1. Fórmulas y constantes

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Alicia de la Cruz Caballero
hace 5 años
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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS Electricidad y Magnetismo // Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl Ayudantía 5 Potencial eléctrico, trabajo y energía 27 de Marzo de 2018 Ayudante: Guillermo Espinosa - jgespinosa@uc.cl 1. Fórmulas y constantes 1.1. Potencial Eléctrico El potencial eléctrico producido por un campo es igual a: E = V (1.1) 1.2. Unidades del potencial eléctrico Tip: 2. Problemas Problema 1: [V] = [E distacia] = N C m = Joule Coulomb = Volt = V (1.2) E d r = V d r = V( a ) V( b ) (1.3) γ ab γ ab Un peueño objeto de masa m tiene una carga y está suspendido por un hilo entre dos planos infitos verticales de densidad σ y σ. La separación entre planos es d. Si el hilo forma un ángulo θ con la vertical. a) Cuánto vale σ? b) Cuál sería la diferencia de potencial entre los planos? 1

2 Respuesta: a) Como se tienen 2 planos infinitos de carga, con densidad σ y σ respectivamente, se tendrá ue el campo eléctrico es nulo fuera de la región entre planos y será uniforme como indica la figura para la región limitada por ambos. Esto es fácil de ver utilizando el principio de superposición. Si elegimos un eje horizontal, digamos, ˆx, y el origen sobre el plano de la izuierda, tendremos ue el campo debido al plano cargado positivamente es σ î si x > 0 2ɛ 0 E 1 = σ î si x < 0 2ɛ 0 Ahora, para el plano cargado negativamente σ î 2ɛ 0 E 2 = σ î 2ɛ 0 si x > d si x < d El campo eléctrico total se obtiene de la suma de ambos campos, luego, es fácil ver ue E = σ ɛ 0 î para la región entre planos, y es nulo fuera de ella. 2

3 Ahora, la esfera está en euilibrio, por lo ue F x = T sin θ + F e = 0 En ue F e es la fuerza eléctrostática ue actúa sobre la esfera. F y = T cos θ mg = 0 El balance de fuerzas en el eje vertical entrega T = mg = cos θ. Así De esta forma mg tgθ + E = 0 Igualando, se obtiene ue mg tgθ E = î σ ɛ 0 = mg tgθ de donde la densidad superficial de carga está dada por σ = mgɛ 0 tgθ 3

4 b) La diferencia de potencial entre los planos se puede obtener integrando el campo eléctrico sobre una trayectoria cualuiera entre la placa izuierda y la placa derecha. Por supuesto, elegimos una trayectoria horizontal, de manera ue el campo es paralelo en todo instante a la curva φ(0) φ(d) = 0 d d x E = d 0 mg tgθ dx = mg tgθ d Ensayemos la interpretación física del potencial. Sabemos ue si tomamos una carga unitaria y la ponemos en algun punto sobre el plano izuierdo, ésta sentirá una fuerza hacia la derecha, luego, si la soltamos, esta acelerará hasta pegarse al plano derecho. Qué trabajo habrá ue hacer para impedir ue la carga acelere, y entonces, viaje desde 0 hasta d con velocidad constante? Justamente será mg tgθ d φ(0) φ(d) = El signo negativo se debe a ue deberíamos ejercer una fuerza contraria al movimiento de desplazamiento. Problema 2: Considere un anillo de radio R uniformemente cargado con densidad λ. Cuál es el potencial electostático a una distancia z sobre el eje del anillo?. En seguida, calcule el potencial en el eje de un anillo de radio interior a y radio exterior b y densidad σ. Respuesta: Tomemos un elemento infitesimal de longitud en el anillo dl = Rd0, como se aprecia en la figura. Este elemento posee una carga 4

5 d = dφ Rλ Su contribución al potencial en P es dφ(p) = 1 d r = 1 Luego, el potencial debido al anillo completo está dado por dφ Rλ R2 + z 2 φ(p) = 2π 0 dφ Rλ R2 + z 2 φ(p) = 1 Notar ue Q = 2πRλ es la carga total del anillo, luego 2πRλ R2 + z 2 V(P) = 1 Q R2 + z 2 Es fácil ver ue si z >> R, si tiene el potencial de una carga puntual φ(p) = 1 2πRλ z Ahora, el campo eléctrico en el punto P se puede obtener a partir del potencial como E(P) = φ(p) Sin embargo, para evaluar φ es necesario conocer φ(x, y, z). Aún así, veamos ue sucede con φ z ˆk 5

6 1 Q (R 2 + z 2 ) 3/2 = E(P) y se recupera el resultado obtenido anteriormente para el campo en el eje. Qué nos dice esto acerca de las derivadas parciales con respecto a x e y del potencial en un punto de la forma (0, 0, z)? Ahora, para obtener el potencial de un disco de radios a y b, simplemente se considera la superposición de anillos infinitesimales Tomamos un anillo de radio r y ancho infinitesimal dr, sabemos ue el potencial en el eje está dado por dφ(p) = 1 dq r2 + z 2 donde, dq = σ2πrdr es la carga ue contiene ese anillo Luego Y el potencial es dφ(p) = 2πσ rdr r2 + z 2 φ(p) = σ b 2ɛ 0 a Sea u = r 2 + z 2, con esto du = 2rdr, y por lo tanto rdr r2 + z 2 rdr r2 + z = du u 1/2 = u1/2 = r 2 + z 2 6

Finalmente φ(p) = σ 2ɛ 0 ( b 2 + z 2 a 2 + z 2 ) Problema 3: Considere dos cascarones esféricos de radios a y b (a < b), el cascarón interior tiene densidad superficial de carga constante Q y el

7 Finalmente φ(p) = σ 2ɛ 0 ( b 2 + z 2 a 2 + z 2 ) Problema 3: Considere dos cascarones esféricos de radios a y b (a < b), el cascarón interior tiene densidad superficial de carga constante Q y el exterior Q. Encuentre la diferencia de potencial entre el cascarón b y el a. Respuesta: El campo eléctrico en todo el espacio (de existir) es esféricamente simétrico. Lo mismo sucede con el potencial, ue será constante en una supercie esférica. Lo ue se pide es V = φ(b) φ(a) Se debe evaluar entonces 7

8 φ(b) φ(a) = b a d x E( x ) Para evaluar la integral, claramente debemos encontrar E( x ) y elegir un camino desde a a b. Utilizamos una supercie Gaussiana S esférica de radio r, con a < r < b, como muestra la figura Por ley de Gauss Luego, en la región entre los dos cascarones S d S ( x ) E( x ) = E(r)4πr 2 = Q ɛ 0 E( x ) = Q r 2 ˆr Dada la forma del campo, resulta inteligente elegir un camino radial Γ : x = rˆr r : a b Luego d x = drˆr y d x E( Q x ) = dr r 2 8

9 Entonces b drq φ(b) φ(a) = a r = Q b dr 2 a r = Q 1 2 r a b V = Q ( 1 b 1 ) a Notar ue φ(b) φ(a) < 0 φ(b) < φ(a) Es decir, cuesta más trabajo llevar una carga a ue a b desde el infinito. 9

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