finalmente: Wdm = 1 A J dv + 1 A J d V Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

37 Energía magnetoestática de una espira Hilo de corriente en forma de espira I d l Figura: Energía para un hilo de corriente W dm = 1 1 A J dv = V I A d l c Aplicando el teorema de tokes, ( A) d = A d l siendo C la línea que define la superficie. W dm = 1 I ( A) d Tenemos que A = B, luego W dm = 1 I B d = 1 IΦB Φ B Flujo magnético que atraviesa la superficie que define la espira. c Energía magnetoestática Esta energía la podemos hallar usando la formulación de Newman, W dm = µ C 8π I I d l d l C r r Hay un parámetro que sólo depende de la geometría (forma del hilo) y se llama inductancia: L = µ C d l d l 4π C r r Luego la energía queda como: W dm = 1 LI Identificando ambas expresiones: 1 LI = 1 IΦB L = ΦB I ;Φ B = LI La última expresión es la conocida de las asignaturas de cicuitos. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

38 Energía en un condensador (electroestática) Condensador Ideal W de = 1 ΦρdV + 1 Φρ s d V V 0 Energía electroestática e tiene que C = Q V 0, y la energía en un condensador W de = 1 C V 0. Aplicando la teoría desarrollada para un condensador, W de = 1 V1Q 1 VQ = 1 Q(V1 V) σ = ρ s V 0 = (V 1 V ) es la diferencia de potencial introducida. V1 V Figura: Conductor perfecto para el estudio de la energía en un condensador. El conductor sólo admite ρ s, por lo que W de = 1 Φρ s d Ahora Φ es constante en todo el conductor y vale V 0. W de = 1 V0 ρ d = 1 V0Q Q es la carga almacenada en el conductor. Q +Q Figura: Estudio de un condensador. W de = 1 QV0 ; C = Q V 0 W de = 1 CV 0 Energía en un condensador Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

39 Índice de Contenidos 1 Electroestática Teorema de Gauss Condiciones de Contorno de los Campos Energía almacenada en un sistema electrostático Magnetoestática Potencial vector magnético Campo magnético a partir del potencial vector A Energía almacenada por un sistema magnetostático 3 Relación entre ecuaciones de Maxwell y lemas de Kirchoff Lema de las corrientes 4 Grado de libertad en el potencial vector magnétioc A Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

40 Lema de corrientes y ecuaciones de Maxwell Lema de corrientes: i I i = 0 I 1 I I 3 I 4 Figura: Lema de corrientes de Kirchoff Ahora usamos la ecuación de continuidad J+ ρ = 0. t i integro en un volumen, ρ J dv = t dv V V I 1 I V I 3 I 4 Figura: Ecuación de continuidad Lema de corrientes Por la ley de integración de Gauss: J d ρ = t dv Esta es la corriente total que atraviesa la superficie. erá la corriente por cada hilo. ρ I i = t dv i i El primer lema de Kirchoff sólo es cierto si = 0. No hay variaciones temporales o éstas son despreciables. Por otra parte, D = ρ. ( I i = V t D dv = ) D dv V t Por el teorema de integración de Gauss, i V V D I i = d t ρ t Corriente de desplazamiento que atraviesa la superficie. Por otra parte D es la densidad de corriente de desplazamiento. i t Ii = Idesp, solamente si Idesp 0 el primer lema de Kirchoff es correcto. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

41 Lema de las tensiones y Ecuaciones de Maxwell Lema de Tensiones Vg(t) + R i(t) L d C Figura: Lema de tensiones de Kirchoff Vg(t) = R i(t)+ 1 i(t) dt + L di(t) C dt El campo eléctrico puede ponerse como ET = E + E E. Es el campo eléctrico producido dentro del generador. E. Campo eléctrico resto del circuito producido por ρ y J. De esta forma E = ET E. Calculo de la integral de línea a lo largo del circuito E d l = ( ET E) d l C C Como E no existe dentro del generador, E d l es la diferencia de potencial creada internamente dentro del generador o fuerza electromotriz Vg. Además demostraremos, E = Φ A t ( ) Vg = ET + Φ+ A d C t l El campo total cumple la ley de Ohm J = σet. i las placas del conductor y el hilo de la bobina son muy buenos conductores (σ ) este término sólo es importante en la resistencia. Luego: ET d J l = C C σ d l = J σ l = 1 σ I = R I Densidad cte corriente Lema de tensiones La segunda integral sólo es importante donde haya acumulación de cargas que es en el condensador. Φ d l = Ec d l = Ec d = D C C ǫ d e han ampliado las relaciones Ec = Φ y D = ǫe. Por Gauss D d = Q ; D A = Q φ d l = Q d C A ǫ Pero hemos calculado anteriormente que C = ǫ A. Por tanto, d Φ d l = Q C = 1 i(t) dt C Además i = dq, Q = i(t) dt. La tercera integral es finalmente importante dt donde el campo magnético y por tanto A sean grandes. Esto ocurre en la bobina. A C t d l = A d l t C Usando el teorema de tokes, A C t d l = t ( A) d = B d t = d dt ΦB(t) Además hemos demostrado ΦB = L i(t), luego, A C t d l = L di(t) dt Juntando todas las integrales obtenemos la ecuación que planteamos usando Kirchoff. in embargo, sólo es válida cuando son válidas todas estas aproximaciones. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4

42 Grado de libertad en el potencial vector magnético A Potencial vector magnético Por qué existe un grado de libertad en A?. En primer lugar A es un potencial vector arbitrario y sabemos que existen infinitas funciones vectoriales que dan el mismo rotacional. A = A+ Φ A = ( A Φ) = A+[ ( Φ)] = A Hay que tener en cuenta que el rotacional de un gradiente es siempre cero. Además una función vectorial está completamente definida cuando se especifica su rotacional y su divergencia. Hemos definido ya el rotacional como A = B, pero hay que especificar también su divergencia en magnetostática tomamos A = 0, porque con esta condición llegamos a una ecuación tipo Poisson para las componentes del campo. Veremos que en dinámica haremos, A = µǫ Φ t Condición de Lorentz Pero podemos fijar cualquier otra condición a la divergencia de A. La condición de Coulomb y la condición de London son también populares. Fernando D. Quesada (UPCT, Dpto. TIC) Ondas Electromagnéticas 1 de octubre de / 4