Condiciones de salto del campo eléctrico y del potencial en superficies cargadas.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Condiciones de salto del campo eléctrico y del potencial en superficies cargadas. Consideremos una superficie cargada S c con densidad superficial de carga σ(r), y consideremos un punto P de S c de vector de posición r. Sean el vector unitario normal a S c en P,sea E 2 (r) el valor del campo eléctrico justo por encima de P (en el sentido en que apunta n), y sea E 1 (r) el valor del campo eléctrico justo por debajo de P (en sentido contrario al de n). Consideremos ahora un cilindro infinitesimalmente pequeño centrado en P, cuyas superficies circular superior e inferior son perpendiculares a n (en ese caso, la mitad superior del cilindro quedará aproximadamente por encima de S c y la mitad inferior, aproximadamente por debajo, tal y como muestra la figura). Sea h la altura del cilindro y sea S el área de la base. Sea S ci = S 1 S 2 S L la superficie cerrada que limita al cilindro, y sean S 1, S 2 y S L las superficies inferior, superior y lateral del cilindro respectivamente. Si aplicamos la ley de Gauss a S ci,se obtiene que: E ds = Q(S ci) S ci = Q(S int) (1) donde S int es la porción de S c que queda dentro de S ci y Q(S int ) es la carga total almacenada en S int. Si ahora tenemos en cuenta

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 que el cilindro limitado por S ci es inifinitesimalmente pequeño, los términos que aparecen en la ecuación (1) se pueden reescribir: E ds = E ds + E ds + E ds S ci S 1 S 2 S L = E 1 (r) n S + E 2 (r) n S + E ds (2) S L Q(S int ) S = int σds = σ(r) S (3) Y sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene que: E 1 (r) n S + E 2 (r) n S + E ds = σ(r) S (4) S L Si ahora en la ecuación (4) tomamos el límite cuando h 0, la integral S L E ds tiende a cero ya que el área del dominio de integración tiende a cero y el integrando está acotado, con lo cual, se llega a que: E 2 (r) n E 1 (r) n = σ(r) r S c (5) donde se ha simplificado el factor común S. La ecuación (5) nos dice que la componente del campo eléctrico normal a una superficie cargada sufre una discontinuidad al atravesar dicha superficie, y que esa discontinuidad es igual a la densidad superficial de carga dividida por.

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 Consideremos de nuevo la misma superficie cargada S c con densidad superficial de carga σ(r), y consideremos también el punto P de S c.sean el vector unitario normal a S c en P,ysea τ un vector unitario arbitrario tangente a S c en P (téngase en cuenta que existen infinitos vectores tangentes a S c en P ). Consideremos ahora un rectángulo infinitesimalmente pequeño centrado en P y contenido en el plano que forman el punto P ylos vectores n y τ, de forma que dos de los lados del rectángulo sean paralelos a n y los otros dos lados, paralelos a τ (en ese caso, la mitad superior del rectágulo quedará aproximadamente por encima de S c y la mitad inferior, aproximadamente por debajo, tal y como muestra la figura). Sean A, B, C y los vértices del rectángulo, y sean l y h la base y la altura del rectángulo respectivamente (vea la figura). Como el campo eléctrico existente alrededor de la superficie cargada es irrotacional, su circulación a través del camino cerrado ABCA debe ser nula, esto es: E dr =0= ABCA B A C B C A E dr =0(6) Pero como el rectángulo es infinitesimalmente pequeño, la e- cuación (6) se puede reescribir como:

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 B A E 2 (r) τ l + C B C B C A E 1 (r) ( τ )l + A E dr = E dr =0 (7) Si ahora en la ecuación (7) tomamos el límite cuando h 0, se va a cumplir que las integrales C B E dr y A E dr tienden a cero (ya que la longitud de los dominios de integración tiende a cero y los integrandos están acotados), con lo cual, se obtiene el siguiente resultado: [E 2 (r) τ E 1 (r) τ ] l =0= E 2 (r) τ = E 1 (r) τ (8) r S c τ tangente a S c en P Existe una manera más compacta de escribir la ecuación (8). Consideremos el vector unitario τ tangente a S c en P yperpendicular a τ, que cumple que n τ = τ (vea la figura adjunta). Sustituyendo la relación n τ = τ en (8), se obtiene que: E 2 (r) (n τ )=E 1 (r) (n τ )= τ (n E 2 (r)) = τ (n E 1 (r)) = τ [(n E 2 (r)) (n E 1 (r))] = 0 (9) r S c τ tangente a S c en P Como la ecuación (9) se tiene que cumplir para todos los vectores τ tangentes a S c en P (por cumplirse la ecuación (8) para

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 todos los vectores τ tangentes a S c en P ), se debe cumplir necesariamente que: n E 2 (r) n E 1 (r) =0= n E 2 (r) =n E 1 (r) r S c (10) Las tres ecuaciones (8), (9) y (10) nos dicen que la componente del campo eléctrico tangencial a una superficie cargada es continua al atravesar dicha superficie. Para evaluar el comportamiento del potencial en los puntos de la superficie cargada S c, consideraremos dos puntos P 2 y P 1 situados por encima y por debajo de P respectivamente, que pertenecen a la recta que pasa por P y lleva la dirección del vector unitario n. Supondremos que estos dos puntos se encuentran a una distancia infinitesimalmente pequeña h. Si tenemos en cuenta la relación que existe entre el potencial y el campo eléctrico, se debe cumplir que: P2 E dr = φ(p 1 ) φ(p 2 ) (11) P 1 Si ahora en la ecuación (11) tomamos el límite cuando h 0, la integral P 2 P 1 E dr se anula (ya que la longitud del dominio de integración tiende a cero y el integrando está acotado), y se

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 cumple que: φ(p 1 )=φ(p 2 ) (12) lo cual nos indica que el potencial eléctrico es continuo al atravesar una superficie cargada. Por otro lado, si tenemos en cuenta que E = φ, de acuerdo con las ecuaciones (5) y (8), en las inmediaciones del punto P de S c el potencial eléctrico debe satisfacer las ecuaciones: φ(p 2 ) n φ(p 1 ) n = σ(p ) (13) φ(p 2 ) τ = φ(p 1 ) τ (14) τ tangente a S c en P que también se pueden escribir como: φ(p 2 ) n φ(p 1) n φ(p 2 ) = φ(p 1) τ τ = σ(p ) (15) (16) En realidad, las ecuaciones (14) y (16) se deducen de la ecuación (12) ya que si φ(r) es una función continua sobre la superficie S c, sus derivadas direccionales a lo largo de las direcciones tangentes a S c también deben ser continuas en dicha superficie. Como conclusión, podemos afirmar que a la hora de obtener el campo eléctrico y el potencial en las proximidades de la superficie cargada S c, al campo eléctrico hay que exigirle que satisfaga las ecuaciones (5) y (10) (o equivalentemente, las ecuaciones (5) y (8)), y al potencial hay que exigirle que satisfaga las ecuaciones (12) y (13).