ACTIVIDADES RECAPITULACIÓN 4: INTERACCIÓN ELÉCTRICA

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1 ACTIVIDADES RECAPITULACIÓN 4: INTERACCIÓN ELÉCTRICA A-1. F q1,q Fq1,q F q1,q F q,q F q,q q q 1 q q q F q,q Para que q esté en equilibrio se tiene que cumplir que: F = 0, por tanto, la carga debe encontrarse entre q 1 yq. F = F q1, q + F q, q F q1, q + F q, q = 0 F q1, q = - F q, q F q1, q = k q 1 q/ r 1 = q/ r 1 F q, q = k q q/ r = q/ (0,5 - r 1 ) Las fuerzas solo tienen componente en el eje x, los módulos de las mismas tienen que ser iguales para que la carga q esté en equilibrio. F q1, q = F q, q q/ r 1 = q/ (0,5 - r 1 ) / r 1 = /(0,5 - r 1 ) (0,5 - r 1 ) = r 1 1, (0,5 r 1 ) =, r 1 r 1 = 0,07 m de q 1 (0,7 cm de q 1 ) Como la única fuerza que actúa es la fuerza eléctrica y F e = q E, E = F e /q, por tanto: E = 0 N/C A-. a) V 0 = m/s Para saber cómo es el movimiento del cuerpo debemos hallar la suma de las fuerzas que actúan sobre él. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas, la fuerza gravitatoria, F g, y la fuerza eléctrica, F e. F e F g

2 F e = q E = j = 60 j N F g = m g = 5 (-9,8 j) = - 49 j F = F e + F g = 60 j - 49 j = 11 j N F = m a a = F/m = 11 j/5 =, j m/s El movimiento resultante del cuerpo es el producido por la composición de dos movimientos, uno uniforme en dirección horizontal, con velocidad constante de m/s y otro uniformemente acelerado en dirección vertical con aceleración, j m/s. La trayectoria será una parábola ascendente. b) Las ecuaciones del movimiento son: Horizontal (movimiento uniforme): x = x 0 + v t v x = cte Vertical (movimiento uniformemente acelerado): y = y 0 + v 0y t + ½ a t v y = v 0y + a t Calculamos el tiempo que tarda en recorrer m horizontalmente: x = x 0 + v t = 0 + t t = 1 s La posición vertical será: y = y 0 + v 0y t + ½ a t y = ½, 1 = 1,1 m La velocidad en ese momento será: v = v x i + v y j v = i +, 1 j = i +, j m/s v = ( +, ) 1/ =,97 m/s La ecuación de la Trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones de la posición horizontal y vertical: x = t t = x/ y = ½, t = 1,1 t y = 1,1 (x/) = 0,75 x Ecuación de la trayectoria: y = 0,75 x

3 c) A partir de este momento, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la gravitatoria. La velocidad en ese instante (tangente a la trayectoria) tendrá componente horizontal y vertical. V 0 V 0y V 0x Desde este instante, el movimiento vertical es uniformemente acelerado pero v y disminuye, ya que la aceleración del movimiento g = - 9,8 j m/s tiene sentido contrario a v y. Llegará un momento en que se haga cero y de nuevo v y aumentará cuando se empieza a desplazar en sentido contrario. La trayectoria sería: Y X

4 A-3. q 1 q Y d = (8 + 6 ) 1/ = 10 cm r = r 1 = r = r 3 = r 4 = d/ = 0,05 m sen α = 4/5 cos α = 3/5 E α α E1 X E 4 E 3 q 4 q 3 Aplicando el principio de superposición, la intensidad del campo eléctrico en el centro será: E = E i = E 1 + E + E 3 + E 4 E 1 = E = E 3 = E 4 = kq/r = q/ 0,05 = 7, 10 6 N/C E 1 = 7, 10 6 cos α i + 7, 10 6 sen α j = 7, /5 i - 7, /5 j N/C E 3 = 7, 10 6 cos α i + 7, 10 6 sen α j = 7, /5 i - 7, /5 j N/C E = 7, 10 6 cos α i + 7, 10 6 sen α j = 7, /5 i - 7, /5 j N/C E 4 = 7, 10 6 cos α i + 7, 10 6 sen α j = 7, /5 i - 7, /5 j N/C E = E 1 + E + E 3 + E 4 = 4 (- 7, /5 j) = -, j N/C A T 10 Y T Y E = 5, i N/C F e T X X F g Para que la bola esté en equilibrio se tiene que cumplir que: F = 0 F e + T x = 0 F g + T y = 0 T x = - F e = q E T y = - F g = - m g T x = , i = -3, i N T y = - m (-9,8 j) Por otro lado, se cumple: T x = F e T y = F g T x = T sen 10 T sen 10 = q E (1) T y = T cos 10 T cos 10 = m g ()

5 Dividiendo (1) entre (): tg 10 = q E/ m g m = q E/ g tg 10 m = , /9.8 tg 10 = 0,0196 kg (19,6 g) A- 5. (+) (-) E = constante V A V B = 100 V C E A B Primero calculamos el valor de la intensidad del campo eléctrico entre las dos placas. Como se trata de un campo conservativo: W A B = - ΔE P = Ep A Ep B = q (V A V B ) W A B = B A F e dr = B A q E dr = B A q E dr cos α = qe B A dr = qe (r B r A ) Esto es considerando el desplazamiento de una carga de prueba positiva, por lo que, E y dr, tendrán la misma dirección y sentido, siendo α = 0, cos 0 = 1. Como, W A B = q (V A V B ), igualando, obtendremos: q (V A V B ) = qe (r B r A ) E = (V A V B ) (r B r A ) E = 100/1 = 100 N/C El trabajo de las fuerzas del campo para trasladar el electrón desde la posición B hasta la C, será: W B C = ΔE C W B C = C B F e dr = C B q E dr = C B q E dr cos α = - qe C B dr = - qe (r C r B ) En este caso, α = 180, cos 180 = qe (r C r B ) = ΔE C - qe (r C r B ) = ½ m v C - ½ m v B (v B = 0 m/s) - (- 1, ) 100 0,5 = ½ 9, v C v C = 4, 10 6 m/s

6 Cuando llega a la placa positiva, la velocidad del electrón será: - qe (r B r A ) = ½ m v A - ½ m v B (v B = 0 m/s) - (- 1, ) = ½ 9, v A v A = 5, m/s A-6. a) W A B = - ΔE P = Ep A Ep B = q (V A V B ) W A B = q (V A V B ) W A B = 10-6 ( ) = J Para que un proceso sea espontáneo, el trabajo tiene que ser positivo (W > 0), como el trabajo es negativo (W < 0), no es proceso espontáneo. Como W A B < 0 y W A B = - ΔE P = Ep A Ep B, entonces Ep A Ep B < 0, por tanto, Ep A < Ep B, la energía potencial aumenta en el proceso. El proceso no es espontáneo y se necesitará energía para desplazar el cuerpo. b) W A B = q (V A V B ) W A B = (100- (- 100)) = J Como W A B < 0 y W A B = - ΔE P = Ep A Ep B, entonces Ep A Ep B < 0, por tanto, Ep A < Ep B, la energía potencial aumenta en el proceso. El proceso no es espontáneo y se necesitará energía para desplazar el cuerpo. A-7. a) E C C E B B A E A 00 V D 150 V 100 V E El vector intensidad de campo eléctrico es, en cada punto, perpendicular a la superficie equipotencial (en este caso a las líneas equipotenciales) y su sentido es hacia los potenciales decrecientes.

7 b) Como el campo eléctrico es un campo de fuerzas conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas del campo, no depende de la trayectoria seguida para que el cuerpo pase desde el punto D al E, y, por tanto, la energía transferida o intercambiada, tampoco dependerá de la trayectoria seguida. c) W A E = - ΔE P = Ep A Ep E = q (V A V E ) = (00 100) = 00 J La energía transferida o trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre el cuerpo es de 00 J. Como el trabajo realizado es positivo (W > 0), es un proceso espontáneo, la energía potencial disminuye. W A E = - ΔE P = Ep A Ep E Como, W > 0, entonces, Ep A Ep E > 0, por lo que, Ep A > Ep E ΔE P = Ep E Ep A = - 00 J El intercambio de energía sera: (ΔE) E A = 00 J d) Como los puntos B y D se encuentran en la misma línea equipotencial, el potencial es constante, por tanto, V B = V D. W B D = - ΔE P = Ep B Ep D = q (V B V D ), como V B = V D, W B D = 0. Por tanto, (ΔE) D B = 0 J. A-8. a) El vector intensidad de campo es tangente en cada punto a una línea de fuerza. En un punto determinado de una línea de fuerza, solo puede existir un vector intensidad de campo, por lo que si se cortaran dos líneas de fuerza, en el punto de corte habría dos vectores diferentes de intensidad de campo, por ello, no es posible que se corten dos líneas de fuerza. b) En una superficie equipotencial, todos los puntos de la misma tienen el mismo potencial. El vector intensidad de campo es perpendicular, en cada punto, a la superficie equipotencial. B A E dr = V A V B Si V A = V B, entonces, B A E dr = V A V B = 0 B A E dr = B A E dr cos α = 0 Como, E y dr son distintos de cero, B A E dr cos α = 0, porque cos α = 0, por tanto E y dr, son perpendiculares, α = 90. Si dos superficies equipotenciales, se cortasen, existiría toda una línea común a ambas, a lo largo de la cual, el vector intensidad de campo, que debería ser normal a ambas superficies equipotenciales simultáneamente, tendría dos direcciones distintas.

8 A-9. a) El campo eléctrico, E, está relacionado con la diferencia de potencial y no, con el potencial en un punto. B A E dr = V A V B Si en un punto, E A = 0, el potencial en ese punto puede ser cero o cualquier otro valor. Lo que sí podemos asegurar es que si en una región del espacio, E = 0, el potencial, en esa región, debe ser constante. B A E dr = 0 B A E dr = V A V B V A V B = 0 V A = V B b) Por la misma razón que antes, como la intensidad de campo está relacionada con la diferencia de potencial y no con el potencial en un punto, no tiene por qué ser cero, el vector intensidad de campo, E, si en ese punto el potencial es cero (V = 0) c) No existe relación entre la intensidad de campo eléctrico, E, y el potencial, V, en una región del espacio; sino entre la intensidad de campo y la diferencia de potencial entre dos puntos de esa región del espacio. B A E dr = V A V B A-10. a) El vector intensidad de campo está relacionado con la diferencia de potencial mediante la expresión: B A E dr = V A V B Si E = constante y α = 0 : B A E dr = B A E dr cos α = B A E dr = E (r B r A ) E Δr = V A V B E = V A V B / Δr Δr = r B r A b) Si E = constante y α = 30 : B A E dr = B A E dr cos α = B A E dr cos 30 B A E dr cos 30 = B A E dr cos = E 3/ (r B r A ) E 3/ Δr = V A V B E = (V A V B )/ 3 Δr Δr = r B r A c) En este caso, la ecuación será: B A E dr = V A V B A-11. Y q 1 q E 3 E 4 d = (, 8 +, 8 ) 1/ = 3,96 cm r = r 1 = r = r 3 = r 4 = d/ = 1,98 cm X E E 1 q 4 q 3

9 Aplicando el principio de superposición: E = E i = E 1 + E + E 3 + E 4 Como, E 1 = - E 3 y E = - E 4, E = 0 N/C V = V i, considerando que V = 0 cuando r =, V = Kq/r V = V 1 + V + V 3 + V 4 Como, V 1 = V = V 3 = V 4, V = 4 V 1 V = , / 1, = 309,1 V (309,1 J/C) A-1. Una forma: La energía necesaria para aumentar la separación, será el trabajo que debemos realizar en contra de las fuerzas del campo para separar las cargas desde la situación inicial hasta la final ya que no es un proceso espontáneo. El trabajo realizado por las fuerzas del campo será: W i f = - ΔE P = Ep i Ep f Tomando E p = 0 cuando r =, E p = kq 1 q /r E pi = kq 1 q /r i = ( ) / 10 - = - 7, 10 6 J E pf = kq 1 q /r f = ( ) / = - 3, J W i f = - ΔE P = Ep i Ep f = - 7, 10 6 (- 3, ) = - 6, J El trabajo realizado contra las fuerzas del campo tendrá signo contrario, es decir: W i f = ΔE = 6, J Otra forma: El trabajo realizado por las fuerzas del campo será: W i f = f i F e dr = f i q E dr = f i q E dr cos α = f i q k q 1 dr/r W i f = q k q 1 f i dr/r = kq 1 q [-1/r] f i W i f = kq 1 q [-1/r] f i = kq 1 q (1/r i 1/r f ) = ( ) (1/0,01 1/0,) W i f = - 6, J El trabajo realizado contra las fuerzas del campo tendrá signo contrario, es decir: W i f = ΔE = 6, J