Física II CF-342 Ingeniería Plan Común.

Transcripción

1 Física II CF-342 Ingeniería Plan Común. Omar Jiménez Henríquez Departamento de Física, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile, I semestre Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

2 Contenidos 1 Fuerza y Campo Eléctrico Cargas eléctricas Ley de Coulomb Campo eléctrico Líneas de campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss Conductores en equilibrio electrostático Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

3 Cargas eléctricas Por medio de experimentos se puede afirmar que las cargas eléctricas, que poseen algunas partículas subatómicas, cumplen con las siguientes propiedades: Existen dos tipos de cargas: Positivas y Negativas Cargas de igual signo se repelen. Cargas de distinto signo se atraen. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

4 Cargas eléctricas Los átomos son las unidades básicas de la materia. Los átomos a su vez están formados por: protones, neutrones y electrones. La cantidad de protones, neutrones y eléctrones determina el tipo de átomo. Por ejemplo, el átomo de oxígeno posee 8 protones, 8 neutrones y 8 eléctrones. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

5 Cargas eléctricas Los átomos son las unidades básicas de la materia. Los átomos a su vez están formados por: protones, neutrones y electrones. La cantidad de protones, neutrones y eléctrones determina el tipo de átomo. Por ejemplo, el átomo de oxígeno posee 8 protones, 8 neutrones y 8 eléctrones. Masa y la carga del electrón, protón y neutrón. Partícula masa (kg) carga (C) Electrón (e) Protón (p) Neutrón (n) Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

6 Cargas eléctricas Otras propiedades de las cargas eléctricas son: Se conserva: La carga eléctrica no se crea ni se destruye, sólo se puede traspasar de un cuerpo a otro, manteniendo la carga total sin variar. Esta cuantizada: La carga eléctrica se puede cuantificar en términos de una unidad fundamental de carga e. Por cuanto, podemos escribir que la carga eléctrica Q es, Q = Ne, donde e es la carga del electrón e = [C] y N Z. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

7 Conductores y aisladores Conductor: es aquel que permite que las cargas eléctricas se muevan fácilmente a través de ella. Ejemplo: metales, cuerpo humano, tierra. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

8 Conductores y aisladores Conductor: es aquel que permite que las cargas eléctricas se muevan fácilmente a través de ella. Ejemplo: metales, cuerpo humano, tierra. Aisladores: que no permiten el movimiento de cargas a través de ellos. Ejemplo: no metales, plásticos, gomas. Cuando estos materiales son cargados por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y ésta no se mueve hacia otras regiones del material. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

9 Electrización Por Contacto: Traspaso de carga de un cuerpo a otro. Los cuerpos adquieren cargas iguales y opuestas. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

10 Electrización Por Contacto: Traspaso de carga de un cuerpo a otro. Los cuerpos adquieren cargas iguales y opuestas. Por inducción: Los cuerpos no se tocan. Las cargas se separan. Los cuerpos cargados tienen distinta carga. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

11 Ley de Coulomb Charles Coulomb ( ) fue un físico e ingeniero militar francés que determinó las magnitud de la fuerza eléctrica entre objetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsión. El resultado de Coulomb fue que la fuerza eléctrica F e es: - Proporcional a las cargas q a y q b. F e q a q b Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

12 Ley de Coulomb Charles Coulomb ( ) fue un físico e ingeniero militar francés que determinó las magnitud de la fuerza eléctrica entre objetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsión. El resultado de Coulomb fue que la fuerza eléctrica F e es: - Proporcional a las cargas q a y q b. F e q a q b - Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r 2. F e 1 r 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

13 Ley de Coulomb Charles Coulomb ( ) fue un físico e ingeniero militar francés que determinó las magnitud de la fuerza eléctrica entre objetos cargados en reposo, utilizando una balanza de torsión. El resultado de Coulomb fue que la fuerza eléctrica F e es: - Proporcional a las cargas q a y q b. F e q a q b - Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r 2. F e 1 r 2 Con lo cual tenemos que: F e q a q b r 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

14 Ley de Coulomb Luego, la ley de Coulomb queda: F e = k e q a q b r 2, donde k e es la constante de proporcionalidad llamada constante de Coulomb, cuyo valor en el SI de unidades es: k e = Nm2 C 2. Esta constante también puede ser expresada como k e = 1 4πɛ 0, donde ɛ 0 es conocida como la permitividad del espacio libre, cuyo valor es ɛ 0 = Nm 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF C2

15 Ejercicio: El electrón y el protón de un átomo de hidrogeno están separados en promedio una distancia de aproximadmente m. Encuentre la magnitud de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

16 Ejercicio: El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados en promedio una distancia de aproximadamente m. Encuentre la magnitud de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas. De la ley de Coulomb se puede determinar la fuerza eléctrica, q p q e e e F e = k e r 2 = k e r 2 = Nm2 C 2 ( C) 2 ( m) 2, = N. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

17 Ejercicio: La fuerza gravitacional se obtiene de F g = G m p m e r 2 11 Nm2 ( kg)( kg) = kg 2 ( m) 2, = N. Con lo cual, tenemos F e F g = Por cuanto podemos despreciar la F g frente a la F e. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

18 Ley de Coulomb La fuerza eléctrica actúa en la línea que une a las dos cargas q 1 y q 2. La fuerza eléctrica ejercida por la carga q 2 sobre la carga q 1 denotada por F 12 es: F 12 = k e q 1 q 2 r 2 ˆr 12. donde ˆr 12 es un vector unitario dirigido desde q 2 hasta q 1, como se muestra en la figura y r es la distancia desde la carga q 2 hasta la carga q 1. Caso (a) fuerza eléctrica repulsiva (cargas de igual signo). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

19 Ley de Coulomb La fuerza eléctrica actúa en la línea que une a las dos cargas q 1 y q 2. La fuerza eléctrica ejercida por la carga q 2 sobre la carga q 1 denotada por F 12 es: F 12 = k e q 1 q 2 r 2 ˆr 12. donde ˆr 12 es un vector unitario dirigido desde q 2 hasta q 1, como se muestra en la figura y r es la distancia desde la carga q 2 hasta la carga q 1. La fuerza que ejerce la carga q 1 sobre la carga q 2 tiene igual magnitud pero sentido opuesto a F 12, es decir F 21 = F 12. Caso (a) fuerza eléctrica repulsiva (cargas de igual signo). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

20 Ley de Coulomb Características de las fuerzas F 12 y F 21 : Son acción y reacción, F 21 = F 12. Actúan sobre cuerpos distintos. Tienen igual modulo, F 12 = F 21. Sentido opuesto. Actúan simultáneamente. actúan en la misma línea de acción. son de la misma naturaleza, F e q 1q 2 r 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

21 Ley de Coulomb La fuerza eléctrica actúa en la línea que une a las dos cargas q 1 y q 2. La fuerza eléctrica ejercida por la carga q 2 sobre la carga q 1 denotada por F 12 es: F 12 = k e q 1 q 2 r 2 ˆr 12. donde ˆr 12 es un vector unitario dirigido desde q 2 hasta q 1, como se muestra en la figura y r es la distancia desde la carga q 2 hasta la carga q 1. Caso (b) fuerza eléctrica de atracción (cargas de distinto signo). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

22 Ley de Coulomb La fuerza eléctrica actúa en la línea que une a las dos cargas q 1 y q 2. La fuerza eléctrica ejercida por la carga q 2 sobre la carga q 1 denotada por F 12 es: F 12 = k e q 1 q 2 r 2 ˆr 12. donde ˆr 12 es un vector unitario dirigido desde q 2 hasta q 1, como se muestra en la figura y r es la distancia desde la carga q 2 hasta la carga q 1. La fuerza que ejerce la carga q 1 sobre la carga q 2 tiene igual magnitud pero sentido opuesto a F 12, es decir F 21 = F 12. Caso (b) fuerza eléctrica de atracción (cargas de distinto signo). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

23 Principio de superposición Si tenemos más de dos cargas puntuales, se determina la interacción de cada carga con la otra por separado y la fuerza resultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas las fuerzas que actúan sobre la carga de interés. F i = k e n j=1,j i q i q j ˆr rij 2 ij Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

24 Principio de superposición Si tenemos más de dos cargas puntuales, se determina la interacción de cada carga con la otra por separado y la fuerza resultante sobre una de ellas, se obtiene sumando todas las fuerzas que actúan sobre la carga de interés. F i = k e n j=1,j i q i q j ˆr rij 2 ij Por ejemplo si tenemos cuatro partículas y queremos determinar la fuerzas que se ejerce sobre la partícula 4, tenemos Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

25 Ejercicio Tres cargas están a lo largo del eje x, como se ve en la figura. La carga positiva q 1 = 15µC está en x = 2m y la carga positiva q 2 = 6µC está en el origen. En dónde debe colocarse una carga negativa q 3 sobre el eje x, de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero? Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

26 Ejercicio Tres cargas están a lo largo del eje x, como se ve en la figura. La carga positiva q 1 = 15µC está en x = 2m y la carga positiva q 2 = 6µC está en el origen. En dónde debe colocarse una carga negativa q 3 sobre el eje x, de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero? Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q 3, los modulos de las fuerzas son: q F 32 = k 3 q 2 q e = k 3 q 2 r32 2 e x 2 F 31 = k e q 3 q 1 r 2 31 = k e q 3 q 1 (2 x) 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

27 Ejercicio Tres cargas están a lo largo del eje x, como se ve en la figura. La carga positiva q 1 = 15µC está en x = 2m y la carga positiva q 2 = 6µC está en el origen. En dónde debe colocarse una carga negativa q 3 sobre el eje x, de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero? Primero dibujamos las fuerzas sobre la carga q 3, los modulos de las fuerzas son: q F 32 = k 3 q 2 q e = k 3 q 2 r32 2 e x 2 F 31 = k e q 3 q 1 r 2 31 = k e q 3 q 1 (2 x) 2. Luego, dado que la suma de las fuerzas sobre q 3 debe ser cero, tenemos F 31 F 32 = 0, con lo cual x = 0.775m. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

28 Ejercicio La figura muestra tres partículas cargadas, que se mantienen en su sitio por fuerzas que no se ven en ella. Qué fuerza electrostática, debido a las otras dos cargas actúa sobre q 1?. Considere q 1 = 1µC, q 2 = 3µC, q 3 = 2µC, r 12 = 15cm, r 13 = 10cm y θ = 30. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

29 Ejercicio Las fuerzas que actúan sobre la carga q 1 son F 12 y F 13. Los modulos de las fuerzas F 12 y F 13 son: q F 12 = k 1 q 2 e = 1.2N r12 2 q F 13 = k 1 q 3 e = 1.8N. r13 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

30 Ejercicio Las fuerzas que actúan sobre la carga q 1 son F 12 y F 13. Los modulos de las fuerzas F 12 y F 13 son: q F 12 = k 1 q 2 e = 1.2[N] r12 2 q F 13 = k 1 q 3 e = 1.8[N]. r13 2 La fuerza total que actúa sobre la carga q 1 es: F 1 = F 12 + F 13 = F 12 î F 13 sin θî + F 13 cos θĵ = (0.3î ĵ)[N] Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

31 Ejercicio Las fuerzas que actúan sobre la carga q 1 son F 12 y F 13. Los modulos de las fuerzas F 12 y F 13 son: q F 12 = k 1 q 2 e = 1.2[N] r12 2 q F 13 = k 1 q 3 e = 1.8[N]. r13 2 La fuerza total que actúa sobre la carga q 1 es: F 1 = F 12 + F 13 = F 12 î F 13 sin θî + F 13 cos θĵ = (0.3î ĵ)[N] La norma de F 1 y el ángulo ψ es: F 1 = [N] = 1.59[N] ψ = arctan(1.56/0.3) = 79.1 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

32 Ejercicio Dos pequeñas esferas cargadas, cada una con masa de [kg], están suspendidas en equilibrio como se muestra en la figura. Si la longitud de cada hilo es de 0.15[m] y el ángulo θ = 5. Determine la magnitud de la carga en cada esfera, suponiendo que las esferas tienen igual carga. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

33 Ejercicio El diagrama de fuerzas sobre una de las cargas es: Fx = 0 T sin θ F e = 0 Fy = 0 T cos θ mg = 0 de la segunda ecuación, tenemos T = mg cos θ, reemplazamos la tensión en la primera ecuación, con lo cual Dado que las cargas están en equilibrio, la suma de las fuerzas en los ejes x e y deben ser cero. F e = mg tan θ además F e = k e q 2 la carga q es q = 4a 2 mg tan θ k e q = [C] (2a) 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

34 Ejercicio Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

35 Ejercicio Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado a. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q. F = kq2 2 a 2 (1 + )(î + ĵ). 4 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

36 Distribuciones de carga En algunos casos es posible tener: Línea de carga: La densidad lineal de carga se[ designa como λ y se mide en C m] λ = dq dl Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

37 Distribuciones de carga En algunos casos es posible tener: Línea de carga: Superficie de carga: La densidad lineal de carga se[ designa como λ y se mide en C m] λ = dq dl La densidad superficial de carga se designa como σ y se mide en σ = dq da [ ] C m 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

38 Distribuciones de carga Volumen de carga: La densidad volumétrica de carga se designa como ρ y se mide en ρ = dq dv. [ ] C m 3 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

39 Distribuciones de carga Volumen de carga: La densidad volumétrica de carga se designa como ρ y se mide en ρ = dq dv. [ ] C m 3 En estos casos se aplica la ley de Coulomb en su forma diferencial df Qdq Q = k e r ˆr 2 y la fuerza total sobre la carga Q es Qdq F Q = k e r ˆr 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

40 Ejemplo Una barra cargada uniformemente de longitud l tiene una carga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A una distancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q, determine la fuerza total que actúa sobre la carga puntual Q. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

41 Ejemplo Una barra cargada uniformemente de longitud l tiene una carga positiva por unidad de longitud λ y una carga total Q. A una distancia a del lado izquierdo de la barra existe una Carga Q, determine la fuerza total que actúa sobre la carga puntual Q. En este caso debemos aplicar la ley de Coulomb en su forma diferencial, es decir df = k Qdq x 2 ( î) Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

42 Ejemplo Dado que en este caso dq = λdx, tenemos F = k a+l a Qλdx x 2 ( î) donde, Q y λ son constantes, con λ = Q/l, luego a+l [ ] F = kqλ( î) dx 1 a+l a x 2 = keqλ( î) x a = kqλ( î) l a(a + l) donde, λl = Q con lo cual tenemos, F = kq2 a(a + l) ( î) Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

43 Ejemplo Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio R que porta una carga total Q positiva, distribuida uniformemente en su superficie sobre una carga puntual positiva q 0 que se halla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

44 Ejemplo Determinar la fuerza que ejerce un disco circular de radio R que porta una carga total Q positiva, distribuida uniformemente en su superficie sobre una carga puntual positiva q 0 que se halla en el eje del disco a una distancia x del centro del disco. Dado la simetría del problema la fuerza eléctrica sobre la carga q 0 sólo tiene componente en la dirección positiva de las x. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

45 Ejemplo Un elemento de área da = rdφdr del disco contiene una carga dq = σda y genera una fuerza eléctrica que tiene un modulo igual a df = k q 0dq d 2 donde, d = r 2 + x 2, df = k q 0σrdφdr r 2 + x 2 Luego, dado que la componente x de la fuerza es df x = dfcosθ, donde cosθ = x/d, tenemos df x = k q 0σrdφdr r 2 + x 2 x d = kxq rdφdr 0σ (r 2 + x 2 ) 3/2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

46 Ejemplo Dado que x y σ son constantes 2π R rdr F x = kxq 0 σ dφ 0 0 (r 2 + x 2 ) 3/2 [ ] 1 R = 2πkxq 0 σ = 2πkq 0 σ 1 r 2 + x R2 x 2 Como σ = q/(πr 2 ) tenemos F x = 2kqq 0 R R2 x 2 Se puede demostrar que cuando x >> R, se tiene F x = kqq 0 /x 2. Por otro lado, dado la simetría también se puede demostrar que F y = F z = 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

47 Campo eléctrico El vector campo eléctrico E en un punto en el espacio está definido como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q 0 colocada en ese punto y dividida por la magnitud de la carga de prueba q 0. E = F q 0 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

48 Campo eléctrico El vector campo eléctrico E en un punto en el espacio está definido como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q 0 colocada en ese punto y dividida por la magnitud de la carga de prueba q 0. E = F q 0 donde, E es el campo externo a la carga de prueba. [ ] E tiene unidades en SI de N C. La dirección de E es la dirección de la fuerza F sobre la carga de prueba positiva +q 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

49 Campo eléctrico de una carga puntual La fuerza eléctrica que ejerce la carga +Q sobre la carga de prueba q 0 es F = k Qq 0 r ˆr 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

50 Campo eléctrico de una carga puntual La fuerza eléctrica que ejerce la carga +Q sobre la carga de prueba q 0 es F = k Qq 0 r ˆr 2 Luego, el campo eléctrico generado por la carga +Q es E = F q 0 = k Q r 2 ˆr La intensidad del campo eléctrico E = k Q r 2 producido por la carga +Q tiene el mismo valor a una distancia r de la carga +Q y crea un campo radial hacia afuera. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

51 Campo eléctrico de una carga puntual Si la carga es negativa, tenemos que la fuerza eléctrica que ejerce la carga Q sobre la carga de prueba q 0 es F = k Qq 0 r ˆr 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

52 Campo eléctrico de una carga puntual Si la carga es negativa, tenemos que la fuerza eléctrica que ejerce la carga Q sobre la carga de prueba q 0 es F = k Qq 0 r ˆr 2 Luego, el campo eléctrico generado por la carga Q es E = F q 0 = k Q r 2 ˆr La intensidad del campo eléctrico E = k Q r 2 producido por la carga Q tiene el mismo valor a una distancia r de la carga Q y crea un campo radial hacia adentro. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

53 Campo eléctrico Luego, tenemos que: Existe un campo eléctrico en un punto si una carga de prueba en reposo situada en ese punto experimenta una fuerza eléctrica. Existe el campo eléctrico en un punto (incluso en el espacio vacío) sin importar si está localizada o no una carga de prueba en ese punto. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

54 Campo eléctrico Luego, tenemos que: Existe un campo eléctrico en un punto si una carga de prueba en reposo situada en ese punto experimenta una fuerza eléctrica. Existe el campo eléctrico en un punto (incluso en el espacio vacío) sin importar si está localizada o no una carga de prueba en ese punto. Se debe suponer que la carga de prueba q 0 es lo suficientemente pequeña de modo que no perturbe la distribución de carga que produce el campo eléctrico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

55 Campo eléctrico de varias cargas puntuales El campo eléctrico total debido a un grupo de cargas es igual al vector resultante de la suma de los campos eléctricos de todas las cargas. Esto se deduce directamente de la propiedad de la superposición de fuerzas. Por lo tanto, el campo eléctrico es E = k i q i ri 2 ˆr i donde r i es la distancia de la i-enésima carga q i, al punto p (la ubicación de la carga de prueba) y ˆr i es un vector unitario dirigido desde q i hasta p. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

56 Campo eléctrico de un dipolo Ejercicio: Un dipolo eléctrico consta de una carga positiva q y una carga negativa q separadas por una distancia d, como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico E debido a estas cargas en un punto p localizado a lo largo del eje y, el cual está a una distancia y del origen. Suponga que y >> d. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

57 Campo eléctrico de un dipolo El campo eléctrico generado por la carga positiva E 1 y por la carga negativa E 2 son respectivamente, donde El campo eléctrico total en el punto p es E = E 1 + E 2 E 1 = kq ˆr r1 2 1 E 2 = kq ˆr r2 2 2 ˆr 1 = î cos θ + ĵ sin θ ˆr 2 = î cos θ + ĵ sin θ Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

58 Campo eléctrico de un dipolo Dado que en este caso r 2 1 = r 2 2 = y 2 + ( ) d 2 = r 2, 2 donde, tenemos que E kq = 2 cos θî r 2 cos θ = d 2r E = 2 kq r 2 d 2r î = kqd r 3 î = Si consideramos y >> d tenemos E = kqd y 3 î. kqd ( ) (y 2 + d 2) î 3/2 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

59 Ejercicio. Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado a. Determine el campo eléctrico en los puntos p ubicado en las coordenadas ( a 2, a 2 ) y p 1 ubicado en las coordenadas (a,a/2). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

60 Ejercicio. Cuatro cargas puntuales positivas se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado a. Determine el campo eléctrico en los puntos p ubicado en las coordenadas ( a 2, a 2 ) y p 1 ubicado en las coordenadas (a,a/2). E p = 0 y EP1 = 16kq 5 5a 2 î. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

61 Campo eléctrico de una distribución continua de carga. El campo eléctrico en el punto p debido a un elemento de carga q está dado por E = k q r 2 ˆr. donde r es la distancia desde el elemento al punto p y ˆr es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hacia p. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

62 Campo eléctrico de una distribución continua de carga. El campo eléctrico en el punto p debido a un elemento de carga q está dado por E = k q r 2 ˆr. donde r es la distancia desde el elemento al punto p y ˆr es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hacia p. El campo eléctrico total en p debido a todos los elementos en la distribución de carga es E = k i q i ˆr ri 2 i. donde el índice i se refiere al i-enésimo elemento de la distribución. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

63 Campo eléctrico de una distribución continua de carga. Para una distribución continua de carga, es decir, en el límite q 0, tenemos q E = k lim i dq ˆr q i 0 r 2 i = k r ˆr. i i 2 en donde la integral es una operación vectorial. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

64 Ejemplo. Una barra de longitud l y carga total Q tiene una distribución uniforme de carga λ. Determine el campo eléctrico generado por la barra en un punto p, ubicado a una distancia a de la barra tal como aparece en la figura. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

65 Ejemplo. Una barra de longitud l y carga total Q tiene una distribución uniforme de carga λ. Determine el campo eléctrico generado por la barra en un punto p, ubicado a una distancia a de la barra tal como aparece en la figura. ( ) 1 E x = kλ (l b) 2 + a 1 2 b 2 + a 2 E y = kλ a b b 2 + a + 2 l b (l b) 2 + a 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

66 Ejercicio Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con carga total Q. Determine el campo eléctrico en el centro del semianillo (punto O). Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

67 Ejercicio Un semianillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con carga total Q. Determine el campo eléctrico en el centro del semianillo (punto O). E = 2 π kq a 2, dirigido hacia la derecha. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

68 Ejercicio Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con carga total Q. Determine el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a una distancia z sobre el eje del anillo. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

69 Ejercicio Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con carga total Q. Determine el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a una distancia z sobre el eje del anillo. E x = E y = 0, kqz E z = (z 2 + a 2 ) 3/2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

70 Líneas de campo eléctrico Para visualizar la forma del campo eléctrico es conveniente trazar líneas en la misma dirección que el vector de campo eléctrico en varios puntos. Una carga positiva genera un campo eléctrico radial hacia afuera. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

71 Líneas de campo eléctrico Para visualizar la forma del campo eléctrico es conveniente trazar líneas en la misma dirección que el vector de campo eléctrico en varios puntos. Una carga positiva genera un campo eléctrico radial hacia afuera y una carga negativa genera un campo eléctrico radial hacia adentro. E = k q r 2 ˆr. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

72 Líneas de campo eléctrico. Propiedades de las líneas de campo eléctrico. Son líneas imaginarias dibujadas de tal manera que la tangente a cada punto de la línea coincida con la dirección del campo eléctrico E. Las líneas salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas. Las líneas de fuerza se dibujan en forma proporcional al modulo de E. Las líneas de campo eléctrico en general son curvas. Las líneas nunca se cruzan, de lo contrario, habría indeterminación del campo eléctrico en los puntos de cruce. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

73 Ejemplos de línea de fuerza. Dipolo eléctrico Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

74 Ejemplos de línea de fuerza. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

75 Ejemplos de línea de fuerza. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

76 Flujo del campo eléctrico. El flujo del campo eléctrico Φ E mide el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie. El flujo del campo eléctrico se determina desde Φ E = E A. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

77 Flujo del campo eléctrico. El flujo del campo eléctrico Φ E mide el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie. El flujo del campo eléctrico se determina desde Φ E = E A. En este caso, según la figura tenemos A = Aˆn, y E = E ˆn, por lo tanto, [ ] Nm 2 Φ E = EA. C Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

78 Flujo del campo eléctrico. El flujo del campo eléctrico Φ E mide el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie. El flujo del campo eléctrico se determina desde Φ E = E A. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

79 Flujo del campo eléctrico. El flujo del campo eléctrico Φ E mide el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie. El flujo del campo eléctrico se determina desde Φ E = E A. En este caso, según la figura tenemos [ ] Nm 2 Φ E = EA cos θ. C Por lo tanto, si θ = 0 tenemos Φ E = EA, si θ = 90 tenemos Φ E = 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

80 Flujo del campo eléctrico. Para una superficie curva, tenemos que cada punto en la superficie curva tiene asociado un vector ˆn normal diferente, luego dφ E = E d A. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

81 Flujo del campo eléctrico. Para una superficie curva, tenemos que cada punto en la superficie curva tiene asociado un vector ˆn normal diferente, luego dφ E = E d A. Si integramos la expresión anterior, obtenemos el flujo total a través de la superficie Φ E = E da. El flujo del campo eléctrico es una cantidad escalar que se puede expresar como Φ E = E cos θda. donde, θ, es el ángulo formado por los vectores E y d A. A Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF A

82 Ejemplo Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Determine el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de arista l orientado como se muestra en la figura. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

83 Ejemplo Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Determine el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de arista l orientado como se muestra en la figura. El flujo eléctrico neto es Φ T = E A 1 + E A 2 + E A 3 + E A 4 + E A 5 + E A 6 donde E = Eî dado que A 3, A 4, A 5 y A 6 son perpendiculares a E los flujos a través de estas superficies es cero y nos queda Φ T = E A 1 + E A 2 pero A 1 = l 2î y A 2 = l2î, por lo tanto Φ T = 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

84 Ejemplo Considere una caja triangular en un campo eléctrico E = N/C como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a través de: a) la superficie vertical de la izquierda A, b) la superficie inclinada A y c) la superficie entera de la caja. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

85 Ejemplo Considere una caja triangular en un campo eléctrico E = N/C como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a través de: a) la superficie vertical de la izquierda A, b) la superficie inclinada A y c) la superficie entera de la caja. a) Φ E = 0, b) Φ E = 2340 Nm2 C, c) Φ E = 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

86 Ejemplo Un campo eléctrico está dado por E = azî + bx ˆk, donde a y b son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de la superficie triangular de la siguiente figura. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

87 Ejemplo Un campo eléctrico está dado por E = azî + bx ˆk, donde a y b son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de la superficie triangular de la siguiente figura. Φ E = 1 3 bhw 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

88 Ley de Gauss La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada por la superficie. Φ E = E da. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

89 Ley de Gauss La ley de Gauss consiste en que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada por la superficie. Φ E = E da. En este caso, E = Eˆr y da = daˆr, luego Φ E = E da = EdA. Como hemos considerado una superficie esférica, el módulo del campo eléctrico E = kq es el mismo a una distancia r de la r 2 carga positiva q. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

90 Ley de Gauss Por otro lado el elemento de área en coordenadas esféricas es da = r 2 sin θdθdϕ, donde 0 θ π y 0 ϕ 2π, luego kq Φ E = EdA = r 2 r 2 sin θdθdϕ. 2π π = kq dϕ sin θdθ. 0 0 = kq2π( cos θ) π 0 = 4πkq. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

91 Ley de Gauss Por otro lado el elemento de área en coordenadas esféricas es da = r 2 sin θdθdϕ, donde 0 θ π y 0 ϕ 2π, luego kq Φ E = EdA = r 2 r 2 sin θdθdϕ. 2π π = kq dϕ sin θdθ. 0 0 = kq2π( cos θ) π 0 = 4πkq. Donde anteriormente vimos que la constante de Coulomb se puede expresar como k = 1 4πɛ 0, finalmente el flujo del campo eléctrico generado por la carga q es Φ E = q ɛ 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

92 Ley de Gauss donde, ɛ 0 es la permitividad del vacío y k = 1 4πɛ 0 Comentarios: = Nm2 C 2. El campo eléctrico varía proporcionalmente con 1 r 2, pero el área de la esfera varía proporcionalmente con r 2. El efecto de la combinación produce que el flujo sea independiente de r. La ley de Gauss asegura que existen los monopolos eléctricos, es decir, pueden existir carga eléctricas aisladas. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

93 Ley de Gauss donde, ɛ 0 es la permitividad del vacío y k = 1 4πɛ 0 Comentarios: = Nm2 C 2. El campo eléctrico varía proporcionalmente con 1 r 2, pero el área de la esfera varía proporcionalmente con r 2. El efecto de la combinación produce que el flujo sea independiente de r. La ley de Gauss asegura que existen los monopolos eléctricos, es decir, pueden existir carga eléctricas aisladas. Desde la ley de Gauss, tenemos que: si Φ E 0 q n 0, carga neta encerrada distinta de cero. si Φ E = 0 q n = 0, carga neta encerrada es cero. La ley de gauss permite determinar el campo eléctrico en distribuciones de carga que tengan simetría esférica, cilíndrica o plana. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

94 Comentarios: Φ E = q ɛ 0 0. El número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie gaussiana es distinto de cero. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

95 Comentarios: Φ E = q ɛ 0 0. El número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie gaussiana es distinto de cero. Φ E = 0 q n = 0. El número de líneas de campo eléctrico que entran son iguales al número de líneas que salen de la superficie gaussiana. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

96 Ejercicio A partir de la ley de Gauss, calcúlese el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q y demuéstrese que la ley de Coulomb se deduce a partir de este resultado. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

97 Ejercicio A partir de la ley de Gauss, calcúlese el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q y demuéstrese que la ley de Coulomb se deduce a partir de este resultado. La ley de Gauss indica que Φ E = E d A = q ɛ 0. El campo eléctrico es radial hacia afuera, con lo cual E = Eˆr. El área es perpendicular a la superficie y por lo tanto tenemos da = daˆr, luego Φ E = EdA = q. ɛ 0 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

98 Ejercicio Ahora, la magnitud del campo eléctrico es la misma a una distancia r, es decir E = kq. Dado que hemos considerado una r 2 superficie esférica, la magnitud de E es constante en toda la superficie gaussiana. Por lo tanto, Φ E = E da = q, ɛ 0 ahora, la integral cerrada de la superficie es 4πr 2, con lo cual y finalmente, E = Φ E = E4πr 2 = q ɛ 0, q 4πɛ 0 r 2, E = kq r 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

99 Ejercicio Una esfera aislante de radio a tiene una densidad uniforme de carga ρ y una carga total positiva Q. Determine el campo eléctrico al interior y fuera de la esfera. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

100 Ejercicio Una esfera aislante de radio a tiene una densidad uniforme de carga ρ y una carga total positiva Q. Determine el campo eléctrico al interior y fuera de la esfera. Fuera de la esfera, tenemos Φ E = E da = Q, ɛ 0 EdA = Q, E da = Q, ɛ 0 ɛ 0 Finalmente, tenemos E4πr 2 = Q ɛ 0, E = kq r 2. E = kq r 2 ˆr para r > a. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

101 Ejercicio Al interior de la esfera, tenemos Φ E = E da = q int, ɛ 0 EdA = q int, E da = q int, ɛ 0 ɛ 0 E4πr 2 = q int, E = kq int ɛ 0 r 2. Donde la carga al interior de la esfera gaussiana se obtiene de (ρ constante) ρ = dq dv, dq = ρdv, q int = ρdv, q int = ρ dv, q int = ρ 4π 3 r 3. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

102 Ejercicio Por otro lado, la densidad de carga constante ρ es: ρ = dq, dq = ρdv, Q = ρdv, dv Q = ρ dv, Q = ρ 4π 3 a3 ρ = Q 4π. 3 a3 Luego, la carga al interior de la esfera gaussiana es q int = ρ 4π 3 r 3, q int = Q r 3 a 3. Finalmente, el campo eléctrico al interior de la esfera es: E = kqr a 3 ˆr para 0 r a. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

103 Ejercicio Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad de longitud es λ constante. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

104 Ejercicio Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinita positiva uniforme, cuya carga por unidad de longitud es λ constante. En este caso, usamos la simetría cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss Φ E = E da = q. ɛ 0 La integral cerrada se puede separar en tres integrales considerando las áreas da 1, da 2 y da 3, con lo cual E da = E da 1 + E da 2 + E da 3. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

105 Ejercicio Pero el campo eléctrico es radial hacia afuera, E = Eˆr, luego no hay flujo de campo eléctrico a través de las caras circulares del cilindro, es decir E d A 2 = 0, E d A 3 = 0. Sólo tenemos flujo eléctrico a través del manto del cilindro, donde d A 1 = da 1ˆr el elemento de área es también radial hacia afuera. Luego, E da = E da 1 = Eˆr da 1ˆr = EdA 1. En este caso, el campo eléctrico es constante a una distancia r de la linea de carga, luego Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

106 Ejercicio E da = EdA 1 = E da 1 = E2πrl. y esto tiene que ser igual a la carga neta q encerrada por la superficie gaussiana dividido por ɛ 0. Dado que λ es constante λ = dq dq = λdl q = λ dl = λl. dl Φ E = E da = E2πrl = q. ɛ 0 Luego, E = λ E 2πrɛ = 2kλ ˆr. 0 r Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

107 Ejercicio Determine el campo eléctrico debido a una lámina infinita no conductora con carga por unidad de área uniforme σ. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

108 Ejercicio Determine el campo eléctrico debido a una lámina infinita no conductora con carga por unidad de área uniforme σ. En este caso, la superficie gaussiana es un cilindro de radio r y largo l. La ley de Gauss es Φ E = E da = q. ɛ 0 La integral cerrada se puede separar en tres integrales considerando las áreas da 1, da 2 y da 3, con lo cual E da = E 1 da 1 + E 2 da 2 + E 3 da 3. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

109 Ejercicio Dado la simetría, el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y apunta hacia afuera del plano. Luego, tenemos E 1 d A 1 = E 1 da 1, E 2 d A 2 = 0. E 3 da 3 = E 3 da 3. E da = E 1 da 1 + E 3 da 3. Ahora, la magnitud del campo eléctrico es constante, es decir E 1 = E 3 = E = cte. Luego, E da = E da 1 + E da 3 = EA 1 + EA 3 = Eπr 2 + Eπr 2, = 2Eπr 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

110 Ejercicio La carga encerrada por la superficie gaussiana es σ = dq dq = σda q = σ da = σπr 2. da Luego, E d A = 2Eπr 2 = q ɛ 0. 2Eπr 2 = σπr 2 ɛ 0. E = σ 2ɛ 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

111 Ejercicio Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q localizada en su centro. a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de una tapa circular de medio ángulo θ, como aparece en la figura, está dado por Φ E = Q 2ɛ 0 (1 cosθ). b) Cuál es el flujo para θ = 90 y para θ = 180?. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

112 Conductores en equilibrio electrostático Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: El campo eléctrico es cero en cualquier punto al interior del conductor. Cualquier exceso de carga en un conductor aislado debe residir completamente sobre su superficie. El campo eléctrico afuera del conductor es perpendicular a la superficie del conductor. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

113 Ejercicio Un cascarón esférico, conductor y aislado con carga total Q, tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo eléctrico en las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior del cascarón esférico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

114 Ejercicio Un cascarón esférico, conductor y aislado con carga total Q, tiene radio interior a y exterior b. Determine el campo eléctrico en las zonas 1, 2 y 3, es decir, al interior y al exterior del cascarón esférico. Tenemos E 1 = 0, para 0 r < a, E 2 = 0, para a < r < b, E 3 = kq r 2 ˆr, para r > b. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

115 Ejercicio Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva 2Q. Un cascarón conductor esférico de radio interno b y radio externo c es concéntrico con la esfera y tiene carga neta Q. Utilizando la ley de Gauss, determine el campo eléctrico en las regiones 1, 2, 3 y 4, y la distribución de carga sobre el cascarón esférico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

116 Ejercicio Una esfera conductora de radio a tiene una carga neta positiva 2Q. Un cascarón conductor esférico de radio interno b y radio externo c es concéntrico con la esfera y tiene carga neta Q. Utilizando la ley de Gauss, determine el campo eléctrico en las regiones 1, 2, 3 y 4, y la distribución de carga sobre el cascarón esférico. Tenemos E 1 = 0, para 0 r < a, E 2 = 2kQ, para a < r < b, r 2 E 3 = 0, para b < r < c, E 4 = kq, para r > c. r 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

117 Ejercicio Determine el campo eléctrico generado por una lamina conductora aislada, delgada e infinita con carga total Q. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

118 Ejercicio Determine el campo eléctrico generado por una lamina conductora aislada, delgada e infinita con carga total Q. E 1 = σ ɛ 0 î, a la izquierda de la lamina, E 2 = 0, al interior de la lamina, E 3 = σ ɛ 0 î, a la derecha de la lamina. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

119 Ejercicio Considere dos placas conductoras planas e infinitas, una con carga positiva Q y la otra con carga negativa Q. Determine el campo eléctrico a la izquierda, entre y a la derecha de las placas, y además, al interior de las dos placas conductoras. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

120 Ejercicio Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x, como se muestra en la figura. Describa su movimiento. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF