TEMA 0. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

Transcripción

1 TEMA 0. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1. Trabajo mecánico. 2. Teorema de la energía cinética. 3. Fuerzas conservativas y energía potencial. 4. Conservación de la energía mecánica. 5. Consejos para la elaboración de análisis energéticos.

2 1. TRABAJO MECÁNICO Decimos que una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo si le transfiere alguna forma de energía. En particular, si dicha energía es mecánica diremos que la fuerza ha realizado trabajo mecánico. En general, el trabajo realizado por una fuerza se calcula mediante la integral curvilínea del vector fuerza a lo largo de una trayectoria C: [0.1] donde A y B son los puntos inicial y final de la trayectoria C y es un vector de desplazamiento infinitesimal tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos. Por definición de producto escalar, podemos escribir, donde ds es el módulo del vector desplazamiento infinitesimal. Como F cosθ = F t es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, la ecuación [0.1] se transforma en: [0.2] Si la trayectoria es rectilínea (digamos sobre el eje OX), la ecuación [0.1] se transformaría en la siguiente: donde F x es la componente de la fuerza en la dirección OX. El valor de esta integral coincide con el del área del recinto que encierra la gráfica de F x, el eje OX y las rectas x = x A y x = x B. Finalmente, si la fuerza es constante, el cálculo del trabajo se haría mediante el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento: W = [0.3] Si el desplazamiento se realiza a lo largo del eje OX, la expresión anterior sería: W = F x Δx [0.4] donde F x = F cosθ, siendo θ el ángulo formado por la fuerza y el desplazamiento. Conclusiones El trabajo realizado por una fuerza no será nulo si concurren las siguientes circunstancias: a) Existe fuerza aplicada. b) El cuerpo se desplaza. c) La fuerza no es perpendicular al desplazamiento. En general, el trabajo realizado por una determinada fuerza depende de la trayectoria seguida por el cuerpo. Si sobre un mismo cuerpo se aplican varias fuerzas, el trabajo total realizado por todas ellas a lo largo de un determinado desplazamiento, será igual a la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de ellas a lo largo de la misma trayectoria.

3 2. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS (O DE LA ENERGÍA CINÉTICA) Se puede demostrar que el trabajo total realizado por un sistema de fuerzas a lo largo de un determinado desplazamiento coincide con la suma de los trabajos que realizan cada una de las fuerzas en el mismo desplazamiento, veámoslo: W = = = W 1 + W W n [0.5] donde = es la fuerza resultante. Por otra parte, según la ecuación [0.2] el trabajo que realiza la fuerza resultante también se puede expresar así: [0.6] Aplicando la ecuación de la segunda ley de Newton en el caso de que la masa del cuerpo permanezca constante: a la ecuación [0.4] resulta: [0.7] W = [0.8] Dado que v =, la ecuación [0.5] también se puede escribir: Integrando la ecuación [0.6] se obtiene: W = [0.9] W = [0.10] Esta expresión nos sirve como definición de variación de energía cinética,, por lo que eligiendo que un objeto tiene energía 0 cuando su velocidad respecto de un sistema de referencia determinado es 0, nos queda la expresión de la energía cinética E C = mv 2. La ecuación [0.10] se puede expresar de la siguiente forma: W = E C (B) E C (A)= ΔE C [0.11] La ecuación [0.11] constituye la expresión matemática del teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética que podemos enunciar así: El trabajo total realizado por un sistema de fuerzas sobre un cuerpo a lo largo de un determinado desplazamiento, es igual a la variación de energía cinética que experimenta dicho cuerpo. Este teorema tiene aplicación general, pues es una evolución de la 2ª ley de Newton y nos servirá para resolver problemas en los que con el concurso de un sistema de fuerzas, un objeto cambia de posición. Téngase en cuenta que la energía cinética es una magnitud escalar y relativa, pues depende del observador.

4 3. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL Una fuerza conservativa es aquélla cuyo trabajo realizado sobre un cuerpo que se traslada entre dos puntos dados, A y B, es independiente de la trayectoria seguida por aquél entre dichos puntos, y sólo depende de cuáles son los puntos inicial y final. ( ) ( ) [0.12] Consecuencia inmediata de la anterior definición es que el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo. Toda fuerza que cumpla esta condición será una fuerza conservativa: [0.13] Para este tipo de fuerzas el trabajo realizado por las mismas sólo depende de los valores que toma una magnitud escalar, a la que llamamos energía potencial (E p ), en los puntos extremos de la trayectoria, de manera que podemos escribir la siguiente relación, conocida como teorema de la energía potencia, y que nos sirve como definición de variación de Energía potencial: ΔE p - W cons [0.14] donde ΔE p = E p (B)-E p (A) es la variación de energía potencial entre los puntos A(inicial) y B(final) de la trayectoria seguida por el cuerpo. El signo - significa que el cuerpo disminuye su energía potencial siempre que en su movimiento la fuerza conservativa haya realizado trabajo. Así pues: La energía potencial asociada a una determinada fuerza conservativa disminuye en una cantidad igual al trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos dados de una trayectoria. Para determinar la expresión de la energía potencial de un cuerpo sometido a una fuerza conservativa, calcularemos el trabajo que realiza dicha fuerza entre dos puntos y elegiremos el valor de la Energía potencial en el punto inicial de manera que la expresión quede de la manera más sencilla posible. Nótese que no se define cuánto vale la Energía potencial, sino cuanto varía. La energía potencial en un punto quedará definida en el momento en que, arbitrariamente, escojamos un punto de referencia al que le asignemos E p = 0. Veamos dos casos de interés. Energía potencial gravitatoria en un punto próximo a la superficie terrestre En puntos suficientemente próximo a la superficie terrestre, la fuerza peso puede considerarse prácticamente constante y su expresión es. Aplicando la ecuación [0.14] (cambiada de signo): Despejando quedaría: W C = = = - = - (E p (B) E p (A))

5 E p (B) = mgy B mgy A + E p (A) Si escogemos E p = 0 en un punto en que consideremos y = 0, y llamando y = h a la altura del cuerpo sobre el punto de referencia, nos queda: Energía potencial elástica E p (B) = m g h B [0.15] Supongamos un muelle de constante k situado horizontalmente. La fuerza recuperadora del muelle puede expresarse. Aplicando la ecuación [0.14]: W C = ( ) = - = - (E p (B) E p (A)) Despejando: E p (B) = + E p (A) Si escogemos E p = 0 en la posición de equilibrio del muelle (x = 0), nos queda: Definición de Energía potencial: E p = [0.16] Visto lo anterior, se puede definir como Energía potencial de una partícula en un punto B, asociada a una determinada fuerza conservativa como el trabajo que hay que realizar sobre un objeto en contra de una fuerza conservativa para desplazarla desde un punto A, donde elegimos de manera arbitraria que la energía potencial es = 0, hasta el punto B, sin que varíe la energía cinética de la partícula. Veámoslo aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas: W T = E C => W apl + W c = 0 => W apl - E p = 0 => W apl = E p (B) E p (A). Nótese que, incluso considerando esta definición de energía potencial, lo que sigue teniendo sentido físico es la variación de energía potencial entre dos puntos. 4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA La energía mecánica de un cuerpo se define como la suma de su energía cinética y de las energías potenciales asociadas a las correspondientes fuerzas conservativas a las que pueda estar sometido: [0.17] Por simplificación agrupamos el segundo sumando en un único término al que notamos E p, por lo que podemos escribir E M = E c + E p. Así, la variación de energía mecánica podemos expresarla como:

6 ΔE M = ΔE c + ΔE p [0.18] Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, nos queda: W Total = W c + W nc = E C => W nc = E p + E C = E M donde W nc es el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas aplicadas al cuerpo. A partir del resultado obtenido, podemos extraer las siguientes consecuencias: W nc = ΔE M [0.19] Si a lo largo de una determinada trayectoria entre dos puntos A y B sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas (W nc = 0), entonces ΔE M = 0, es decir, la energía mecánica permanece constante. Este resultado se conoce como principio de conservación de la energía mecánica cuya expresión matemática puede escribirse así: E M (B) = E M (A) [0.20] Dado que este resultado no tiene validez general, a la hora de aplicarlo será necesario demostrar que se cumplen las condiciones necesarias para su validez, es decir, que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es 0. Si a lo largo de una determinada trayectoria entre dos puntos A y B realizan trabajo las fuerzas no conservativas (W nc 0), entonces ΔE M 0, es decir, la energía mecánica varía en una cantidad igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. En particular, aquellas fuerzas no conservativas que realizan un trabajo negativo harán disminuir la energía mecánica; dichas fuerzas se denominan disipativas dado que cuando actúan hacen que la energía mecánica se disipe en forma de calor. Entre dichas fuerzas destacan las fuerzas de rozamiento por deslizamiento o las de resistencia de un medio al cuerpo que se mueve a través de él. En estos casos, en la resolución de problemas procederemos aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas, sustituyendo el trabajo de las fuerzas conservativas por la - E p correspondiente (ec. [0.14] cambiada de signo) y calculando el trabajo de las fuerzas no conservativas según la definición de trabajo mecánico de una fuerza (ec. [0.1]). De esta manera nos quedará una única ecuación escalar que relaciona las energías asociadas al punto A con las energías asociadas al punto B y con el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas que actúan a lo largo del desplazamiento (el trabajo que realizan las fuerzas conservativas ya ha sido incluido en los términos de la energía potencial). 5. CONSEJOS PARA LA ELABORACIÓN DE ANÁLISIS ENERGÉTICOS En numerosos problemas de selectividad se pide que se haga un análisis energético de determinadas situaciones en las que un objeto pasa de una posición a otra con el concurso de varias fuerzas, conservativas y no conservativas. Para ello en primer lugar comprobaremos si a lo largo del proceso se puede aplicar el principio de conservación de la Energía Mecánica, es

7 decir, si el trabajo de las fuerzas no conservativas es o no igual a 0, dándose las siguientes situaciones: W nc = 0. En estos casos la E M se mantiene constante. El análisis se realizará indicando en qué posiciones las Energías cinética y potenciales son máximas o nulas y cómo unos tipos de energía se transforman en otras, siguiendo la línea del tiempo ( al principio, en el punto A, tengo energía de tipo que se va transformando en energía durante el desplazamiento. Al llegar al punto B toda la energía se ha transformado en ). W nc 0. En estos casos la E M varía, por lo que, a lo añadido en el punto anterior habrá que añadir el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas, si incrementan la energía mecánica o la disminuyen, indicando también el tipo de energía en que se convierte dicho trabajo.