Teoría Electromagnética Ayudantía 4

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Teoría Electromagnética Ayudantía Condiciones de borde en la frontera Las condiciones que deben satisfacer los campos electromagnéticos en una zona interfacial que separa dos medios se deducen, por supuesto, de las ecuaciones de Maxwell. La más simple de deducir es la que cumple la condición para la componente normal del campo magnético, y se obtiene a partir de la ecuación B(t, x) = 0 En cualquier zona interfacial entre dos medios se puede construír una superficie cilíndrica como se muestra en la figura Integrando la ecuación de Maxwell sobre el volumen limitado por el cilindro se obtiene ˆ ˆ d 3 x B(t, x) = ds( x) B(t, x) = 0 V S(V ) ds 1ˆn 1 B 1 (t, x) + S 1 ds 2ˆn 2 B 2 (t, x) + S 2 ds 3ˆn 3 B(t, x) = 0 S 3 donde S 3 es el manto del cilindro, mientras S 1 y S 2 las tapas. Si B(t, x) es finito, el último término se puede anular si h 0. Además, en este límite (h 0) las superficies S 1 y S 2 son prácticamente las mismas, S 1 S 2, con ˆn 1 = ˆn 2 y entonces ˆ ˆ ds(ˆx) B(t, x) = ds 1 S(V ) S 1 ( ˆn 1 B 1 (t, x) ˆn 1 B ) 2 (t, x) = 0

2 ˆn 1 B 1 (t, x) ˆn 1 B 2 (t, x) = 0 Es decir, la componente normal del campo magnético es continua al atravesar un medio B 1n = B 2n Ahora veremos que la componente tangencial del campo eléctrico es continua. A partir de la ecuación E(t, x) + B(t, x) = 0 t Integremos esta ecuación sobre una superficie plana rectangular como la de la figura El contorno de S es el camino Γ indicado en la figura. Utilizando el teorema de Stokes ˆ ˆ d ( ) ˆ S( x) E(t, ˆ x) = d x E(t, x) = ds( x) B(t, x) S Γ S t En el caso en que h 1 0, h 2 0 le 1t le 2t = 0 la integral de superficie por supuesto es nula ya que la superficie total tiende a cero S (suponemos que la derivada temporal del campo magnético es finita). De aquí se deduce que la componente tangencial de E(t, x) debe ser continua al atravesar una interfaz entre dos medios E 1t = E 2t Utilizando ahora la primera ecuación de Maxwell D(t, x) = ρ(t, x) y utilizando la misma superficie para el caso del campo magnético (cilindro de altura h) se obtiene d 3 x D(t, x) = d 3 xρ( x) V V ˆ ˆ ds( x) D(t, x) = d 3 xρ( x) V (S) V si h 0, entonces (D 1n D 2n ) A = σa 2

3 donde A es la superficie de las tapas, y σ es la densidad superficial de carga en la frontera que divide a los dos medios. Así, la componente normal del campo D(t, x) es discontinua al atravesar una superficie cargada ( D1 D 2 ) ˆn 21 = σ con n 21 la normal desde 2 hacia 1. Equivalentemente para medios lineales (ɛ 1 E1 ɛ 2 E2 ) ˆn 21 = σ Por último, de la ecuación H(t, x) = J(t, x) + D(t, x) t y utilizando la misma superficie de integración que el caso del campo eléctrico, se obtiene ˆ ˆ d ( ) ˆ ˆ S( x) ˆ ˆ H(t, x) = ds( x) J(t, x) + d D(t, x) S( x) S S S t ˆ ˆ ˆ ˆ d x H(t, x) = ds( x) J(t, x) + ds( x) D(t, x) t Γ S Si nuevamente h 1 y h 2 tienden a cero, y la derivada temporal del campo D es finita (H 1 H 2 ) l = J(t, ( x) ˆn 21 ) l donde n 21 es la normal desde el medio 2 al medio 1, y l es un vector de magnitud l y dirección tangente a la interfaz. Es decir, la componente tangencial de H(t, x) es discontinua al atravesar un medio con densidad de carga superficial en la interfaz (H 1 H 2 ) l ( ) = J(t, x) ˆn21 l ( H1 H ) 2 = J ˆn 21 S Esto se puede reescribir ( ˆn 21 H1 H ) 2 = J Resumen Al atravesar una interfaz entre dos medios (1 y 2), los campos electromagnéticos satisfacen B 1n = B 2n E 1t = E 2t ( D1 D 2 ) ˆn 21 = σ ( H1 H 2 ) = J ˆn 21 3

4 0.2. Condiciones de Borde para incidencia normal Las ondas electromagnéticas que se propagan en materiales generalmente entran en el material a través de una frontera entre éste y otro medio, que puede ser por ejemplo, aire o vacío. Aquí utilizaremos las condiciones de borde que satisfacen los campos para el caso de ondas que inciden normalmente sobre una interfaz. (Esto significa que la dirección de propagación es perpendicular a la frontera). Veremos que la onda incidente será acompañada por una onda reflejada y una transmitida. Consideremos el caso que se muestra en la figura Se aprecia una onda incidente ( E i (x, z), H i (y, z)) que se desplaza en el sentido positivo de z, los campos E r (x, z), H r (y, z) describen la onda reflejada que se desplaza en el sentido negativo de z, y E t (x, z), H t (y, z) describen la onda transmitida. La interfaz es el plano z = 0, con el medio 1 a la izquierda y el medio 2 a la derecha. Más concretamente E i (t, z) = E i e ikz e iwt î E r (t, z) = E r e ikz e iwt î E t (t, z) = E t e ikz e iwt î H i (t, z) = H i e ikz e iwt ĵ H r (t, z) = H r e ikz e iwt ĵ H t (t, z) = H t e ikz e iwt ĵ Estas son ondas planas que se propagan en dirección z. Son soluciones a las Ecuaciones de Maxwell si k = β iα Con α y β encontrados anteriormente (Son propiedad de la frecuencia y del medio en el cual se propagan las ondas). Interesa determinar que relación se cumple entre las magnitudes de los campos incidentes, reflejados y transmitidos. Para ello, usaremos el hecho de que el campo eléctrico debe ser continuo en z = 0 (es completamente transversal a la interfaz). Esto significa o bien E i (t, 0) + E r (t, 0) = E t (t, 0) E i + E r = E t Además, si no hay una corriente superficial en la interfaz, el campo H(t, z) es también continuo en z = 0 H i (t, 0) + H r (t, 0) = H t (t, 0) 4

5 o bien H i H r = H t Además, para cada onda las magnitudes entre E y H están dadas por las impedancias intrínsecas del medio. En resumen, se debe resolver lo siguiente E i + E r = E t H i H r = H t E i H i = η 1 = Er H r E t H t = η 2 Utilizando la última junto a las dos primeras se obtiene lo siguiente E t H t = η 2 = Ei + E r H i H r η 2 = Ei + E r 1 η 1 (E i E r ) η 2 = η 1 E i + E r E i E r Ei (η 2 η 1 ) = E r (η 1 + η 2 ) Finalmente ( ) E r = E i η2 η 1 η 1 + η 2 ( ) E t = E i 2η2 η 1 + η 2 ( ) H r = H i η2 η 1 η 1 + η 2 ( ) H t = H i 2η1 η 1 + η 2 Es inmediato que si η 1 = η 2, entonces E r = 0, H r = 0, lo cual es evidente pues en este caso no existe ninguna interfaz. Recordar que la impedancia de un medio está dada en general por iwµ η = σ + iwɛ 0 Para un buen conductor η wµ σ eiπ/4 Para un medio dieléctrico perfecto (conductividad nula) µ η = ɛ 5

6 Para el espacio vacío η = µ0 ɛ 0 = 120π Incidencia Normal en un conductor perfecto: Ondas estacionarias Un caso particular interesante de la ley de reflexión y transmisión en una interfaz para ondas que inciden normalmente es cuando el medio 2 es un conductor perfecto. En este medio, la impedancia intrínseca tiende a cero Luego, se cumple lím η 2 = lím σ σ iwµ σ + iwɛ 0 = 0 ( ) E r = E i η1 = E i η 1 E t = 0 ( ) H r = H i η1 = H i η 1 H t = 0 Es decir, la onda es completamente reflejada. Veremos que esta condición da origen a la creación de una onda estacionaria. El campo eléctrico total queda E(t, z) = E i (t, z) + E r (t, z) E(t, z) = E i e ikz e iwt î E i e ikz e iwt î E(t, z) = E i e iwt î ( e ikz e ikz) Si el medio 1 es un dieléctrico perfecto, entonces k = β (α = 0) E(t, z) = E i e iwt î ( e iβz e iβz) = 2i sin(βz)e i e iwt î Tomando la parte real E(t, z) = 2E i sin(βz) sin(wt)î Esta es una onda que se anula para valores determinados de z ( t), dados por z = nπ β = wnπ c = fn 2λf z = n, n = 0, ±1, ±2,... 2λ donde λ es la longitud de onda en el medio 1. 6

7 Por otra parte, el campo eléctrico se anula para todo t tal que sin wt = 0 t = nπ, n = 0, ±1, ±2,... w Esta onda es llamada estacionaria puesto que no se propaga, sino que simplemente oscila en el espacio y el tiempo. Para el campo magnético se tiene H(t, z) = H i (t, z) + H r (t, z) H(t, z) = H i e iβz e iwt ĵ + H i e iβz e iwt ĵ tomando la parte real H(t, z) = H i e iwt ĵ ( e iβz + e iβz) = 2H i e iwt cos(βz)ĵ H(t, z) = 2H i cos(βz) cos wtĵ Se anula para βz = π ( 2 + nπ z = n + 1 ) π 2 β ( n z = ) λ, n = 0, ±1, ±2,... 4 Además, se aprecia que se anula para todo t tal que cos wt = 0 Se aprecia que para ondas estacionarias, el campo eléctrico y magnético están en un desfase de π/2 Figura 1: Ondas estacionarias se pueden lograr al confinar ondas electromagnéticas entre dos planos perfectamente conductores 7

8 Problema En la región 1 de la figura, B 1 = 1,2î + 0,8ĵ + 0,4ˆk (T). Encuentre H 2 ( H en z = +0) Solución Se tiene B 1 = 1,2î + 0,8ĵ + 0,4ˆk la componente normal del campo magnético a una superficie es siempre continua, es decir B 1 ẑ = B 2 ẑ se desprende que el campo magnético en z = 0+ es de la forma B 2 = B 2x î + B 2y ĵ + 0,4ˆk Además, en la regiòn 1 la permeabilidad está dada por de forma que el campo H en z = 0 es µ 1 = µ r1 µ 0 = 15µ 0 H 1 = 1 B1 = 1 ( ) 1,2î + 0,8ĵ + 0,4ˆk 15µ 0 15µ 0 La componente tangencial de H es continua al atravesar una superficie sin densidad de carga superficial. Suponiendo que éste es el caso, el campo H en z = 0+ es de la forma H 2 = 1 ( ) 1,2î + 0,8ĵ + H 2zˆk 15µ 0 En resumen Además B 2 = B 2x î + B 2y ĵ + 0,4ˆk H 2 = 1 ( ) 1,2î + 0,8ĵ + H 2zˆk 15µ 0 H 2 = 1 µ 2 B2 = 1 µ 0 B2 luego B 2x = µ 0 H 2x = 1,2 15 B 2y = µ 0 H 2y = 0,8 15 8

9 Finalmente B 2z = µ 0 H 2z = 0,4 H 2z = 0,4 µ 0 H 2 = 1 ( ) 1,2î + 0,8ĵ + 0,4 ˆk 15µ 0 µ 0 9

10 Problema Un campo E de 500 Mhz viaja por el espacio libre e incide perpendicularmente sobre un medio parcialmente conductor como se ilustra en la figura. Si la amplitud del campo incidente es E i0 = 100 V/m, determine a) Las amplitudes de las ondas una vez atravesado completamente el medio (E t0, H t0 ) b) La potencia temporal que porta la onda incidente c) La potencia temporal que porta la onda transmitida nuevamente al espacio Solución Definimos el eje ẑ como se indica en la figura, donde el origen coincide con el extremo izquierdo del medio parcialmente conductor La onda incidente está descrita por E i = E i0 e i(5 108 t βz) î, z < 0 donde la constante de propagación en el vacío está dada por β = w c = µ 0 ɛ 0 Al incidir normalmente sobre el medio conductor, parte de la onda se refleja, y otra es transmitida hacia el medio. Si E m0 es la amplitud de la onda transmitida en la interfaz (z = 0), entonces se cumple ( ) 2ηm E m0 = E i0 η 0 + η m 10

11 donde η m es la impedancia intrínseca del medio conductor iwµ η 2 = σ + iwɛ = i µ i ɛ 0 η 2 = 44, i13,2865 El que sea un número complejo implica que existirá un desfase entre la onda incidente y la onda transmitida al medio. η 0 es la impedancia intrínseca del vacío η 0 = µ0 ɛ 0 = 120π Así, para E i0 = 100 E m0 = 21, i5,63173i = 22,0495e i0, Con esto, la onda transmitida al medio parcialmente conductor está descrita por E m (t, z) = E m0 e αmz e i(wt βmz), 0 < z < E m (t, z) = 22,0495e αmz e i(5 108 t β mz+0,258274), 0 < z < donde la constante de atenuación (α m ) en este medio está dada por ( ( ) α m = w µɛ ( σ ) wɛ α m = µ ( ) 2 055ɛ = 24, ɛ 0 Así E m (t, z) = 22,0495e 24,26005z e i(5 108 t β mz+0,258274), 0 < z < La magnitud del campo en z = es E mt = 22,0495e 24, = 10,6491 Si E t0 es la amplitud del campo eléctrico transmitido nuevamente al vacío, se cumple ( ) 2η0 E t0 = E mt = 19,0375 η 0 + η m la amplitud del campo H se relaciona con la del campo eléctrico según E t0 H t0 = η 0 H t0 = η 0 E t0 = 0,

12 b) El promedio temporal del vector Poynting de la onda incidente es Si = E2 i0 2cµ 0 ˆk = 13,2629ˆk(W/m 2 ) c) Para la onda transmitida nuevamente al vacío St = E2 t0 2cµ 0 ˆk = 0,480681ˆk(W/m 2 ) 12

13 Problema Se requiere que Ud. haga una estimación de la intensidad de campo eléctrico, en V/m, que requerirría generar un radar de 2 Ghz de penetración de suelo, con el objeto de detectar piezas metálicas de gran tamaño, enterradas a una profundidad de hasta 2 metros. Dependiendo de la composición y la humedad del terreno, este puede tener el siguiente rango de parámetros 10 4 σ ɛ rt 8 µ rt = 1 Por otra parte se estima que las piezas enterradas tienen el siguiente rango de parámetros 10 7 σ m µ rm 7000 ɛ rm = 1 Se requiere saber que intensidad de campo eléctrico en V/m se requiere en el aire, sobre la superficie del terreno, para detectar en el aire sobre la superficie del terreno, un rebote del objeto metálico que tenga una amplitud de 1V/m, asumiendo incidencia normal Solución Para estimar la intensidad mínima de campo eléctrico que debe generar el radar, debemos suponer la peor situación posible. Supondremos que hay una pieza metálica situada a 2 m de profundidad en la tierra. El caso menos favorable para la propagación en la tierra es cuando ésta presenta su máxima conductividad (mayor atenuación). Más aún, para que ésta se comporte como un buen conductor (atenuante) debe tenerse σ t >> wɛ t, de forma que consideramos el caso de mayor conductividad y menor constante dieléctrica. La reflexión en la placa metálica será buena en la medida que η m (impedancia intrínseca del metal) sea lo más pequeña posible. De esta forma, el peor de los casos para la reflexión en la pieza metálica ocurre cuando η m toma su máximo valor posible, y entonces cuando posee la menor conductividad y la mayor permeabilidad magnética. En la figura de arriba se aprecia una onda incidente E i (campo emitido por el radar en la superficie), y una onda transmitida en la tierra E ti, que se propaga en dirección z, esta onda será reflejada por la pieza metálica en z = 0 13

14 En esta figura se muestra el campo que se ha reflejado en el metal y se propaga hacia la superficie, que llamaremos E rm, y la onda recibida finalmente en la superficie, llamada E t. Sabemos que esta última tiene una magnitud de E t = 1 (V/m). La magnitud de la onda reflejada en el metal se describe por E rm (z) = E r0 e αz donde α es el coeficiente de atenuación en la tierra α = w µ ( ) 2 tɛ t σt wɛ t con w = Hz, σ t = 10 2 (S/m), µ t = 4π10 7 = µ 0, ɛ t = ɛ rt ɛ 0 = 3 8, Reemplazando estos valores α = 1,08742 Debido a las condiciones de contorno en la interfaz (z = 2), se cumple E t = 1 = E 2η 0 η 0 + η t donde E es la magnitud del campo E rm en z = 2, y η 0 es la impedancia intrínseca del aire, considerada igual a la del vacío. η 0 = µ0 ɛ 0 = 120π y la impedancia intrínseca de la tierra iwµ0 η t = = 217,434 + i3,2564 σ t + iwɛ 0 ɛ rt con esto se obtiene Además E = η 0 + η t 2η 0 = 0,788393V/m E = E rm (z = 2) = E r0 e α2 = E r0 e 1, de donde la magnitud de la onda reflejada en el metal en z = 0 es E r0 = Ee 1, = 6,93842V/m 14

15 Ahora, esta onda reflejada en el metal proviene de la onda E ti que fue transmitida a la tierra. La magnitud de esta última se puede expresar como E ti = E 0 e αz donde E 0 (magnitud en z = 0) está relacionada con E r0 mediante E r0 = E 0 η m η t η m + η t donde la impedancia intrínseca de la pieza de metal es iwµ0 µ m η m = σ m + iwɛ 0 ɛ m con w = Hz, σ m = 10 7 (S/m), µ m = 700, ɛ m = 1 resulta η m = 2, i2,35095 Notar que es un complejo con fase π/4, que es lo que se obtiene para un buen conductor. Con todo esto E 0 = E r0 η m + η t η m η t = 7,09235 Justo en z = 2, la magnitud de la onda transmitida a la tierra es E ti (2) = E 0 e αz = 7,09235e 1, = 62,4177V/m Si E i es la magnitud de la onda que emite el radar en la superficie, entonces se cumple E ti (2) = E i 2η t η t + η 0 E i = 62,4177 η t + η 0 2η t E i = 85,3109 Es decir, se requiere emitir un campo de magnitud aproximadamente E i = 85, 3 (V/m) 15