Unidad Nº 10. Magnetismo

Transcripción

1 Unidad Nº 10 Magnetismo Definición y propiedades del campo magnético. Fuerza magnética en una corriente. Movimiento de cargas en un campo magnético Campos magnéticos creados por corrientes. Ley de Ampere. El campo magnético en la vecindad de un alambre largo. Flujo magnético Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Que sabemos de los Imanes? 1

2 Campo Magnético La ciencia del Magnetismo Nació en Magnesia (Asia), al observarse que un mineral llamado magnetita atraía trozos de hierro. Esta ciencia se desarrollo independientemente hasta que Oersted descubrió que una corriente que circula por un alambre puede producir efectos magnéticos. Lo que dio el nacimiento al Electromagnetismo. 2

3 Se define Campo Magnético al espacio que rodea a un imán o a un conductor por que circula una corriente. Es una magnitud vectorial y se la simboliza con la letra B. Las líneas de inducción magnética son líneas imaginarias que nos permiten representar la forma del B. Líneas de inducción Magnética: Salen del Polo Norte y entran en el Sur Donde la densidad de líneas es mayor (Nº de línea por unidad de sección transversal) mayor es B B B B El Vector B siempre es tangente a la línea de inducción Magnética 3

4 Para introducir el concepto de campo magnético repasaremos algunos conceptos de campo eléctrico: Una distribución de carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico E en el espacio circundante. El campo eléctrico ejerce una fuerza F =q E sobre cualquier otra carga q que esté presente en el campo. Describimos las interacciones magnéticas de manera similar: Una carga móvil o corriente crea un campo magnético B en el espacio circundante (además de su campo eléctrico). El campo magnético ejerce una fuerza F sobre cualquier otra carga o corriente en movimiento presente en el campo. Al igual que el campo eléctrico E, el magnético B es un campo vectorial Fuerza magnética en una carga en movimiento: 4

5 Fuerza magnética en una carga en movimiento : Este análisis indica que la fuerza F sobre una carga q que se mueve con una velocidad v en un campo magnético B está dada tanto en magnitud como en dirección por: Su módulo se calcula como: F = q vbsenθ Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectores v y B Su sentido se encuentra por la regla de la mano derecha Despejando de la ecuación F = q vbsenθ: Tenemos que: B F B N q v C m s = N A m =T (Tesla) 1T 1N 1A 1m Un electrón se mueve a una velocidad de m/s a través de un campo magnético uniforme, cuya magnitud es 1, T. Cuál es la magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón, si su velocidad y el campo magnético a) son perpendiculares entre sí, b) forman un ángulo de 45, c) son paralelos o d) son exactamente opuestos? 5

6 Flujo de B: El Flujo de un campo magnético B a través de una superficie A se define por medio de la expresión: Φ B da Φ = Wb (Weber) Analogía con ley de Gauss para E Φ E da. El Flujo de un campo magnético B a través de una superficie cerrada es cero. (no existe el monopolo magnético) B Φ A 1T 1Wb m Fuerza magnética en una carga en movimiento : F q v x B F = q vbsenθ Si v y B son perpendiculares Entonces F = q vb Luego por la segunda ley de Newton F = q vb = ma =m v2 R Radio de trayectoria R m v q B qb =m v R Velocidad angular ω v R qb m Frecuencia de giro f ω 2π qb 2πm 6

7 Un positrón (q = 1,6 x C, m = 9,1 x Kg), se dispara horizontalmente y hacia la derecha con una velocidad de módulo 5 x 10 6 m/s, en una región donde existe un campo magnético perpendicular al plano del dibujo, experimentando inicialmente la acción de una fuerza vertical y hacia abajo, de módulo igual a 1,14 x N. a) Determinar sentido y módulo del campo magnético. b) Cuál es el radio de la trayectoria que describe el positrón? c) Cuál es su frecuencia de giro? Un ion de Li (un isótopo de litio) con una sola carga tiene una masa de 1.16 x kg. Es acelerado a través de una diferencia de potencial de 220V y en seguida entra en un campo magnético con una magnitud de 0,723T, perpendicular a la trayectoria del ion. Cuál es el radio de la trayectoria del ion en el campo magnético? Fuerza magnética sobre una corriente: B A v d - v d v - d v - d - θ A i l Conductor de largo l sección transversal A ubicado en un campo magnético B 7

8 Si calculamos la fuerza magnética en cada electrón (e): F = e v d B sen θ Ahora si consideramos que en este tramo de conductor hay N electrones la fuerza neta ejercida sobre el será: F = NF = N e v d B sen θ Si tomamos una densidad volumétrica de electrones n: Entonces podemos rescribir N como: N = n V = n A l Y reemplazamos: F = n A l e v d B sen θ o F = n A e v d l B sen θ i => F = i l B sen θ o en forma vectorial: F i l x B Fuerza magnética sobre conductor recto de largo l df i dl x B Fuerza magnética sobre tramo infinitesimal de largo dl 8

9 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento o corriente : F q v d x B F i l x B => F = i l B sen θ df i dl x B Un conductor recto de 50 cm de longitud transporta una corriente de 4,0 A, dirigida verticalmente hacia arriba. Si sobre el conductor actúa una fuerza de N en dirección al este, que se debe a un campo magnético en ángulo recto con el tramo de alambre, cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético? Un campo magnético horizontal de T forma un ángulo de 30 con la dirección de la corriente que pasa por un conductor largo y recto de 75 cm de longitud. Si el conductor lleva una corriente de 15 A, cuál es la magnitud de la fuerza sobre él? 9

10 Aplicación Fuerza magnética sobre conductor: Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento: B μ q v x r 4π r o B μ 4π B μ q v sinθ 4π r μ 0 : ctte. de permeabilidad del vacío μ 0 4π 10 7 T m/a q v x r r 10

11 Campo magnético creado un elemento de corriente: Si calculamos el la carga de un elemento diferencial de un conductor como: dq n q A dl Entonces podemos calcular el Campo magnético (B) que genera como: i db μ dq v sinθ 4π r μ n q A v dl sinθ 4π r Finalmente tenemos: db μ 0 i dl sinθ 4π r 2 O en forma vectorial: Ley de Biot y Savart: db μ 0 i dl x r 4π r 3 B μ 0 4π i dl x r r 3 Si x es mucho menor que a a x 2 a 2 : 11

12 Un alambre rectilíneo, muy largo, transporta una corriente de 4A. A qué distancia del alambre la magnitud del campo magnético resultante es igual a 25 T? Rta: distancia = 3,2x10-2 m Dos alambres rectos, largos y paralelos conducen corrientes, del mismo sentido, de 8 y 2 A respectivamente. Separados por una distancia de 1m. a) Cuál es la magnitud del campo magnético en el punto medio entre los alambres? b) En que punto de la línea que una los alambres se anula el campo magnético? PROBLEMA N 9 Dos alambres rectos y muy largos son perpendiculares a un sistema de coordenadas cartesianas, en los puntos (0m, 6m) y (8 m, 0m). Por el primer alambre circula una corriente entrante de 0,01 A, y por el segundo una corriente saliente de 0,03 A. a) Calcular el módulo del campo magnético B resultante en el punto (0m, 0m) y el ángulo que forma con el eje x. b) Determinar módulo, dirección y sentido de la fuerza inicial que actúa sobre un electrón que se dispara en el punto anterior, en el sentido de las (-)x, con una velocidad de 3000 (m/s). Rta: a) B = 8,2 x 10 10T, θ =246º Fuerza magnética entre dos conductores paralelos : i 2 i 1 F i l x B => F = i l B sen θ F i 2 l μ 0 i 1 2π r 12

13 PROBLEMA N 10 Cuál es la fuerza (incluyendo dirección) por unidad de longitud sobre el conductor 1 de la figura? Ley de Biot y Savart: B μ 0 4π i dl x r r 3 B μ 0 i 4π B μ 0 i 4π r 0 2πr 2 dl dl r sen 90 2πr 0 B μ 0 i 2 π r 4π r 2 B μ 0 i 2 r r 3 13

14 Si ahora lo multiplicamos por N espiras y lo calculamos en el centro de la misma (x=0): 14

15 Problema Nº 11 Una espira circular de alambre, de 5 cm de radio, conduce una corriente de 1 A. Otra circular concéntrica a la primera (las dos espiras tienen el mismo centro) y tiene 10cm de radio. El campo magnético en el centro de las espiras es el doble de lo que produciría la primera por si sola, pero con dirección opuesta. Cuál es la corriente por la segunda espira? Ley de Ampere: Retomamos: Reordenamos: B 2πr μ 0 I Reformulamos el primer miembro de una manera mas general como: B dlpara una trayectoria circular concéntrica con el conductor, y donde el dl es tangente a la trayectoria de integración: dl dl r X i dl dl 15

16 Entonces la Ley de Ampère puede enunciarse así: La circulación del vector B a lo largo de una trayectoria de integración cerrada es directamente proporcional a la corriente neta que atraviesa el área limitada por la trayectoria de integración Aplicaciones ley de Ampere: Cálculo del campo magnético B en un punto P a una distancia r de un conductor por el que circula una corriente i r P dl B B dl μ 0 I enc X i B dl cos 0 μ 0 I enc Trayectoria de integración de radio r elegida Por simetría el módulo de B es constante a lo largo de la trayectoria de integración B 2πr dl 0 B 2πr μ 0 i B μ 0i 2πr μ 0 i 16

17 Cálculo del campo magnético B en un punto P en el interior de un conductor rectilíneo a una distancia r de un conductor por el que circula una corriente I Cálculo del campo magnético B en un punto P en el interior de un solenoide por el que circula una corriente i B 0 dl b c dl a B dl B d dl B i B dl μ 0 I enc x x x x x x x x x x x x x x x x i b B dl a c B dl b b B dl cos90 a Bl μ 0 I enc d B dl c d 0 B dl cos90 c a B dl μ 0 I enc d a B dl cos0 μ 0 I enc d La corriente neta que circula en el área encerrada es: I enc N i Bl μ 0 N i B μ 0 N i l Campo Magnético generado por una bobina de N Espiras y longitud l 17

18 PROBLEMA N 12 Se devana un solenoide de 10 cm de longitud con 1000 vueltas de alambre. En el centro del solenoide se produce un campo magnético de T. a) Qué tan largo debe ser el solenoide para producir un campo de T en su centro? b) Si sólo se ajustan las vueltas, qué número se necesitará para producir un campo de T en el centro? c) Qué corriente en el solenoide será necesaria para producir un campo de T pero con dirección opuesta? Flujo Magnético: Ley de Faraday: 18

19 Ley de Faraday: Michael Faraday advirtió que lo que tienen en común todos los experimentos anteriores es el cambio de flujo de campo magnético a través de la bobina y enunció la ley de inducción electromagnética (Ley de Faraday): La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual al valor negativo de la velocidad con la que cambia el flujo de campo magnético que atraviesa el circuito ε dφ B dt Para N Espiras de área A donde solo varía el campo magnético ΔB en un tiempo ΔT ε NΔB A cosθ Δt 19

20 Ley de Lenz: Esta ley permite determinar el sentido de la f.e.m. inducida y dice que : La corriente inducida tiene un sentido tal que tiende a oponerse a la causa que la produce Ejemplos: 20

21 PROBLEMA N 12 El campo magnético entre los polos del electroimán de la figura es uniforme en cualquier momento, pero su magnitud se incrementa a razón de 0,020T/s. El área de la espira conductora en el campo es de 120cm 2, y la resistencia total del circuito, incluyendo el medidor, es de 5Ω. a) Encuentre la f.e.m. inducida y la corriente inducida en el circuito. b) Si se sustituye la espira por otra hecha de un material aislante, qué efecto tendrá esto sobre la f.e.m. inducida y la corriente inducida? PROBLEMA N 13 Se construye una espira circular flexible con un alambre de 300 cm de largo. La espira se coloca en un campo magnético uniforme de 1,2 T. a) Cuánto vale el flujo de B a través de la espira? Se tira la espira en los puntos indicados en la figura formando una espira de área nula en un intervalo de tiempo de 0,2 s b) Qué f.e.m. se induce en el circuito? c) Cuál es el sentido de la corriente en R? Rta: a) ØB = 0,86Wb b) ε=4,30v c) sentido horario. 21