Problemas de Electromagnetismo. Tercero de Física. Boletín 5.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Problemas de Electromagnetismo. Tercero de Física. Boletín a) Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella esté inmersa en una región paralelepipédica en la que existe un campo magnético uniforme B = B 0 u z perpendicular al plano de la espira (vea la gura). Sea I la intensidad de corriente que circula por la espira y sea s la distancia entre los dos puntos de contacto de la espira con la supercie que limita a la región de campo magnético. Obtenga una expresión para la fuerza magnética que actúa sobre la espira en términos de B 0, I y s. b) Utilizando el montaje descrito en el apartado anterior, se desea construir una balanza. Para ello, se va hacer uso de una espira con forma de triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa a por la que circula una corriente de intensidad I. La espira está parcialmente inmersa en la región de campo magnético uniforme B = B 0 u z. Si la espira triangular tiene una masa m 0 y se cuelga de ella un cuerpo de masa m, obtenga la distancia d a la que se encuentra el vértice inferior de la espira de la región de campo magnético (vea la gura). Indique porqué la posición de equilibrio alcanzada por la espira triangular es una posición de equilibrio estable. ¾Cuál es la masa m mayor que se puede medir con esta balanza? Nota: Por motivos que se explicarán en el tema siguiente, para la realización de este problema, conviene suponer que la espira tiene una resistencia no nula y una autoinducción despreciable Un hilo conductor rectilíneo de longitud innita y una espira conductora rectangular de dimensiones a b se colocan en un mismo plano de manera que dos de los lados de la espira sean paralelos al conductor rectilíneo (vea la gura). Si el hilo conductor transporta una corriente de intensidad I 1 y la espira rectangular una corriente de intensidad I 2 en los sentidos mostrados en la gura, calcule la fuerza magnética (módulo, dirección y sentido) que ejerce el hilo sobre la espira a) Determine el campo magnético creado por un segmento de conductor rectilíneo liforme de longitud l, recorrido por una corriente de intensidad I, en todos los puntos del espacio (vea la gura). b) Tomando el límite cuando l en la expresión obtenida en el apartado a), calcule el vector B creado en todos los puntos del espacio por un conductor liforme rectilíneo de longitud innita por el que circula una corriente de intensidad I. c) A partir del resultado obtenido en el apartado a), obtenga el campo magnético creado por una espira plana cuadrada de lado l, recorrida por una corriente de intensidad I, en los puntos de la recta que pasa por el centro de la espira y es perpendicular al plano de la espira (eje z en la gura) a) Determine el campo magnético creado por una espira circular de radio R, recorrida por una corriente de intensidad I, en los puntos del eje de revolución de la espira (eje z en la gura). b) Utilizando el resultado obtenido en el apartado a), calcule el campo magnético creado por un solenoide cilíndrico de radio R y longitud l en los puntos del eje de revolución del solenoide. El solenoide está construido con un bobinado denso y uniforme de un hilo conductor esmaltado alrededor del cilindro de radio R. El hilo da N vueltas alrededor del cilindro y por él circula una corriente de intensidad I.

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 c) Calcule el valor que toma el campo magnético obtenido en el apartado b) cuando la longitud del solenoide se hace tender a innito (l ), manteniendo constante el cociente N/l Considere dos espiras circulares planas iguales de radio R, recorridas por corrientes de intensidad I en el mismo sentido. Las espiras se encuentran situadas en dos planos paralelos situados a una distancia b, y poseen el mismo eje de revolución (eje z en la gura). Demuestre que el campo magnético creado por las espiras en dicho eje es prácticamente uniforme en un entorno del punto medio del segmento que une los centros de las espiras cuando b = R. A esta conguración de espiras, capaz de conseguir un campo magnético aproximadamente uniforme en una cierta región del espacio, se la conoce como bobina de Helmholtz. Indicación: lleve a cabo un desarrollo en serie de Taylor del campo magnético en el eje en torno al punto medio del segmento que une los centros de las espiras, y demuestre que los términos segundo, tercero y cuarto de dicho desarrollo en serie son nulos cuando b = R Considere una espira semicircular de radio R unida por sus extremos a dos conductores liformes rectilíneos semiinnitos que están orientados a lo largo del segmento que une los extremos de la espira semicircular (vea la gura). Por el conjunto espira semicircular + conductores rectilíneos semiinnitos circula una corriente de intensidad I. Calcule el campo magnético creado en el eje de revolución de la espira (eje z en la gura) Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad supercial de carga σ 0. Si el disco gira alrededor de su eje de revolución con una velocidad angular constante ω, calcule el vector inducción magnética en dicho eje de revolución El espectrógrafo de masas es un aparato que permite determinar las masas de los iones y las proporciones relativas de los isótopos en sustancias gaseosas. El aparato consta de dos partes. La primera parte es un condensador de placas paralelas, separadas una distancia s (pequeña frente a las dimensiones de las placas). Entre estas placas se aplica una diferencia de potencial V y también un campo magnético cuyo vector B = B 0 u z (B 0 es constante y mayor que cero) es perpendicular al campo eléctrico existente entre las placas (vea la gura). La segunda parte del espectrógrafo de masas consiste en una placa fotográca, situada junto al extremo de una de las placas y perpendicularmente a esta. a) Si por uno de los extremos del condensador se introducen iones de carga q (q > 0) y masa m con una velocidad v = vu y, demuestre que sólo los iones cuya velocidad valga v 0 = (V/sB 0 )u y seguirán una trayectoria recta entre las placas del condensador y conseguirán salir por la ranura situada al otro extremo (de acuerdo con este esquema de funcionamiento, el condensador en cuyo interior existen campos eléctricos y magnéticos cruzados se comporta como un selector de velocidades). b) Si el campo magnético B = B 0 u z se mantiene en la región exterior al condensador, demuestre que las iones que salgan de la ranura del condensador terminarán golpeando la placa fotográca a una distancia d = (2mV/qsB 2 0) de la ranura.

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina En 1897 J. J. Thomson consiguió medir la relación entre la carga y la masa del electrón e/m e. Para ello, hizo incidir un haz de electrones homocinético (esto es, de igual energía cinética) entre las placas de un condensador de placas paralelas donde existía un campo magnético uniforme, paralelo a las placas, B = B 0 u z (vea la gura). Thomson observó que cuando la distancia entre las placas del condensador valía s, si los electrones se movían originalmente en dirección paralela a las placas y perpendicular al campo magnético, la trayectoria de los electrones no se modicaba y permanecía rectilínea para una diferencia de potencial entre placas igual a V. A continuación, observó que si colocaba las placas al mismo potencial, la trayectoria de los electrones se curvaba y los electrones terminaban impactando en una pantalla uorescente situada al nal de las placas (y perpendicularmente a éstas) a una distancia d de donde impactaban cuando no se modicaba su trayectoria. Sabiendo que la longitud de las placas medida desde el punto de entrada de los electrones hasta el punto de impacto de los electrones en la pantalla vale l, calcule e/m e en términos de V, B 0, s, d y l. Desprecie la fuerza gravitatoria Supongamos que en el plano z = 0 existe un campo magnético B = B z (ρ)u z si ρ < R y B = 0 si ρ > R, de forma que el ujo del campo magnético a través del círculo x 2 + y 2 R 2 contenido en z = 0 es nulo (esto es, S B ds = 0 si S es el círculo citado). Supongamos ahora que una carga puntual parte del origen de coordenadas con una velocidad inicial v(t = 0) B. Demuestre que la carga puntual saldrá de la región ρ R siguiendo una trayectoria radial. Del mismo modo, una carga puntual lanzada hacia el origen de coordenadas desde la región ρ > R en dirección perpendicular al campo alcanzará su objetivo, pese a que siga una trayectoria muy extraña hasta dar en el blanco Considere un conductor cilíndrico de radio a y longitud innita por el que circula una corriente estacionaria de intensidad I que está uniformemente distribuida en la sección transversal del conductor. Calcule el campo magnético y el potencial vector magnético creados por el conductor cilíndrico en todos los puntos del espacio. Suponga que el potencial vector magnético es nulo en el eje del conductor cilíndrico (origen de potencial vector magnético) Considere un conductor cilíndrico de radio b y longitud innita que posee un hueco cilíndrico de radio a < b. Suponga que el eje del conductor cilíndrico se encuentra a una distancia d del eje del hueco (esto es, el conductor cilíndrico y el hueco no son coaxiales), siendo a + d < b (vea la gura). Calcule el campo magnético en el interior del hueco si el conductor cilíndrico transporta una corriente estacionaria de intensidad I uniformemente distribuida en su sección transversal Considere un conductor cilíndrico de longitud innita que posee un hueco cilíndrico, coaxial con el conductor (vea la gura). Sea b el radio externo del conductor cilíndrico y sea a el radio interno. Por el conductor cilíndrico circula una corriente estacionaria no uniforme de densidad de corriente volumétrica J = J 0 (a/ρ)u z referida a un sistema de ejes coordenados cuyo eje z coincide con el eje de revolución del conductor cilíndrico hueco. Calcule el campo magnético en todos los puntos del espacio.

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Considere un conductor laminar innito que ocupa todo el plano z = 0. Por el conductor circula una corriente estacionaria de densidad supercial de corriente K = K 0 u y. a) Calcule el campo magnético creado por el conductor laminar en todos los puntos del espacio. Justique la discontinuidad del campo magnético en la supercie del conductor laminar. b) Calcule el potencial vector magnético creado por el conductor laminar en todos los puntos del espacio, tomando el origen de potencial vector en el plano z = 0. c) Utilizando el resultado obtenido en el apartado a) y el principio de superposición, obtenga el campo magnético creado por dos conductores laminares innitos, uno situado en el plano z = 0 por el que circula una corriente de densidad supercial K = K 0 u y, y otro situado en el plano z = a por el que circula una corriente de densidad supercial K = K 0 u y Considere un solenoide cilíndrico construido con un bobinado denso y uniforme de un hilo conductor esmaltado alrededor de un cilindro de radio R. Si el solenoide tiene longitud innita, N L vueltas por unidad de longitud y está recorrido por una corriente estacionaria de intensidad I, calcule: a) El campo magnético creado por el solenoide cilíndrico en todos los puntos del espacio. b) El potencial vector magnético creado por el solenoide cilíndrico en todos los puntos del espacio, tomando el origen de potencial vector en el eje del solenoide Considere un solenoide toroidal construido con un bobinado denso y uniforme de un hilo conductor esmaltado alrededor de un objeto de forma anular y sección transversal arbitraria. Sea N el número de vueltas del hilo conductor alrededor del objeto anular. Si por el hilo conductor circula una corriente estacionaria de intensidad I: a) Calcule el campo magnético creado por el solenoide toroidal en todos los puntos del espacio. b) Calcule el ujo magnético a través de la sección transversal del solenoide toroidal si dicha sección es rectangular y el solenoide tiene las dimensiones mostradas en la gura Consideremos un campo magnético uniforme B(r) = B 0. Demuestre que el campo vectorial A(r) = (1/2)(r B 0 ) es un potencial vector para el campo magnético B(r) = B 0 que satisface el gauge de Coulomb Considere una espira por la que circula una corriente estacionaria, y suponga que la espira está contenida en la supercie de una esfera de radio R. Obtenga el campo magnético creado por la espira en el centro de la esfera en términos del momento dipolar magnético de la espira m y de R. Asimismo, demuestre que el potencial vector creado por la espira en el centro de la esfera es nulo.

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Una esfera de radio R está cargada uniformemente en volumen con una carga total Q. La esfera gira alrededor de un eje que pasa por su centro con velocidad angular constante ω. Determine: a) El campo magnético creado por la esfera en rotación en su centro. b) El momento dipolar magnético de la esfera Un dipolo magnético de momento dipolar m = m 0 u z (m 0 > 0) se encuentra en una región donde existe un campo magnético uniforme B = B 0 u z (B 0 > 0. Demuestre que existe una esfera centrada en el punto donde se encuentra el dipolo a través de la cual no pueden pasar las líneas de campo magnético. Calcule el radio de esa esfera. Haga un esbozo de las líneas de campo magnético Dos espiras circulares de distinto tamaño, una de radio a y otra de radio b, tienen sus centros en el mismo punto del espacio (origen de coordenadas en la gura). Sus ejes forman un ángulo θ 0 y por cada una circula una intensidad de corriente dada: I 2 para la espira grande e I 1 para la pequeña. Obtenga el módulo del par de fuerzas sobre la espira pequeña si el radio de ésta a es mucho menor que el radio de la espira grande b (a <<< b). Indicación: considere la espira pequeña como un dipolo magnético Considere un bloque conductor que está limitado entre los planos x = a y x = a, y se extiende hasta innito en las direcciones de los ejes y y z. Por el bloque conductor circula una corriente estacionaria de densidad volumétrica de corriente J = J 0 u z. a) Calcule el campo magnético creado por el bloque conductor en todos los puntos del espacio (indicación: divida el bloque conductor en láminas de espesor innitesimal dx por las que circula una densidad supercial de corriente innitesimal dk = J 0 dx u z, y aplique el principio de superposición). b) Calcule la fuerza que ejerce el bloque conductor sobre un dipolo de momento dipolar m = m 0 u y situado en el origen de coordenadas Determine la energía de interacción entre dos dipolos magnéticos de momentos dipolares m 1 y m 2 cuando: a) Los momentos dipolares están orientados a lo largo de la recta que une los centros de los dipolos (eje z en la gura). b) Los momentos dipolares son antiparalelos y están orientados perpendicularmente a la recta que une los centros de los dipolos (eje y en la gura). Exprese el resultado obtenido en electrónvoltios cuando m 1 = m 2 = 10µ B y d = 1 Å (1 ev=1, J, 1Å=10 10 m y µ B = (eh/4πm e ) = 9, A m 2 es el magnetón de Bhor.)

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