Ejemplo: Solenoide toroidal de sección rectangular relleno de un material lineal, homogéneo e isótropo.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Ejemplo: Solenoide toroidal de sección rectangular relleno de un material lineal, homogéneo e isótropo. Consideremos un solenoide toroidal de sección transversal rectangular por el que circula una corriente estacionaria de intensidad I (las dimensiones del solenoide han sido denidas en la gura adjunta). El bobinado del solenoide contiene N vueltas y ha sido realizado alrededor de una muestra toroidal de un material de permeabilidad magnética µ r µ. En este ejemplo abordaremos el cálculo de los vectores intensidad de campo magnético, inducción magnética y magnetización en el interior del solenoide toroidal. Asimismo, obtendremos las densidades de corriente de magnetización existentes en el material de permeabilidad µ r µ. También calcularemos el ujo magnético a través de la sección transversal del solenoide y, a partir de éste último, la autoinducción del solenoide. Vamos a elegir un sistema de coordenadas cuyo eje z coincide con el eje de revolución del solenoide toroidal (véase la gura).

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 Dado que la única corriente que interviene en la creación del vector intensidad de campo magnético H es la corriente (real) que circula por el bobinado del solenoide, cabe esperar que la forma funcional de H sea la misma que la que presenta el vector inducción magnética B creado por un solenoide toroidal en vacío, esto es, H = H(ρ, z) (en el fondo, esto es estrictamente cierto gracias a que en este ejercicio H = ). Teniendo en cuenta la simetría del problema, calcularemos H utilizando la forma generalizada de la ley de Ampère. Sea C 1 una circunferencia de radio ρ centrada en el eje z y situada en un plano perpendicular a este eje, que está situada en el exterior del solenoide. Sea S 1 el círculo de radio ρ limitado por esta circunferencia. Aplicando la forma generalizada de la ley de Ampère a C 1 y S 1, se obtiene: H dr = I(S 1 ) = C1 H(ρ, z) ρdϕ = H(ρ, z) = I(S 1 ) = = H(ρ, z) = lo cual indica que H es nulo en el exterior del solenoide (y en consecuencia, B = µ H también es nulo). El hecho de que I(S 1 ) sea nula es debido a que, o bien la supercie S 1 es atravesada dos veces en sentidos opuestos por la intensidad de cada una de las N vueltas del solenoide (con lo cual, I(S 1 ) = NI + N( I) = ), o

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 bien S 1 no es atravesada nunca por el bobinado del solenoide (en cuyo caso I(S 1 ) = directamente). Consideramos ahora una circunferencia C 2 de radio ρ centrada en el eje z y situada en un plano perpendicular a este eje, que está situada en el interior del solenoide. Sea S 2 el círculo limitado por esta circunferencia. Si ahora aplicamos la ley de Ampère a C 2 y S 2, obtendremos: H dr = I(S 2 ) = C2 H(ρ, z) ρdϕ = H(ρ, z) = I(S 2 ) = NI = H(ρ, z) = NI = H = NI que nos da la expresión del vector H dentro del solenoide. Para obtener la expresión del vector inducción magnética B dentro del solenoide, basta tener en cuenta que: B = µ r µ H = µ rµ NI Finalmente, la expresión de la magnetización M en el interior del solenoide puede obtenerse como se indica a continuación: B = µ (H + M) = M = B µ H = (µ r 1) H = M = (µ r 1)NI A partir del vector magnetización, se pueden obtener las densidades de corriente de magnetización. Para obtener la densidad

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 volumétrica de corriente de magnetización, calculamos el rotacional de M: j M = M = 1 ρ u ρ ρ u z ρ ϕ z (µ r 1)NI = A la hora de obtener las densidades superciales de corriente de magnetización, hay que distinguir las cuatro supercies dos super- cies cilíndricas y dos coronas circulares que limitan externamente al solenoide toroidal. De acuerdo con esto último, tendremos: j SM ] ρ=b, z h, ϕ = M(ρ = b) u ρ = (µ r 1)NI b j SM ] ρ=a, z h, ϕ = M(ρ = a) ( u ρ ) = (µ r 1)NI a j SM ] a ρ b,z=h, ϕ = M(ρ) u z = (µ r 1)NI j SM ] a ρ b,z=, ϕ u ρ = M(ρ) ( u z ) = (µ r 1)NI El ujo magnético a través de la sección transversal del solenoide toroidal viene dado por (véase la gura en la que aparecen los ejes coordenados y la sección transversal del solenoide): φ m = S B ds = z=h z= ρ=b ρ=a µ rµ NI dρdz = µ rµ NIh ln(b/a) Este ujo magnético es el que atraviesa cada una de las vueltas del bobinado del solenoide. Para obtener el ujo total a través de todo el solenoide, bastará multiplicar el número de vueltas por el ujo u z u ρ u z

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 que atraviesa cada vuelta, esto es: φ m,total = Nφ m = µ rµ N 2 Ih ln(b/a) A partir de aquí, es posible calcular la autoinducción de todo el solenoide toroidal (téngase en cuenta que el solenoide es en denitiva un conductor liforme recorrido por una corriente estacionaria de intensidad conocida). La autoinducción del solenoide vendrá dada por el cociente entre el ujo magnético total y la intensidad, esto es: L = φ m,total = µ rµ N 2 h ln(b/a) I Obsérvese que la autoinducción es proporcional al cuadrado del número de vueltas del bobinado del solenoide y a la permeabilidad relativa del medio alrededor del cual se ha realizado el bobinado. Este hecho permite explicar por qué los inductores con valores apreciables de autoinducción de los circuitos de corriente alterna se construyen con bobinas de hilo de cobre con un elevado número de vueltas enrolladas alrededor de un núcleo de material ferromagnético o ferrimagnético (téngase en cuenta que los materiales de este tipo tienen una permitividad relativa efectiva no olvidemos que estos materiales son no lineales muy alta, que puede llegar a ser de 1 5 ).