Ayudantía 23. Fuerza magnética sobre conductores, torque magnético y Ley de Ampere 31 de Mayo de 2018 Ayudante: Matías Henríquez -

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS15 - Electricidad y Magnetismo // Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl Ayudantía 2 Fuerza magnética sobre conductores, torque magnético y Ley de Ampere 1 de Mayo de 2018 Ayudante: Matías Henríquez - mjhenriquez@uc.cl 1. Fórmulas y constantes 1.1. Campo magnético de un alambre conductor Un alambre conductor que lleva una corriente I, crea un campo magnético en el espacio que corresponden a líneas de campo concéntricas, tal como muestra la siguiente figura: r I B el campo magnético que genera el alambre conductor está dado por: B(r) = µ 0I 2πr θ (1.1) en donde θ es el vector tangencial a la circunferencia que encierra el conductor Fuerza magnética sobre conductores Considere un circuito conductor que lleva una corriente I 1, cuya curva en el espacio está dada por la parametrización Γ. Este conductor se encuentra en presencia de un campo magnético externo B ext (x), entonces la fuerza F 1 sobre el conductor debido al campo magnético externo está dada por: F 1 = Γ I 1 dx B ext (x) (1.2) 1

2 1.. Torque magnético sobre una espira Suponga una espira de área A y que lleva una corriente I 1. El momento magnético de esta espira está dado por: en donde A = An es el vector área de la espira, con n normal a la espira. µ = I 1 A (1.) Si esta espira, se encuentra en presencia de un campo magnético externo B ext, entonces el torque que experimenta la espira está dado por: τ = u B ext (1.4) 1.4. Ley de Ampere Considere una curva cerrada γ, la cual encierra una superficie S. Sea J la densidad de corriente, campo vectorial que atraviesa la superficie S. Esto implica que habrá un flujo de corriente a través de la superficie y esta corriente creará un campo magnético. La ley de Ampere postula que la circulación de este campo vectorial a través de γ es proporcional al flujo de corriente a través de la superficie encerrada S, es decir: B dr = µ 0 J ds (1.5) γ S B dr = µ 0 I enc (1.6) γ 2

3 2. Problemas Problema 1: Fuerza magnética entre alambres conductores Considere dos alambres paralelos separados por una distancia a y que llevan corrientes I 1 e I 2 en la dirección x. Calcule la fuerza entre ambos conductores. Respuesta: La fuerza magnética F 1 que ejerce el alambre 2 sobre el alambre 1, está dada por: F 1 = I 1 dx 1 B 2 en donde B 2 es el campo magnético creado por el alambre 2, evaluado en la ubicación del alambre 1, dado por: B 2 = µ 0I 2 2πa k Esto es bajo la consideración que los alambres son lo suficientemente largos. Vemos que el campo es uniforme a lo largo del conductor, dado que solo depende de la distancia del conductor 1 al 2, la cual siempre es constante y vale a. Considere que el conductor 1 tiene un largo L, entonces:

4 F 1 = = I 1 I 1 dx 1 B 2 dx 1 î µ 0I 2 2πa k }{{} =L = µ 0I 1 I 2 L 2πa y la fuerza que experimenta el conductor 2, es por acción y reacción, F 2 = F 1. Notemos que los dos conductores se atraen, ya que las corrientes en ambos van en el mismo sentido. ĵ Problema 2: Torque magnético Un circuito cuadrado de lado a está suspendido en el centro de un enorme anillo fijo de radio R, con R >> a por un hilo que ejerce un torque restaurador de magnitud τ = kφ, con φ el ángulo de torsión que forman los planos de ambos circuitos. Si por el circuito pequeño circula una corriente i y por el grande I, encuentre en forma aproximada el valor de la constante k de modo que φ = π sea posición de equilibrio. 2 Respuesta: Dado que R >> a, el circuito cuadrado de lado a se ve como una singularidad para el anillo de radio R, por ende el campo magnético en todo el circuito cuadrado de lado a puede ser aproximado por el campo magnético producido por el anillo de radio R evaluado en su origen. Utilizando Ley de Biot-Savart, se obtiene el campo magnético en el origen producido por el anillo: B(0, 0) = µ 0I 2R k (2.1) 4

5 El torque magnético sobre la espira cuadrada está dado por: τ = µ B(0, 0) (2.2) dado que el campo magnético en el origen está en la misma dirección que la normal del plano que encierra el anillo, entonces el producto cruz anterior vale: τ = µ B(0, 0) = ia 2 (n) µ 0I 2R k notemos que n k = sin φ ĵ, con n normal al plano que encierra el circuito cuadrado de lado a (el torque hace que gire en torno al eje y). Luego: el torque restaurador está dado por: τ = µ 0 iia 2 2R sin φ ĵ τ r = kφ ĵ Para que esté en equilibrio en φ = π/2 el torque neto debe ser 0, entonces: τ + τ r φ=π/2 = 0 µ 0 iia 2 2R k π 2 = 0 k = µ 0 iia 2 πr 5

6 Problema : Campo magnético de un solenoide Calcule el campo magnético de un solenoide ideal de largo L, N vueltas y que lleva una corriente estacionaria I. Respuesta: Un solenoide es una bobina enrollada en forma helicoidal. La figura muestra las líneas de campo magnético de un solenoide con corriente constante I. Vemos que si las vueltas están muy cercanas espacialmente, el campo magnético resultante dentro del solenoide es parcialmente uniforme, siempre que la longitud del solenoide sea mucho más grande que su diámetro. Para un solenoide ideal, que es infinitamente largo con vueltas infnitamente cercanas, el campo magnético dentro es uniforme y paralelo al eje x, y es nulo fuera del solenoide. Podemos utlizar la ley de Ampere para calcular el campo magnético dentro de un solenoide ideal. Consideremos una trayectoria cerrada rectangular de largo l y ancho w, recorrido en sentido antihorario, tal como muestra la siguiente figura: La integral de línea del campo magnético en esta trayectoria cerrada es la suma de las integrales de línea en cada una de las trayectorias 1,2, y 4. La integral de línea en la trayectoria 1 es 0 ya que no hay campo magnético, y en las trayectorias 6

7 2 y 4 también es nulo ya que el campo magnético es perpendicular al diferencial de trayectoria (o mejor dicho, a la tangente de la trayectoria). Ahora extendemos nuestra trayectoria rectangular de tal manera de abarcar todo el solenoide. Entonces: 124 B dr = B dr = µ 0 I enc Bl = µ 0 NI Obteniendo finalmente: B = µ 0 NI l Problema 4: Ley de Ampere Considere un conductor cilíndrico de radio R y de extensión infnita, que lleva una corriente I con una densidad de corriente no uniforme: J = αr donde α es una constante (desconocida), y r es la distancia de un punto interior al conductor al eje de simetría. Encuentre el campo magnético en todo el espacio. Respuesta: Sea Γ una curva circular de radio r, concéntrica al eje de simetría del conductor. Es evidente que la magnitud del campo magnético solo puede ser función de r, y su dirección es tangente en todo punto a la curva Γ. Para todo r se tiene que la circulación del campo magnético es: 7

8 B(r) dr = µ 0 I enc Γ B(r) 2πr = µ 0 I enc en donde la corriente encerrada depende de si r < R o r > R. Notemos que el campo vectorial de densidad de corriente J tiene la misma dirección que el vector normal a una sección transversal del conductor. Para el caso en que r < R, la corriente encerrada es: I enc = S J ds = S JdS = 2π r 0 0 (αr)rdrdθ = 2παr Por lo tanto para r < R se tiene: B(r) = µ 0αr 2 θ Dado que: I = α = S I 2πR J ds = 2π R 0 0 (αr)rdrdθ = 2παR entonces: B(r) = µ 0Ir 2 2πR θ Para el caso r > R, la corriente encerrada es siempre I, por lo tanto: B(r) = µ 0I 2πr θ 8