TITULACIÓN: INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS (2 o CURSO)

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TITULACIÓN: INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS ( o CURSO) Examen final: de Enero de 8 Profesores: Alejandro Álvare Melcón, Fernando Quesada Pereira Puntuación: (. puntos) No se permite tener en la mesa ningún tipo de apuntes ni libros durante el examen. Deje su carné de estudiante o DNI en un lugar bien visible sobre la mesa. No olvide poner el nombre en todas las hojas. Tiempo horas. Problema : (. puntos) Tenemos un conductor infinito en la dirección (), y de sección transversa en forma de sector, tal y como se muestra en la Figura. Se supone que existe una carga distribuida en el volumen del conductor de forma uniforme, y con densidad de carga (ρ o C/m ). Para aplicar las simetrías del campo, suponga que el radio (a ), y que ( / ρ ). Tomar como origen de potenciales el eje (x). Se pide: y a ϕ x Figura : Conductor infinito, de sección sectorial. a) Usando el método de Gauss, calcular el campo eléctrico en el interior del conductor (.5p). El teorema de Gauss nos dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada S es igual a la carga encerrada Q enc en el volumen que delimita esa superfice. D d S Q enc () Primero tenemos que aplicar las simetrías del problema: S ; ρ ; ϕ ; () Por tanto, E φ () φ φ + φ }{{} ρêρ ρ ϕ eˆ ϕ + φ }{{} ê (4) Así queda: E Eϕ (ϕ)ˆ e ϕ Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

2 y ds ϕ x Figura Tenemos que escoger un volumen cerrado por una superficie de manera que E sea constante a través de las superficies. Podemos tomar el volumen sectorial rallado, y en ẑ una unidad de longitud L. La única superfice importante es la marcada en la figura, en las otras E ds y la integral sería cero. Esto también ocurre en las tapas de arriba y abajo: ds dρdeϕ ˆ. S L D d S ǫ o E ϕ d La carga encerrada en el volumen será: donde ϕ x para la integración a L Q enc ρ V dv ρ o V dv ρdρdϕd d dρê ρ eˆ }{{} ϕ ǫ o E ϕ La (5) a ρdρ ϕ dx (6) Igualando tenemos: [ ρ Q enc ρ o L ] a ϕ ρ o L a ϕ C (7) ǫ o E ϕ La ρ o L a ϕ E ϕ ǫ o ρ o a ϕ (8) Por tanto: E a ρo ǫ o ϕˆ e ϕ V/m Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

3 b) Tomando como referencia de potencial el eje (x), calcular el potencial en el interior del conductor. Calcular la capacidad del hilo por unidad de longitud (.5p). Usamos la integral de campo y a dl ϕ x Figura pero dl eˆ ϕ adϕ, además, ϕ x para la integración. ϕ φ(ϕ) φ(ϕ ) E dl }{{} (9) ϕ φ(ϕ) ϕ φ(ϕ) ρ o a 4ǫ o ϕ a a ρ o xeˆ ϕ eˆ ϕ adx ρ ǫ o }{{} o ǫ o V ϕ xdx ρ o a ǫ o [ x ] ϕ () Para hallar la capacidad C del hilo por unidad de longitud, la vamos a definir como la relación entre la carga total almacenada y el voltage total: C Q T V T. Q T ρ L a V T ρ a 4ǫ o π C ρ La π 4 ρ a π 6ǫ o π ρ L a π 4 4 ρ a π 6ǫ o C L ǫ o6 4π ǫ o4 π F/m () Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

4 Problema : (.5 puntos) Se quiere adaptar impedancias al generador con el circuito mostrado en la Figura 6, donde la primera línea actúa como un transformador en cuarto de onda. Se pide (f 5GH, Z L (7+j)Ω, Z c 79 57Ω, Z c Ω, Z g 5Ω, V g V): Z g d λ/4 d V g + Z c C Z c Z L () () Figura 4: Circuito de adaptación de impedancias. a) Calcular la longitud de la segunda línea (d ) y el valor de la capacidad (C) para adaptar impedancias al generador (.p). Primero empeamos desde el generador hacia la carga. Aquí vemos un transformador en λ/4, y por tanto: Z in Z g 5Ω Z in Z c ; Z B Z B 5Ω Z B Z c Z in 5 () Z g d λ/4 d + V g Z c C Z c Z L Z in () () Y B Y A Z B Figura 5: Circuito de adaptación de impedancias. En este punto tenemos que trabajar con admitancias, ya que el condensador está conectado en paralelo: Y B Z B 8 Ω. Y B +jb x +Y A () Y A Y B jb x (4) Y A 8 jb x donde B x es la susceptancia del condensador. Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

5 Para trabajar en la primera línea de transmisión debemos normaliar respecto de su impedancia característica: Y A Y A Y C ; Z C Ω Y C Ω (5) Y A 8 j B x 8 j B x B x B x B x Luego Y A tiene que tener parte real 8. Para llegar a Y A partimos de Z L, calculamos Y L, y nos desplaamos hasta que corte el círculo de parte real 8. Usando la carta de Smith se obtiene: ZL 7+j ; YL +j 5. desde Y L nos desplaamos hacia el generador hasta cortar el círculo de 8, y parte imaginaria negativa (como indica (5)). Y L +j 5; BX 4 (6) Nos hemos movido d λ (7) λ /5 6cm 6mm d 67λ 4 mm Z x jωc ; Y X jωc jb X ; ωc B X (8) B X B X 4 4 Ω C B X πf 4 π5 9 7pF Z L Y A Y L B x 8 Figura 6 Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

6 b) Coeficiente de onda estacionaria que soporta cada línea. Distancia a la que aparecerá el primer máximo de tensión en la segunda línea. Amplitud de la onda incidente en la primera línea (.5p). El coeficiente de onda estacionaria en la seguna línea lo podemos leer directamente de la carta de Smith: S 6; S,6667 (9) Para la primera linea tenemos que hallar el coeficiente de reflexión: Z g d λ/4 + V g Z C Z L ρ g ρ o ρ B Figura 7 ρ B Z B Z C Z B +Z C () S ρ B + ρ B () - Distancia a la que aparecerá el primer máximo de tensión en la línea : Los mínimos de tensión aparecen en el semieje real derecho. Nos desplaamos desde Z L hasta el semieje real derecho: l λ () l 74 6mm 44mm La longitud de la línea es de 4mm (7), menor que el resultado en (), por lo tanto nunca llega a aparecer. - Amplitud de la onda incidente en la línea : Se puede resolver de dos formas: A V g ρ g ρ g ρ o () Se observa que si ρ B 5, entonces ρ o 5, ya que la longitud de la línea es λ/4. Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

7 Además: ρ g Z g Z C Z g +Z C (4) A V (5) También se puede resolver con cálculos de potencias: Z g I o V g + V o Z in Z g Figura 8 P V V oi o ; P V I o Z in (6) P m I o Re[Z in ] V g I o Z g +Zg P m V g V g Z g V g 5 Pero en una línea, la potencia activa transmitida es: 5 5Watt 5mWatt P m A ( ρb ) 5 (7) Z C A Z C ρ B 5 A 6 455V Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

8 Problema : (.5 puntos) Vamos a tratar de hacer un protector reflectante para proteger nuestros equipos de la radiación de un transmisor próximo que produce interferencias. Para ello podemos usar varias capas de pintura dieléctrica. () x () ǫ r ǫ r ǫ r Ē H k Ē H k λ a /4 λ b /4 ǫ ra ǫ rb ǫ r (a) (b) Figura 9: Onda plana incidente sobre un medio dieléctrico. a) En primer lugar consideramos una onda electromagnética que incide normalmente a un dieléctrico semi-infinito, de permitividad (ǫ r 9, ver Figura 9(a)). Calcular el porcentaje de potencia que es reflejada por el dieléctrico (.5p). Estamos en el caso de incidencia normal u onda TEM: x ǫ r () Ē k H () ǫ r k,z C Z in ρ in k,z C Figura : Onda plana incidente sobre un medio dieléctrico y equivalente circuital. Z in Z C µo Z o 9ǫ o (8) k ω ǫ o µ o 9 ko }{{} k o Z C Z o ; k k o ρ in Z in Z C Z in +Z C Z o Z o Z o +Z o + + La fracción de potencia que se refleja: ρ in 4 5 5% Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

9 b) Ver qué sucede con la potencia reflejada si la onda incide al dieléctrico con un ángulo de o (.p). Es una onda con polariación TE: xx ǫ r θ r θ i Ē i () H i () ǫ r θ t Ē t H t Z in β,z C TE β,zc TE ρ in Figura : Onda plana incidente con un ángulo de o y equivalente circuital. Por tanto, Z in Z TE C ωµ o β (9) β k cosθ t k o cosθ t Z in ωµ o k o cosθ t ωµ o ω ǫ o µ o cosθ t Z o cosθ t Z o/ cosθ t Z TE C ωµ o β ; β k o () Z TE C ωµ o k o ρ in Z in ZC TE Z in +ZC TE Además tenemos la Ley de Snell: Por tanto: ωµ o ω ǫ o µ o Z o Z o/ cosθ t Zo Z o/ cosθ t + Zo cosθ t +cosθ t () k sinθ i k sinθ t () k sinθ i k o sinθ t sinθ t sinθ i sin5o θ t 67rad 9 59 o ρ in / 6 cos9 59 o +cos9 59 o 547 () ρ in 99 % % representa la fracción de potencia que se refleja, es decir, hay un aumento de la reflexión, luego se transmite menos. Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

10 c) Con el fin de evitar la penetración de la onda, intercalamos entre el aire y el sustrato un sandwitch formado por dos capas dieléctricas de espesor cuarto de onda y permitividades (ǫ ra ) y (ǫ rb, ver Figura 9(b)). En el caso peor, encontrar el porcentaje de potencia transmitida (.p). El peor caso es cuando la onda incide normalmente al dieléctrico: λ a /4 λ b /4 ǫ r ǫ ra ǫ rb ǫ r Ē H k Figura : Onda plana incidente sobre varias capas dieléctricas. Para incidencia normal tenemos el siguiente circuito equivalente: ρ a ρ b () λ a /4 λ b /4 () Z in,a Z in,b Z in, Z C,k Z Ca,k a Z Cb,k b Z C,k Figura : Onda plana incidente sobre varias capas dieléctricas. µo µo Z C Z o ; Z Ca Z o ; (4) ǫ o ǫ o µo Z Cb Z o µo ; Z C Z o ǫ o 9ǫ o Z in; Ahora utiliamos las fórmulas del transformador en λ/4: Z inb Z Cb Z in Z o/ Z in ; (5) Z ina Z Ca Z inb Z o/ Z o/ Z in Z in; Z ina Z in 6 ; Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena

11 El sandwich reduce por 6 la impedancia. Finalmente: El coeficiente de reflexión será: Z ina Z o/ 6 Z o 8 (6) ρ a Z ina Z C Z ina +Z C Z o/8 Z o Z o /8+Z o 8 +8 ; (7) ρ a 894 ρ a 799 d) El 8 % de la potencia es reflejada, con lo que hemos mejorado nuestra protección Cuántos sandwitches debemos poner para que la potencia reflejada sea superior al 99 % (.p).? Con un sandwich tenemos: Con N sandwiches tendremos: Queremos: Z ina Z in 6 Z o 8 (8) Z ina Z in 6 N Z o/ 6 N (9) tomando el signo de arriba: ρ a 99; ρ a ± 99 ± 995; (4) ρ a Z ina Z C Z ina +Z C Z o/( 6 N ) Z o Z o /( 6 N )+Z o 6N + 6 N N ± 995(+ 6 N ) 6 N ± 995± N ( 995) (± 985) 6 N N ; 6 N N ln6 ln En estas condiciones se obtendría un N negativo, no es válido. Tomando el signo de abajo: (4) N ; 6 N N ln6 ln N N N sandwiches (4) Campus Muralla del Mar s/n. Cartagena