Cargas de polarización.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Cargas de polarización. Consideremos un dieléctrico polarizado que ocupa un volumen τ. Sea S la supercie cerrada que limita al volumen τ, y sea n un vector unitario normal a S en cada punto, dirigido hacia el exterior del dieléctrico polarizado. Sea r el vector de posición de los puntos del dieléctrico polarizado, y sea P(r ) la polarización. A continuación, vamos a calcular el potencial y el campo eléctrico creados por el dieléctrico polarizado en términos de la polarización. Para ello, consideraremos un elemento de volumen innitesimal dτ del dieléctrico polarizado que está centrado en el punto de vector de posición r. De acuerdo con la denición de polarización, al e- lemento de volumen dτ le podemos asociar un momento dipolar innitesimal dp = P(r )dτ. Además, dado que el elemento de volumen tiene un tamaño innitesimal, podemos tratar este elemento de volumen como un dipolo puntual de momento dipolar dp. De acuerdo con lo que hemos estudiado en el tema 1, en el punto Q de vector de posición r este dipolo puntual creará un potencial innitesimal dado por: dφ(r) = dp (r r ) r r 3 (1) Y de acuerdo con el principio de superposición, el potencial eléctrico creado en el punto Q por todos los elementos de volumen dτ

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 que se pueden denir en el volumen τ (volumen ocupado por el dieléctrico polarizado) vendrá dado por: φ(r) = τ dφ(r) = τ dp (r r ) r r 3 = 1 τ P(r ) (r r ) r r 3 dτ (2) En el apartado b) del problema 2 del Boletín 0 hemos visto que r r = ( ) 1 r r 3 r r, con lo cual, el integrando de la última integral de la ecuación (2) se puede reescribir: P(r ) (r r ) r r 3 = P(r ) 1 r r (3) Si hacemos uso de la identidad vectorial A f = (fa) f( A) (que a su vez se deduce de la identidad vectorial (fa) = A f + f( A), siendo A = A(r ) un campo vectorial y f = f(r ) un campo escalar) en el caso en que A = P(r ) y f = 1, r r la expresión obtenida en la ecuación (3) se puede reescribir como: P(r ) 1 r r = P(r ) r r P(r ) r r Si ahora introducimos los resultados obtenidos en las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2) y aplicamos el teorema de la divergencia, obtendremos la siguiente expresión para el potencial eléctrico creado en el punto Q por el dieléctrico polarizado: φ(r) = 1 = 1 τ S P(r ) n r r ds + 1 (4) P(r ) r r dτ 1 4πɛ τ P(r ) dτ 0 r r ( τ P(r )) dτ (5) r r Con idea de darle una interpretación a la ecuación (5), vamos a denir un campo escalar σ P (r ) en la supercie S dado por la

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 ecuación: σ P (r ) = P(r ) n r S (6) y otro campo escalar ρ P (r ) en el volumen τ dado por la ecuación: ρ P (r ) = P(r ) r τ (7) Si ahora sustituimos las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (5), el potencial eléctrico creado por el dieléctrico polarizado queda: φ(r) = 1 S σ P (r ) r r ds + 1 τ ρ P (r ) r r dτ (8) Ahora bien, la ecuación (8) nos indica que el potencial creado por el dieléctrico polarizado coincide con el que crean dos distribuciones de carga en vacío, una supercial repartida sobre la supercie S de densidad supercial de carga σ P (r ), y otra volumétrica localizada en el volumen τ de densidad volumétrica de carga ρ P (r ). O lo que es lo mismo, que el dieléctrico polarizado equivale a efectos prácticos a dos distribuciones continuas de carga en vacío, una sobre S de densidad supercial de carga σ P (r ) y otra en τ de densidad volumétrica de carga ρ P (r ). Por este motivo, al campo escalar σ P (r ) se le conoce como densidad supercial de carga de polarización, y al campo escalar ρ P (r ) se le conoce como densidad volumétrica de carga de polarización (de hecho, σ P (r ) tiene dimensiones de carga por unidad de supercie, y ρ P (r ) tiene dimensiones de carga por unidad de volumen). Teniendo en cuenta la equivalencia entre el dieléctrico polarizado y las densidades de carga de polarización en vacío, y de acuerdo con lo que hemos estudiado en el tema 1, el campo eléctrico creado en el punto Q por el dieléctrico polarizado se puede obtener en términos de las

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 densidades de carga de polarización como se indica: E(r) = 1 S σ P (r ) (r r ) r r 3 ds + 1 τ ρ P (r ) (r r ) r r 3 dτ (9) Acabamos de ver que un dieléctrico polarizado, que consiste básicamente en un agregado de dipolos moleculares, equivale a un conjunto de cargas en vacío. A estas cargas equivalentes se las suele llamar cargas de polarización, o también cargas ligadas para hacer hincapié en el hecho de que las cargas forman parte de las moléculas constituyentes del dieléctrico y no pueden ser extraídas de dichas moléculas. Dado que un dieléctrico es eléctricamente neutro, la suma de todas las cargas de polarización debe ser nula. Este resultado se puede demostrar fácilmente como se indica a continuación: Q P = S σ P (r )ds + τ ρ P (r )dτ = S P(r ) n ds τ P(r )dτ = 0 (10) donde se ha hecho uso del teorema de la divergencia. En principio, podría pensarse que las densidades de carga de polarización σ P (r ) y ρ P (r ) son dos artilugios matemáticos que ayudan a expresar cómodamente el potencial eléctrico y el campo eléctrico creados por un cuerpo polarizado. No obstante, en los dos ejemplos que siguen se va a poner de maniesto que σ P (r ) y ρ P (r ) tienen un sentido físico y representan acumulaciones de carga reales que se producen en los dieléctricos polarizados.

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 Ejemplos. Consideremos un dieléctrico con forma paralelepipédica de dimensiones a b c, y supongamos que el dieléctrico está polarizado en dirección perpendicular a dos de sus caras con una polarización uniforme dada por P = P 0 u x con respecto a los ejes coordenados que se muestran en la gura adjunta. En las caras del dieléctrico que son paralelas a la polarización, la densidad supercial de carga de polarización es nula ya que, de acuerdo con la ecuación (6), se cumple que: σ P y=0 = P n = P 0 u x ( u y ) = 0 σ P y=b = P n = P 0 u x (+u y ) = 0 σ P z=0 = P n = P 0 u x ( u z ) = 0 σ P z=c = P n = P 0 u x (+u z ) = 0 En las caras del dieléctrico que son perpendiculares a la polarización, las densidades superciales de carga de polarización son distintas de cero y vienen dadas por: σ P x=0 = P n = P 0 u x ( u x ) = P 0 σ P x=a = P n = P 0 u x (+u y ) = +P 0

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 Finalmente, como la polarización es uniforme, de acuerdo con la ecuación (7) la densidad volumétrica de carga de polarización será nula ya que: ρ P = P = P 0 x = 0 Con vistas a justicar la aparición de carga supercial de polarización en las caras del dieléctrico que son perpendiculares al vector polarización, vamos a suponer que los dipolos moleculares del dieléctrico están todos orientados en la dirección del vector polarización, tal y como se muestra en la gura adjunta. Dado que hemos supuesto que la polarización es uniforme, la densidad volumétrica de momento dipolar será constante en el dieléctrico, y tal como indica la gura, la carga positiva (o negativa) de cada dipolo molecular situado en el interior del dieléctrico se cancelará con la carga negativa (o positiva) de un dipolo adyacente, impidiendo que se produzcan acumulaciones de carga neta en el interior del dieléctrico (y por tanto, impidiendo que existan cargas volumétricas de polarización en el interior del dieléctrico). Sin embargo, esta cancelación de la carga no se producirá en los extremos de los dipolos moleculares que están en contacto con la supercie del dieléctrico. De hecho, si consideramos una de las caras del dieléctrico perpendiculares a la polarización, y llevamos a cabo un recuento de la carga comprendida entre dicha cara y un plano paralelo a ella situado dentro del dieléctrico a una distancia de aproximadamente

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 un radio molecular (vea la gura), obtendremos que en la región comprendida entre la cara y el plano paralelo hay una acumulación neta de carga (positiva o negativa dependiendo de la cara del dieléctrico perpendicular a la polarización que estemos considerando). Y como la distancia entre la cara del dieléctrico y el plano paralelo es despreciable a escala macroscópica, podemos suponer que la carga acumulada en dicha región es supercial (siendo esta carga el origen de σ P x=0 y σ P x=a ). Supongamos ahora que el dieléctrico con forma paralelepipédica del ejemplo anterior posee una polarización variable con la posición P = P (x)u x, siendo P (x) una función decreciente de x. En ese caso, además de existir cargas superciales de polarización en las caras del dieléctrico perpendiculares al vector polarización, existirá también carga de polarización volumétrica en el interior del dieléctrico a la que, de acuerdo con (7), corresponderá una densidad volumétrica de carga: ρ P = P = dp dx > 0 La gura adjunta muestra una posible representación de la distribución de dipolos moleculares en el dieléctrico mencionado con polarización no uniforme. Se han trazado dos planos paralelos alrededor de la región donde cambia la polarización, y por tanto, donde cambia la densidad volumétrica de dipolos moleculares.

8 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 Si se hace un recuento de carga en la región comprendida entre los dos planos paralelos en torno a los cuales cambia la polarización (los dos planos están separados una distancia que es del orden de dos radios moleculares), se observa que en dicha región hay una acumulación neta de carga positiva que reside en el interior del dieléctrico. Esta carga positiva es la que justica la existencia de ρ P, y para que exista, es necesario que se produzca una variación en la concentración de dipolos moleculares, o lo que es lo mismo, una variación en la polarización.