Campo magnético en el entrehierro de un electroimán y de un imán permanente

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Campo magnético en el entrehierro de un electroimán y de un imán permanente Consideremos un anillo toroidal de un material ferromagnético blando en el caso en que el espesor del anillo es mucho menor que su radio medio (esto es, se cumple que a 2 a 1 <<< a m = (a 1 + a 2 )/2, siendo a 1 y a 2 los radios interior exterior del anillo respectivamente). Supongamos que el ciclo de histéresis del material ferromagnético blando es muy estrecho de manera que el ferromagnético se puede modelar como un material lineal, isótropo y homogéneo de permeabilidad µ, siendo µ >>> µ 0. Imaginemos que alrededor del anillo toroidal se realiza un bobinado uniforme de N vueltas de un hilo conductor esmaltado, y que por este hilo conductor se hace circular una corriente estacionaria de intensidad I. Si hacemos coincidir el eje de revolución del anillo toroidal con el eje z de un sistema de coordenadas (vea la gura), debido a la simetría de la estructura, la intensidad magnética en el interior del ferromagnético blando será del tipo H fb = Hϕ fb (ρ)u ϕ. Si ahora aplicamos la ley de Ampère en presencia de medios materiales a una línea de campo magnético Γ situada dentro del ferromagnético blando, se llega a que H fb

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 viene dado por: Γ H fb dr = NI = H fb ϕ (ρ)2πρ = NI = H fb ϕ (ρ) = NI 2πρ = H fb = NI 2πρ u ϕ (1) En la ecuación (1) la coordenada ρ se mantiene dentro del intervalo a 1 ρ a 2, y como a 2 a 1 <<< a 1, el módulo de H fb no va a experimentar variaciones apreciables dentro del anillo toroidal. Por tanto, no cometeremos errores importantes si suponemos que Hϕ fb (ρ) es aproximadamente constante dentro del anillo toroidal e igual al valor que toma cuando ρ = a m (esto es, igual al valor que toma en el punto medio del intervalo a 1 ρ a 2 ), o lo que es lo mismo, si aproximamos H fb mediante la exprexión: H fb NI u ϕ (2) 2πa m De acuerdo con la ecuación (2), el campo magnético dentro del anillo toroidal tendrá una expresión del tipo: B fb = µh fb µni 2πa m u ϕ (3) con lo cual, el módulo del campo magnético también será aproximadamente constante dentro del anillo toroidal. Aplicando la ley de Ampère en presencia de medios materiales, es fácil comprobar que la intensidad magnética y el campo magnético son nulos en el exterior del anillo toroidal.

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 Consideremos ahora una pieza del mismo material ferromagnético blando (para el cual µ >>> µ 0 ) con forma de marco cuadrado de sección transversal cuadrada o circular. Supongamos que se lleva a cabo un bobinado de N vueltas de hilo conductor esmaltado alrededor de uno de los brazos del marco cuadrado, y que se hace pasar una corriente estacionaria de intensidad I a través de dicho bobinado (vea la gura adjunta). Tal y como se muestra en la gura, las líneas de campo magnético atravesarán el interior del bobinado y se cerrarán pasando, bien por el marco ferromagnético, bien por el aire (a diferencia de lo que ocurre con el anillo toroidal, debido a la falta de simetría, en este caso existe campo magnético de fuga que pasa a través del aire). No obstante, la densidad de líneas de campo magnético en el aire será mucho menor que en el interior del marco ferromagnético. Para explicar esto, hay que pensar que al atravesar la interfase ferromagnético/aire, las líneas de campo magnético salen perpendiculares a la supercie del marco ferromagnético (debido a que µ >>> µ 0 ), y eso da lugar a que las líneas de campo magnético estén mucho más separadas en el aire que en el material ferromagnético (vea la gura). Al ser mucho menor

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 la densidad de líneas de campo magnético en el aire, también será mucho menor el campo magnético en el aire que en el marco ferromagnético, y podemos suponer que el campo magnético en el aire es despreciable frente al que existe en el marco ferromagnético (esta aproximación simplica mucho el cálculo del campo magnético creado por el bobinado realizado alrededor del marco ferromagnético), tal y como se muestra en la gura adjunta. Si suponemos además que el espesor del marco cuadrado es mucho menor que sus dimensiones (esto es, si d 2 d 1 <<< d 1 + d 2, siendo 4d 2 el perímetro exterior del marco cuadrado y 4d 1, el perímetro interior), por comparación con lo que hemos visto que ocurre con el anillo toroidal, podemos suponer también que los módulos de la intensidad magnética y del campo magnético se mantienen aproximadamente constantes en el interior del marco ferromagnético. Sea u cm un vector unitario que nos da la dirección y sentido del campo magnético (y en consecuencia, de la intensidad magnética) en cada punto del marco ferromagnético, sea Γ una línea de campo magnético que pasa por los puntos medios de todas las secciones transversales que se pueden denir en el marco ferromagnético, y sea l m = 2(d 1 + d 2 ) la longitud de Γ. Si aplicamos

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 la ley de Ampère en presencia de medios materiales a la curva Γ, podemos obtener una expresión para la intensidad magnética H fb = H fb u cm en el interior del marco ferromagnético. Operando, se obtiene: Γ H fb dr = NI = H fb l m = NI = H fb = NI l m (4) Con lo cual, la intensidad magnética en el interior del marco ferromagnético vendrá dada por: H fb = NI l m u cm (5) Y, a su vez, el campo magnético vendrá dado por: B fb = µni l m u cm (6) De acuerdo con la ecuación (6), si A mc es el área de la sección transversal de los brazos del marco cuadrado, el ujo magnético a través de dicha sección transversal valdrá: Φ m = S B fb ds = µa mc l m NI (7) Si ahora denimos la reluctancia del marco cuadrado como R = l m /µa mc (R se mide en (Henrio) 1 en el sistema internacional), y denimos también la fuerza magnetomotriz del bobinado como M = NI, la ecuación (7) se puede reescribir como: M = RΦ m (8) Consideremos ahora un generador de corriente estacionaria y resistencia interna despreciable, y conectemos el generador a un resistor. La ecuación (8) es muy similar a la que relaciona la

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 fuerza electromotriz del generador con la resistencia del resistor y con la intensidad de corriente que atraviesa a generador y resistor. De hecho, en la ecuación (8) la fuerza magnetomotriz del bobinado juega el papel de la fuerza electromotriz del generador, la reluctancia del marco cuadrado juega el papel de la resistencia del resistor, y el ujo magnético a través del marco cuadrado juega el papel de la intensidad de corriente que circula por el resistor. Piénsese, por ejemplo, que el ujo magnético se mantiene constante a través de todas las secciones transversales del marco cuadrado (por ser el campo magnético solenoidal) de la misma manera que la intensidad de corriente (ujo de la densidad de corriente, que también es un campo vectorial solenoidal para corrientes estacionarias) se mantiene constante a lo largo del circuito formado por el generador y el resistor. Además, la fórmula para la reluctancia del marco es muy similar a la fórmula para la resistencia de un hilo conductor, jugando la permeabilidad en la fórmula de la reluctancia el mismo papel que juega la conductividad eléctrica en la fórmula de la resistencia. Debido a todas las analogías que se han mencionado, al conjunto formado por el marco cuadrado y el bobinado (el bobinado actúa como generador del campo magnético que atraviesa el marco cuadrado) se le conoce con el nombre de circuito magnético. En los laboratorios de Física, a veces es necesario disponer de regiones accesibles en las que existe un campo magnético aproximadamente uniforme (para poder colocar en dichas regiones una muestra de un material que es objeto de estudio, para colocar una espira conductora por la que circula corriente, etc.). Si cortamos un trozo pequeño del marco cuadrado de ferromagnético blando

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 al que antes se ha hecho referencia (vea la gura), el hueco de aire que queda en el marco (también conocido como entrehierro) constituye una de esas regiones accesibles (donde el campo magnético va a ser aproximadamente uniforme, siempre y cuando la longitud del hueco sea pequeña frente a las dimensiones de la sección transversal del marco cuadrado), y a la conguración resultante se la conoce como electroimán. Sea l a la longitud del hueco de aire practicado en el marco ferromagnético del electroimán (vea la gura), y supongamos que se cumple que l a <<< (d 2 d 1 )/2 <<< (d 2 +d 1 )/2, o lo que es lo mismo, que la longitud del hueco de aire es mucho menor que las dimensiones de la sección transversal del marco ferromagnético, y que estas dimensiones son a su vez mucho menores que las dimensiones del marco. En esas condiciones, no sólo el módulo del vector intensidad magnética dentro del marco de ferromagnético blando, H fb = H fb u cm, será aproximadamente constante, sino que además el módulo del vector intensidad magnética dentro del hueco de aire, H a = H a u cm, también será aproximadamente

8 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 constante (téngase en cuenta que los efectos de borde en la transición del marco ferromagnético al hueco de aire serán mínimos de la misma manera que son mínimos los efectos de borde en un condensador de placas paralelas cuando la separación entre las placas es mucho menor que las dimensiones de las mismas). Sea l fb = 2(d 1 + d 2 ) l a el perímetro medio del marco ferromagnético del electroimán, y sea Γ una línea de campo magnético que pasa por los puntos medios de todas las secciones transversales que se pueden denir en el marco ferromagnético. Si aplicamos la ley de Ampère en presencia de medios materiales a la curva Γ, obtenemos la siguiente ecuación: Γ H fb dr = NI = H fb l fb + H a l a = NI (9) Por otro lado, la componente normal del campo magnético debe ser continua en la interfases existentes entre el marco ferromagnético del electroimán y el hueco de aire, con lo cual, se tiene que cumplir que: B fb n i = B a n i = µh fb = µ 0 H a (10) donde n i es un vector unitario normal a las interfases marcohueco, y donde se ha supuesto que la permeabilidad del aire vale µ 0. De la ecuación (10), se deduce que H fb = µ 0 µ H a, y como µ >>> µ 0, se va a cumplir que H fb <<< H a, o lo que es lo mismo, que la intensidad magnética en el marco ferromagnético es mucho menor que en el hueco de aire. Si despejamos H fb en función de H a en la ecuación (10) y sustituimos en (9), se llega a la siguiente expresión para la intensidad magnética en el hueco de aire: NI H a = l a + µ u 0 cm (11) µ l fb

9 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 9 y, en consecuencia, el campo magnético en el hueco de aire valdrá: B a = µ 0 H a = µ 0NI l a + µ 0 µ l fb u cm (12) Por otro lado, el ujo magnético a través de la sección transversal de los brazos del marco del electroimán (de área A mc ) valdrá: Φ m = S B fb ds = µh fb A mc = µ 0 H a A mc = M = NI = l a µ 0 A mc + l fb µa mc NI l a µ 0 A mc + l = fb µa mc Φ m = (R a + R fb ) Φ m = RΦ m (13) donde R a = l a µ 0 A mc es la reluctancia del hueco de aire, R fb = l fb µa mc es la reluctancia del marco ferromagnético, y R es la reluctancia total del marco con hueco de aire. La ecuación (13) nos dice que la reluctancia equivalente del marco ferromagnético en serie con el hueco de aire es igual a la suma de las reluctancias del marco y del hueco, con lo cual, la reluctancia equivalente de una asociación de materiales en serie sigue la misma regla que la resistencia equivalente de una asociación de resistores en serie. Si en las ecuaciones (11) y (12) tenemos en cuenta que µ >>> µ 0, las expresiones para la intensidad magnética y el campo magnético en el hueco de aire del electroimán se pueden escribir aproximadamente como: H a B a NI l a u cm (14) µ 0NI l a u cm (15)

10 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 10 que son ecuaciones que equivalen a hacer la aproximación H fb 0. La ecuación (14) nos indica que la intensidad magnética generada por la fuerza magnetomotriz del bobinado del electroimán M = NI está esencialmente localizada en el hueco de aire. Consideremos ahora una pieza de material ferromagnético duro que tiene forma de marco cuadrado con hueco de aire. Supongamos que la pieza está magnetizada en ausencia de corrientes libres, estando la magnetización orientada a lo largo del marco cuadrado como muestra la gura adjunta. Debido a la ausencia de corrientes libres, la pieza magnetizada de ferromagnético duro se comporta como un imán permanente. Supongamos ahora que en el imán permanente la longitud del hueco de aire es mucho menor que las dimensiones de la sección transversal de los brazos del marco, y que estas dimensiones son mucho menores que las dimensiones del marco (esto es, al igual que ocurría en el caso del electroimán, se cumple que l a <<< (d 2 d 1 )/2 <<< (d 2 + d 1 )/2). En esas condiciones, la fuga de campo magnético por las paredes del imán permanente será despreciable, y el recorrido seguido por las líneas de campo

11 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 11 magnético en el imán será esencialmente el mismo que el que siguen dichas líneas en el electroimán alimentado por bobinado al que antes se ha hecho referencia (compárese la gura adjunta con la del electroimán). Sin embargo, a continuación vamos a ver que las líneas de intensidad magnética tienen un recorrido distinto en el imán permanente y en el electroimán. Sea u cm un vector unitario que nos da la dirección y sentido del campo magnético, tanto en el imán permanente como en el hueco de aire que queda entre sus extremos. Sean B ip = B ip u cm y H ip = H ip u cm el campo magnético y la intensidad magnética en el interior del imán permanente, y sean B a = B a u cm y H a = H a u cm el campo magnético y la intensidad magnética en el hueco de aire (al igual que ocurre con el electroimán, B ip, H ip, B a y H a son aproximadamente constantes). Asimismo, sea l a la longitud del hueco de aire, sea l ip = 2(d 1 + d 2 ) l a el perímetro medio del imán permanente, y sea Γ una línea de campo magnético que pasa por los puntos medios de todas las secciones transversales que se pueden denir en el imán permanente (de longitud 2(d 1 + d 2 )).

12 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 12 Debido a que el imán permanente se encuentra magnetizado en ausencia de corrientes libres, si aplicamos la ley de Ampère en presencia de medios materiales a la curva Γ, se obtiene la siguiente ecuación: Γ H fb dr = 0 = H ip l ip + H a l a = 0 = H a = l ip l a H ip (16) Por otro lado, si imponemos la continuidad de la componente normal del campo magnético en las interfases entre el imán permanente y el hueco de aire, obtenemos que: B ip n i = B a n i = B ip = B a = µ 0 H a (17) donde n i es un unitario normal a las interfases imánhueco, y donde se ha supuesto de nuevo que la permeabilidad del aire vale µ 0. De acuerdo con las ecuaciones (16) y (17), si H a > 0, entonces se cumple que B a > 0 y B ip > 0, pero H ip < 0. Esto signica que el campo magnético y la intensidad magnética llevan el mismo sentido en el hueco de aire (al igual que ocurre en el caso del electroimán), pero llevan sentidos contrarios en el interior del imán permanente (frente a lo que ocurre en el electroimán donde el campo magnético y la intensidad magnética llevan el mismo sentido). Si estamos interesados en conocer H ip y B ip, es preciso obtener primero una relación entre estas dos cantidades a partir de las ecuaciones (16) y (17), relación que viene dada por: B ip = µ 0l ip l a H ip (18)

13 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 13 A continuación, hay que representar la ecuación (18) en una gráca de B ip frente a H ip, junto con el ciclo de histéresis del material ferromagnético con el que está hecho el imán permanente (vea la gura adjunta). El punto de corte entre la recta de pendiente negativa correspondiente a (18) y el ciclo de histéresis nos da el punto de trabajo del imán permanente. Como muestra la gura, el punto de trabajo va a estar en el segundo cuadrante del plano H ip B ip, lo cual demuestra una vez más que el campo magnético y la intensidad magnética llevan sentidos contrarios en el interior del imán permanente. Como H ip se opone a B ip, en algunos libros a H ip se le conoce como campo desmagnetizante. Como es de suponer, el vector magnetización en el imán permanente M ip sí lleva el mismo sentido que el campo magnético B ip. Esto se puede demostrar fácilmente haciendo uso de la ecuación (18) ya que: M ip = B ip H ip = B ip u cm H ip u cm µ 0 µ 0 B ip = + l a B ip = 1 + l a B ip (19) µ 0 l ip µ 0 µ 0 Si representamos las líneas de intensidad magnética en el imán permanente y en el hueco de aire, se observa que estas líneas van l ip

14 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 14 del polo norte al polo sur del imán, tanto en el hueco de aire como en el interior del imán (el que las líneas tengan este comportamiento en el interior del imán se debe al campo desmagnetizante).