Dipolo magnético en un campo magnético externo: par de fuerzas, fuerza y energía.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Dipolo magnético en un campo magnético externo: par de fuerzas, fuerza y energía. Consideremos un dipolo magnético consistente en una pequeña espira conductora modelada mediante la curva Γ, por la que circula una corriente estacionaria de intensidad I. Vamos a elegir un sistema de coordenadas con origen en el centro geométrico de la espira. Sea r el vector de posición de los puntos de la espira y sea dr el vector desplazamiento innitesimal sobre los puntos de la espira dirigido en el sentido de la corriente, tal y como muestra la gura adjunta. Supongamos que en la región en la que se encuentra el dipolo existe un campo magnético externo (distinto al que crea el propio dipolo magnético) que toma un valor B ext (r) en el punto de vector de posición r. En un entorno del origen de coordenadas (que incluye a los puntos de la espira por ser ésta de pequeño tamaño), B ext (r) se puede aproximar por los dos primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor en torno a r = 0, esto es: B ext (r) B ext (r = 0) + (r ) B ext (r)] r=0 si r <<< (1) A continuación, vamos a obtener expresiones para el par de fuerzas que ejerce el campo magnético externo sobre el dipolo, para

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 la fuerza sobre el dipolo, y para la energía del dipolo en el seno del campo externo. 1.- Par de fuerzas En principio, el par de fuerzas sobre el dipolo N se puede obtener a partir de la fórmula para el par de fuerzas que actúa sobre un conductor liforme por el que circula corriente en el seno de un campo magnético externo, esto es: N = I Γ [r (dr B ext (r ))] (2) No obstante, dado que el dipolo tiene un tamaño pequeño, a la hora de calcular la integral que aparece en (2), podemos aproximar B ext (r)] Γ por el primer término del desarrollo en serie de Taylor que aparece en la ecuación (1), esto es, podemos suponer que B ext (r)] Γ B ext (r = 0) = B ext,0 (donde de ahora en adelante se va a utilizar el símbolo B ext,0 para representar el valor de B ext (r) en el origen de coordenadas, o lo que es lo mismo, en el centro geométrico del dipolo). De acuerdo con esta aproximación y con la ecuación (2), el par de fuerzas sobre el dipolo vendrá dado por: N = I Γ [r (dr B ext,0 )] (3) donde ahora B ext,0 es un vector constante. De acuerdo con la identidad vectorial A (B C) = (A C) B (A B) C, el integrando de (3) se puede reescribir: r (dr B ext,0 ) = (r B ext,0 ) dr (r dr ) B ext,0 = (r B ext,0 ) dr d 1 2 r r B ext,0 (4) y si introducimos en la ecuación (3) el resultado de la ecuación (4),

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 se obtiene que: N = I Γ (r B ext,0 ) dr I Γ d 1 2 r r B ext,0 = I Γ (r B ext,0 ) dr (5) donde se ha hecho uso de que la circulación a lo largo de una curva cerrada de una diferencial exacta es nula. Por otro lado, de acuerdo con la identidad vectorial (B C) A = A (B C) = (A B) C (A C) B, podemos escribir que: [r dr ] B ext,0 = (B ext,0 r ) dr (B ext,0 dr ) r = (r B ext,0 ) dr (dr B ext,0 ) r (6) y además, como B ext,0 es un vector constante, se cumple que: d [(r B ext,0 ) r ] = (r B ext,0 ) dr + (dr B ext,0 ) r (7) Si sumamos las ecuaciones (6) y (7), y a continuación despejamos (r B ext,0 ) dr, se llega a que: (r B ext,0 ) dr = 1 2 {[r dr ] B ext,0 + d [(r B ext,0 ) r ]} (8) Y si introducimos en la ecuación (5) el resultado de la ecuación (8), se llega a que el par de fuerzas sobre el dipolo vale: N = I (r 2 {[Γ dr ) ] B ext,0 + d [(r B Γ ext,0 ) r ] } I = (r dr ) 2 Γ B ext,0 = m B ext,0 (9) donde de nuevo se ha hecho uso de que la circulación a lo largo de una curva cerrada de una diferencial exacta es nula, y donde

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 se ha hecho uso de la denición del momento dipolar magnético m del dipolo magnético. La ecuación (9) nos indica que el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo magnético en el seno del campo magnético externo tiende a hacer girar el dipolo magnético de forma que su momento dipolar se alinee con la dirección que tiene el campo magnético en el centro del dipolo. De hecho, el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo será nulo cuando m B ext,0. Se observa que la expresión obtenida para el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo magnético en presencia de un campo magnético externo es análoga a la obtenida en el tema 1 para un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico. De hecho, si se tiene un dipolo eléctrico de momento dipolar eléctrico p en el seno de un campo eléctrico externo E ext (r) y el campo eléctrico en el centro del dipolo vale E ext,0, el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo eléctrico puede obtenerse a partir del resultado obtenido en la ecuación (9) si se sustituye m por p, y B ext,0 por E ext,0. Si la espira de la que hemos hablado tuviera un tamaño arbitrariamente grande (lo cual signica que la espira ya no puede ser considerada un dipolo), y además el campo magnético en el que se encuentra la espira fuera uniforme y valiera B(r) = B 0, de acuerdo con los cálculos matemáticos expuestos en las ecuaciones (2) a (9), el par de fuerzas sobre la espira valdría: N = I Γ [r (dr B 0 )] = I 2 (r dr ) Γ B 0 = m B 0 (10) o lo que es lo mismo, el resultado obtenido en la ecuación (9) se puede aplicar sin restricciones sobre el tamaño de la espira en el

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 caso particular en que el campo magnético externo es uniforme. 2.- Fuerza Al igual que antes, la fuerza sobre el dipolo F se puede obtener en principio a partir de la fórmula para la fuerza que actúa sobre un conductor liforme por el que circula corriente en el seno de un campo magnético externo, esto es: F = I Γ dr B ext (r ) (11) Ahora bien, dado que el tamaño del dipolo es pequeño, a la hora de calcular la integral que aparece en (11), podemos utilizar para B ext (r)] Γ la aproximación que aparece en la ecuación (1), esto es: F = I Γ dr { B ext,0 + (r ) B ext (r)] r=0 } = I [( dr ) ] B Γ ext,0 + I [ dr (r ) B Γ ext (r) ] r=0 = I [ dr (r ) B Γ ext (r) ] (12) r=0 donde se ha utilizado que Γ dr = 0. Se observa que si bien en el cálculo del par de fuerzas sólo se utilizó el primer término del desarrollo en serie de Taylor de la ecuación (1), en el cálculo de la fuerza se han utilizado los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor, lo cual está justicado por el hecho de que la contribución a la fuerza del primer término del desarrollo es nula, tal y como se ha puesto de maniesto en la ecuación (12). De hecho, de acuerdo con el razonamiento seguido para obtener la ecuación (12), la fuerza que actúa sobre una espira de tamaño arbitrario (no necesariamente un dipolo) en el seno de un campo uniforme B(r) = B 0 es nula. Vamos a obtener ahora una expresión más simplicada de la fuerza a partir del resultado obtenido en (12). Para ello, tendremos

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 que tener en cuenta que el operador de (12) sólo actúa sobre las coordenadas de r de las cuales depende B ext (r) pero no actúa sobre las coordenadas de r (y en consecuencia, tampoco actúa sobre las coordenadas de dr ). Teniendo esto en la mente y haciendo uso de la identidad vectorial (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (donde A = A(r) y B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = r y B = B ext (r), podemos escribir que: (r B ext (r)) = r ( B ext (r)) + B ext (r) ( r ) + (r ) B ext (r) + (B ext (r) ) r = r ( B ext (r)) + (r ) B ext (r) = (r ) B ext (r) = (r B ext (r)) r ( B ext (r)) (13) y si sustituimos el resultado de (13) en la integral obtenida en la ecuación (12), se llega a que: Γ dr (r ) B ext (r) = Γ dr (r B ext (r)) Γ dr [r ( B ext (r))] (14) Por otro lado, si utilizamos la identidad vectorial (f A) = f( A) A f (siendo f = f(r) un campo escalar y A = A(r) un campo vectorial) en el caso en que f = (r B ext (r)) y A = dr, se va a cumplir que: [(r B ext (r)) dr ] = (r B ext (r)) ( dr ) dr (r B ext (r)) = dr (r B ext (r)) (15) y si sustituimos el resultado obtenido en (15) en la primera integral del segundo miembro de la ecuación (14), se llega a que: Γ dr (r B ext (r)) = [ Γ (r B ext (r)) dr ] (16)

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 Pero de forma análoga a como se obtuvo la ecuación (8) a partir de las ecuaciones (6) y (7), se puede demostrar que: (r B ext (r)) dr = 1 2 {[r dr ] B ext (r) +d [(r B ext (r)) r ]} (17) y haciendo uso de la ecuación (17) en la ecuación (16), se llega a la siguiente expresión para la primera integral del segundo miembro de la ecuación (14): dr (r B Γ ext (r)) = 1 d [(r B 2 Γ ext (r)) r ] = (r dr ) B Γ ext(r)+ (r dr ) B Γ ext(r) (18) donde una vez más se ha hecho uso de que la circulación a lo largo de una curva cerrada de una diferencial exacta es nula. Por otro lado, si hacemos uso de la identidad vectorial A (B C) = (A C) B (A B) C, la segunda integral del segundo miembro de la ecuación (14) puede reescribirse: dr [r ( B Γ ext (r))] = [dr ( B Γ ext (r))] r [ (dr r ) ] ( B Γ ext (r)) = [dr ( B Γ ext (r))] r 1 2 r r ( B ext (r)) = [dr ( B Γ ext (r))] r (19) Γ d Ahora bien, utilizando una vez más que (B C) A = A (B C) = (A B) C (A C) B, podemos escribir que: [r dr ] ( B ext (r)) = [( B ext (r)) r ) dr [( B ext (r)) dr ] r = [r ( B ext (r))] dr [dr ( B ext (r))] r (20)

8 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 Además, sobre los puntos de la curva Γ se cumple que: d {[r ( B ext (r))] r } Γ = [r ( B ext (r))] dr + [dr ( B ext (r))] r (21) donde se ha tenido en cuenta que r es un vector constante sobre los puntos de Γ, y que d ( B ext (r)) Γ = 0. Pues bien, si restamos la ecuación (21) menos la ecuación (20) y despejamos [dr ( B ext (r))] r, se llega a que: [dr ( B ext (r))] r = 1 2 d {[r ( B ext (r))] r } Γ 1 2 [r dr ] ( B ext (r)) (22) y haciendo uso de la ecuación (22) en la ecuación (19), se llega a la siguiente expresión para la segunda integral del segundo miembro de la ecuación (14): Γ dr [r ( B ext (r))] = (r dr ) Γ ( B ext (r)) Γ d {[r ( B ext (r))] r } = 1 (r dr ) 2 Γ ( B ext (r)) (23) donde, de nuevo, se tiene en cuenta que se anula la circulación a lo largo de una curva cerrada de una diferencial exacta. Si ahora sustituimos las ecuaciones (18) y (23) en la ecuación (14), y multiplicamos el resultado obtenido por I, se llega a que: I Γ dr (r ) B ext (r) I I = (r dr ) 2 B Γ ext(r) + (r dr ) 2 Γ ( B ext (r)) = [m B ext (r)] + m ( B ext (r)) (24)

9 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 9 donde se ha tenido en cuenta que el momento dipolar magnético de la espira conductora vale m = I 2 Γ (r dr ). Por otro lado, si hacemos uso de la identidad vectorial (A B) = (B )A (A )B+A( B) B( A) (donde A = A(r) y B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = m y B = B ext (r), se llega a que: [m B ext (r)] = (B ext (r) ) m (m ) B ext (r) +m ( B ext (r)) B ext (r) ( m) = (m ) B ext (r) (25) donde se ha tenido en cuenta que (B ext (r) ) m = 0 y m = 0 por ser m un vector constante característico del dipolo, y también se ha tenido en cuenta que B ext (r) = 0. Además, si hacemos ahora uso de la identidad vectorial (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (donde A = A(r) y B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = m y B = B ext (r), se llega a que: (m B ext (r)) = m ( B ext (r)) + B ext (r) ( m) + (m ) B ext (r) + (B ext (r) ) m = m ( B ext (r)) + (m ) B ext (r) (26) donde, al igual que antes, m = 0 y (B ext (r) ) m = 0 por ser m un vector constante. Pues bien, si sumamos las ecuaciones (25) y (26), se obtiene que: [m B ext (r)] + (m B ext (r)) = m ( B ext (r)) = (m B ext (r)) = [m B ext (r)] + m ( B ext (r)) (27) Y combinando las ecuaciones (24) y (27), se llega a que: I Γ dr (r ) B ext (r) = (m B ext (r)) (28)

10 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 10 Finalmente, de acuerdo con las ecuaciones (12) y (28), la fuerza sobre el dipolo magnético se podrá escribir como: F = (m B ext (r))] r=0 (29) donde, tal y como indica la ecuación (29), el resultado de aplicar el operador a m B ext (r) hay que sustituirlo en r = 0, o lo que es lo mismo, en el centro geométrico del dipolo. De acuerdo con lo que vimos en el tema 1, si tenemos un dipolo eléctrico de momento dipolar eléctrico p, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, y el dipolo se halla situado en el seno de un campo eléctrico externo E ext (r), la fuerza que actúa sobre el dipolo vale: F = (p ) E ext (r))] r=0 (30) Ahora bien, siguiendo un razonamiento análogo al utilizado para obtener la ecuación (26), se llega a que: (p E ext (r)) = p ( E ext (r)) + E ext (r) ( p) + (p ) E ext (r) + (E ext (r) ) p = (p ) E ext (r) (31) donde se ha tenido en cuenta que p = 0 y (E ext (r) ) p = 0 por ser p un vector constante, y también se ha tenido en cuenta que E ext (r) = 0. Por tanto, si sustituimos en la ecuación (30) el resultado de la ecuación (31), se llega a que la fuerza sobre el dipolo eléctrico vale: F = (p E ext (r))] r=0 (32) y se observa que la ecuación (32) para la fuerza sobre un dipolo eléctrico puede ser obtenida a partir de la ecuación (29) para la

11 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 11 fuerza sobre un dipolo magnético si se sustituye m por p, y B ext (r) por E ext (r). 3.- Energía Consideremos un dipolo magnético puntual de momento dipolar m, que está situado en el punto de vector de posición r. Supongamos que el dipolo está situado en el seno de un campo magnético externo B ext = B ext (r). Por extensión de la ecuación (29) para la fuerza magnética que actúa sobre un dipolo centrado en el origen de coordenadas, la fuerza magnética que actúa sobre el dipolo puntual situado en el punto de vector de posición r vendrá dada por: F(r ) = (m B ext (r )) (33) La ecuación (33) nos dice que la fuerza magnética que actúa sobre el dipolo puntual es una fuerza conservativa (ya que el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos es independiente del camino al ser F un campo vectorial irrotacional). Esto signica que el dipolo magnético en presencia del campo magnético externo almacena una energía potencial U d a la que se conoce como energía orientacional del dipolo. Teniendo en cuenta la relación que existe entre la fuerza conservativa F y la energía potencial del dipolo U d

12 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 12 (véase la pregunta 9.9 del libro Física de M. Alonso y E. J. Finn), es fácil obtener una expresión para U d : F = U d = ( m B ext (r )) = U d = m B ext (r ) (34) De acuerdo con la ecuación (34), si α es el ángulo entre el momento dipolar del dipolo m y el campo magnético externo en el punto donde se encuentra el dipolo B ext (r ), la energía orientacional del dipolo U d valdrá: U d = m B ext (r ) cos(α) (35) De acuerdo con la ecuación (35), para conseguir que su energía orientacional sea mínima, el dipolo por un lado girará hasta conseguir que m esté orientado en la misma dirección y sentido que B ext (r ) y así α = 0 (esta rotación tiene su origen en el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo), y por otro lado, se trasladará buscando aquella posición en la que B ext (r ) es máximo (este movimiento de traslación tiene su origen en la fuerza magnética que actúa sobre el dipolo). Este comportamiento es completamente análogo al que seguiría un dipolo eléctrico de momento dipolar p situado en el punto de vector r en presencia de un campo eléctrico externo E ext = E ext (r) ya que, como se vio en el tema 1, la expresión para la energía potencial del dipolo eléctrico en presencia del campo eléctrico externo puede ser obtenida a partir de la ecuación (34) para la energía de un dipolo magnético en presencia de un campo magnético externo si se sustituye m por p y B ext (r ) por E ext (r ).