2005 septiembre original 1º ejercicio Dinámica

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Jesús Aguirre Escobar
hace 7 años
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1 2005 septiembre original 1º ejercicio Dinámica Sea un plano inclinado, de longitud L, que forma un ángulo + /2 con la horizontal. Este plano, en su cota más baja enlaza con un plano horizontal, de longitud 2L, a cuyo término sigue otro plano inclinado, de longitud L que forma un ángulo también con la horizontal. En la cota más alta del primer plano inclinado se abandona, partiendo del reposo, un cuerpo de masa m, deslizando sin rozamiento en su desplazamiento sobre el plano. En la primera mitad del plano horizontal contiguo al plano inclinado anterior el movimiento del cuerpo tiene lugar también sin fricción pero no ocurre lo mismo en la otra mitad de este plano horizontal ni en el otro inclinado que le sigue, siendo en estos tramos el correspondiente coeficiente de rozamiento. Represéntese la sección recta del primer plano inclinado por OA, la del plano horizontal por ABC correspondiendo AB y BC a las dos mitades antes citadas y por CD la del segundo plano inclinado. Con las condiciones iniciales establecidas, considérese el movimiento del cuerpo de masa m a lo largo del trayecto OABCD. Se pide: a) Calcular la aceleración de este cuerpo en A, B, C y D. b) Indicar, razonando la respuesta, en qué tramo o tramos del movimiento el cuerpo se mueve con velocidad constante. c) Determinar el momento lineal, la energía cinética y la energía mecánica del cuerpo en las mismas posiciones anteriores. d) Señalar, razonando la respuesta, en qué tramo o tramos se conservan constantes, en cada caso, las magnitudes antes citadas. El perfil de la trayectoria OABCD a lo largo de la cual se desplaza el bloque de masa m es: a) Aceleración en el tramo OA: La figura de la derecha muestra que en el tramo OA la única fuerza que actúa en la dirección del movimiento es la componente del peso paralela al plano, de modo que la ecuación fundamental de la dinámica F = ma aplicada a este caso es luego: 1

2 pero luego, y la aceleración en el tramo OA queda: Obviamente esta es la aceleración cuando la masa alcanza el punto A. Aceleración en el tramo AB: En este semento horizontal del recorrido, desprovisto de rozamiento, ninguna fuerza actúa en la dirección del movimiento de modo que la aceleración es cero y, naturalmente, cuando la masa alcanza el punto B: Aceleración en el tramo BC: a = 0 En este tramo del segmento horizontal la unica fuerza que actúa en la dirección del movimiento es la fuerza de rozamiento F r que, como sabemos, está relacionada con la fuerza normal, N, mediante: y para un movimiento horizontal, la fuerza normal es numéricamente igual al peso del bloque que se desplaza N = mg La ecuación fundamental de la dinámica, F = ma, resulta ser en este caso, cuando F = - F r : ma = - mg el signo menos se debe a que tomamos sentido positivo el del desplazamiento, hacia la derecha. La aceleración en el tramo BC y, por consiguiente, en el punto C es: Aceleración en el tramo CD: a = - g En la dirección del movimiento actúa la fuerza de rozamiento: y la componente de peso paralela al plano: mgsen ambas se oponen se dirigen en sentido opuesto al del movimiento (sentido positivo), luego la ecuanción fundamental de la dinámica se escribe: 2

3 Pero ahora la fuerza normal N es numéricamente igual a la componente de peso perpendicular al plano inclinado, de modo que y la aceleración en el segmento CD es: b) Se mueve con velocidad constante solamente en el tramo BC pues, como se ha señalado en el apartado a) no actúa ninguna fuerza en la dirección del movimiento de la masa, a = 0 y v = constante siendo su valor el que alcanza en el punto B, final del tramo anterior. c y d) Tramo OA: - Cantidad de movimiento en A: La cantidad de movimiento no permanece constante en el tramo OA porque en este tramo la masa m experimenta un movimiento uniformemente acelerado. - Energía cinética en A: La energía cinética no permanece constante en el tramo OA porque en este tramo permanece constante la cantidad de movimiento. - Energía mecánica en A: La energía mecánica permanece constante en el tramo OA porque en este tramo la masa m sólo está sometida a la fuerza gravitatoria, que es conservativa. Tramo AB: - Cantidad de movimiento en B: La cantidad de movimiento permanece constante en el tramo AB porque en este tramo la masa m no experimenta ninguna fuerza en la dirección del movimiento. - Energía cinética en B: La energía cinética permanece constante en el tramo AB porque en este tramo permanece constante la cantidad de movimiento. 3

4 - Energía mecánica en B: La energía mecánica permanece constante en el tramo AB porque en este tramo la masa m no experimenta ninguna fuerza no conservativa en la dirección del movimiento. Tramo BC: - Cantidad de movimiento en C: La cantidad de movimiento no permanece constante en el tramo BC porque en este tramo la masa m experimenta la acción de una fuerza resultante en la dirección del movimiento. - Energía cinética en C: La energía cinética no permanece constante en el tramo BC porque en este tramo tampoco permanece constante la cantidad de movimiento. También se puede decir que la energía no permanece contante debido a la acción de la fuerza de rozamiento que realiza un trabajo sustrayendo energía mecánica. - Energía mecánica en C: La energía mecánica no permanece constante pues el trabajo realizado por las fuerza de rozamiento, en ausencia de cambio de la energía potencial, se produce integramente a espensas de la energía mecánica que experimenta una disminución igual al trabajo realizado por dicha fuerza de rozamiento. Tramo CD: - Cantidad de movimiento en D: Quedando finalmente: En el tramo CD la cantidad de movimiento no permanece constante debido a que en este tramo la masa m experimenta la acción de una fuerza resultante en la dirección del movimiento. 4

5 - Energía cinética en D: La energía cinética no permanece contante, debido dos razones: aumenta la energía potencial de la masa m y la realización de trabajo por la fuerza de rozamiento. - Energía mecánica en D: Obteniéndose finalmente: La energía mecánica no permanece constante debido a al trabajo de la fuerza de rozamiento en este tramo que se produce a espensas de la energía mecánica. NOTA: Adviértase que la expresión es el balance de la energía de todo el recorrido OD, efecto: - El término es la energía potencial U 0 almacenada en el punto O antes de iniciarse el recorrido: Como en el punto O, el objeto está en reposo, no hay energía cinética, T 0 = 0, de modo que: - El término - mgl es el trabajo W bc realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo BC: - El término es el trabajo W cd realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo CD: Por consiguiente la expresión: 5

6 se puede escribir así: o bien y dado que la diferencia expresa la variación de la energía mecánica E entre los puntos final e inicial de todo el recorrido: siendo el trabajo total realizado por las fuerzas de rozamiento en los tramos BC y CD. La expresión constituye el principio generalizado de conservación de la energía: La variación de la energía mecánica que experimenta un sistema es igual al trabajo total realizado por las fuerzas no conservativas (en nuestro caso, estas fuerzas no conservativas son fuerzas de rozamiento). Hay que decir que para sistemas formados por un gran número de partículas el trabajo de las fuerzas no conservativas se desglosa en dos términos: - El trabajo mecánico, W, debido a los cambios de volumen del sistema, y - Un término, Q, que contiene todos los trabajos microscópicos habidos en el sistema pero que nos son expresables de manera colectiva mediante el producto de una fuerza por una distancia; dicho término Q se conoce con el nombre de calor. Con estas dos definiciones, el principio generalizado de conservación de la energía adquiere la formulación: que habitualmente se enuncia así: La variación de energía mecánica (energía interna) que experimenta un sistema se debe, al intercambio de calor, al trabajo realizado por el sistema o a ambas cosas a la vez Este enunciado constituye el Primer Principio de la Termodinámica 6

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