Fuerza electromotriz inducida en espiras en movimiento en el seno de campos magnéticos variables con el tiempo.

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Julio Flores Padilla
hace 5 años
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1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Fuerza electromotriz inducida en espiras en movimiento en el seno de campos magnéticos variables con el tiempo. Consideremos una espira conductora en movimiento. Sea r = r(t) el vector de posición de los puntos de la espira y sea v = v(r, t) el campo de velocidades de los puntos de la espira (al escribir que v sea una función explícita de r, estamos contemplando la posibilidad de que la espira pueda cambiar su forma geométrica en el tiempo, o lo que es lo mismo, que pueda deformarse en el tiempo). Asimismo, sea dl(r, t) el vector desplazamiento innitesimal en cada punto de la espira conductora, tal y como muestra la gura adjunta. Supongamos que la espira conductora en movimiento se encuentra en una región en la que existe un campo magnético variable en el tiempo B = B(r, t). Sea la curva que modela la espira en el instante t, y sea Γ(t+) la curva que modela la espira en el instante t +, siendo un tiempo innitesimalmente pequeño. Asimismo, sean y S(t + ) dos supercies limitadas por y Γ(t + ).

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 Vamos a calcular la derivada con respecto al tiempo del ujo magnético a través de la espira conductora en movimiento. Esa derivada puede expresarse de la siguiente manera: dφ m S(t+) B(r, t + ) ds ] donde los diferenciales de supercie ds denidos en y S(t+) deben estar orientados en el mismo sentido, tal y como muestra la gura. Si sumamos y restamos B(r, t + ) ds a la expresión entre corchetes que aparece en la ecuación (), dicha ecuación se puede reescribir: dφ m S(t+) B(r, t + ) ds ] B(r, t + ) ds + B(r, t + ) ds ] (2) Vamos a considerar ahora la supercie cerrada S c compuesta por, S(t + ) y la supercie S L barrida por la espira conductora al pasar de ocupar la curva a ocupar la curva Γ(t + ) (esto es, S c = S(t + ) S L ). Dado que B(r, t + ) = 0, se debe cumplir que el ujo de B(r, t + ) a través de la supercie cerrada S c es nulo, con lo cual: () B(r, t + ) ds = B(r, t + ) ds + S c S(t+) B(r, t + ) ( ds) + B(r, t + ) ds = 0 (3) S L donde se ha tenido en cuenta que el diferencial de supercie exterior a S c en es ds, siendo ds el que aparece en la gura. Por otro lado, se cumple que el diferencial de supercie barrido por la espira conductora al pasar de t a t + vale ds SL = dl r = dl v(r, t) (esta elección asegura que ds vaya dirigido

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 hacia el exterior de S c en S L ), y para calcular S L B(r, t + ) ds, basta integrar con respecto a ds] SL a lo largo de la curva, esto es: B(r, t + ) ds = B(r, t + ) (dl v(r, t)) S L B(r, t) (dl v(r, t)) = (v(r, t) B(r, t)) dl (4) donde se ha hecho uso de la aproximación B(r, t + ) B(r, t) al integrar en. Introduciendo en la ecuación (3) el resultado obtenido en la ecuación (4) y operando, se llega a que el primero de los dos ites de la ecuación (2) vale: S(t+) B(r, t + ) ds ] B(r, t + ) ds = (v B(r, t)) dl (5) Para obtener el segundo de los ites que aparece en la ecuación (2), vamos a obtener el desarrollo en serie de Taylor de B(r, t+) en torno a = 0, esto es: B(r, t + ) = B(r, t) + B t + O ( () 2 ) con lo cual, utilizando la ecuación (6), se llega a que: B(r, t + ) ds ] B(r, t + ) B(r, t)] ds B t + O () ds = B t (6) ds (7) Ahora bien, el campo magnético variable en el tiempo B(r, t) crea un campo eléctrico no conservativo E(r, t), y de acuerdo con

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 la forma integral de la ley de Faraday, se va a vericar que: B t ds = E(r, t) dl (8) Y si sustituimos la ecuación (8) en la ecuación (7), se llega a que: = B(r, t + ) ds ] E(r, t) dl (9) donde el campo eléctrico E(r, t) que aparece en la ecuación (9) está referido a un sistema de referencia en reposo ya que al escribir las ecuaciones (8) y (9), no se ha tenido en cuenta en ningún momento el movimiento de la espira conductora. Si ahora sustituimos las ecuaciones (5) y (9) en la ecuación (2), se llega a que: dφ m = E(r, t) + v(r, t) B(r, t)] dl (0) Para poder interpretar la ecuación (0), es preciso tener en cuenta que la fuerza de Lorentz por unidad de carga que actúa sobre un portador de carga de la espira situado en el punto de vector de posición r en el instante t vale: F(r, t) q = E(r, t) + v(r, t) B(r, t) () Pues bien, esta fuerza por unidad de carga representa el campo eléctrico impreso E i (r, t) que perciben los portadores de carga de la espira en movimiento (debe tenerse en cuenta que este campo eléctrico en los puntos de la espira que percibe un observador en movimiento con la espira es diferente del campo eléctrico en los

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 puntos de la espira que percibe un observador en reposo, dado por E(r, t)). Teniendo en cuenta la relación que existe entre la fuerza electromotriz y el campo magnético impreso, la fuerza electromotriz inducida en la espira vendrá dada por: ε(t) = E i(r, t) dl = E(r, t) + v(r, t) B(r, t)] dl (2) Se observa que la fuerza electromotriz inducida se puede expresar como suma de dos contribuciones independientes, una debida al campo eléctrico no conservativo generado por el campo magnético variable en el tiempo B(r, t), y otra que es debida al movimiento de la espira en el seno del campo magnético. En este sentido, se puede admitir una especie de principio de superposición para la fuerza electromotriz inducida. Cuando la ecuación (2) se sustituye en la ecuación (0), se llega a que: ε(t) = dφ m (3) que es la extensión de la ley de Faraday al caso general de una espira en movimiento (que puede deformarse a lo largo del tiempo) en el seno de un campo magnético variable en el tiempo.

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